超静定悬臂梁的内力分析与位移计算.doc

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1、成都理工大学毕业设计（论文）题目 作者姓名： 学 号： 专 业： 指导教师： 摘 要关键词： The Name：Student No.： Major： Analysis of engineering structureSupervisor： Abstract: Key words: 超静定悬臂梁的内力分析与位移计算摘要随着工业化发展，产品的精细化， 在机械和建筑结构工程中,多为超静定结构问题,无法用解析方法实现多余未知力的求解。就此问题,基于微分方程的初值问题的求解原理,建立优化算法,求解多余未知力,获得变形曲线,并与有限元分析软件计算结果进行比较,验证本文优化算法的正确性。关键词：臂梁；分析

2、与位移计算1.静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁。这三种梁的支座反力和弯矩、剪力只要建立平衡方程，就可以求解。图1.5.1左右两列分别是简支梁在均布荷载和集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。图1.5.2左右两列分别是简支梁在2个对称集中荷载作用和一个非居中集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。图1.5.3左右两列分别是悬臂梁在均布荷载作用和一个端点集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。图1.5.4左右两列分别是外伸梁在集中荷载均布荷载作用和均布荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。从图1.5.1图1.5.4，我们看到，正确的弯矩图和正确的剪力图之间有如下对应关系：每个区段从

3、左到右，弯矩下坡，剪力为正；弯矩上坡，剪力为负；弯矩为水平线时，对应区段的剪力为零；在均布荷载作用下，剪力为零所对应的截面，弯矩最大；在集中荷载作用下，弯矩最大值一般在集中荷载作用点，该点的剪力有突变，突变的绝对值之和等于集中荷载的大小。如果不满足这个对应关系，那么弯矩图和剪力图必有一个画错了，或者两个全不对。多跨连续梁是超静定梁，单单用平衡方程不能求解，还需要“变形协调条件”才能解联立方程进行求解。图1.5.5是某多跨连续梁在均布荷载力作用下的变形简图、受力钢筋配置区域和弯矩图示意图。负弯矩表示截面的上翼缘受拉、下翼缘受压；正弯矩表示截面下翼缘受拉、上翼缘受压；反弯点截面，该点弯矩等于零，在

4、这个截面，上下截面既不受压，也不受拉。工程实际中经常遇到一些梁，受力特点是：在梁的轴线平面内收到力偶或垂直于杆轴线的外力作用，杆的轴线由原来的直线变为曲线，这种变形成为弯曲变形。当梁内部既有剪力又有弯矩称为横力弯曲。梁内部只有弯矩称纯弯曲。为了保证梁在工作情况下保证强度和刚度，必须分析梁任意截面上的内力，内力包括剪力和弯矩。分析内力最基本的方法是截面法。通过对梁各个横截面进行截取列剪力方程和弯矩方程求解剪力和弯矩，然后绘制成剪力图和弯矩图。这种方法不仅步骤繁琐费时间，而且容易出错。是否能用一种方法快速找出梁各个界面上的内力分布情况，绘制出剪力图和弯矩图呢？梁在受到不同载荷时，分析画出的各截面剪

5、力FS和弯矩M都不同，得到的剪力图和弯矩图也是各种各样。事实上三者之间有密切关系。下面进行详细推导：梁AB受到分布载荷q（x）、集中力F和集中力偶Me作用，如下图1所示，在梁上建立坐标系，在梁上距离A截面x处截取微段dx。取dx微段梁为研究对象，如图2所示。作用于微段梁dx上的分布载荷可以看作均布载荷。根据FS和M的符号规定：左上右下为正（FS）；左顺右逆为正（M）。假设左侧面上剪力FS向上，弯矩为逆时针，则右侧面剪力和弯矩分别为（FS+dFS）和（M+dM）。对微段梁列静力学平衡方程：F=0M=0?圯F-（F+dF）=0-M+qdx-Fx+（M+dM）=0由上式方程组可得：=-q（负号仅表示

6、方向）（1）二阶微量q（dx）略去，可得：=FS（2）由式（1）（2）同样可得=-q（3）式子（1）（2）（3）揭示了梁上弯矩M、剪力FS和分布载荷q（x）三种载荷函数之间的微分关系。其中式（1）揭示梁的剪力图中曲线上某点的斜率等于梁上对应点处的载荷集度；式（2）揭示弯矩图中曲线上某点的斜率等于梁上对应截面上的剪力。式（1）和（2）可以改写成积分形式：F=F+qdx（4）M=M+Fdx（5）式（4）表示：梁上x=b截面上的剪力等于x=a截面上的剪力与对应a、b截面之间分布载荷图曲线与x轴所围几何图形面积的代表和。注：所围图形在x轴上方时面积为正，在x轴下方时面积为负。式（5）表示：梁上x=b截

7、面上的弯矩等于x=a截面上的弯矩与对应a、b截面之间剪力图曲线与x轴所围几何图形面积的代表和。同样所围图形在x轴上方时面积为正，在x轴下方时面积为负。注意：当梁上某点有集中力F作用时，FS在该点发生突变。当梁上某点有集中力偶时，M在该点发生突变。掌握了三者之间的关系，有助于正确、快速绘制剪力图和弯矩图，并且可以检验绘制好的剪力图和弯矩图的正确性。利用式（1）（2）（3）和集中力、集中力偶作用处内力图的变化规律，将剪力图、弯矩图和梁上载荷三者规律总结如表1。此规律表不仅适用于横力弯曲，同样适用于纯弯曲。利用FS、M图规律表不必再列出剪力方程和弯矩方程而直接快速方便地绘制出剪力图和弯矩图。2.梁属

8、于受弯构件，工程上常用的梁一般为等直梁。静定梁按跨数不同分为单跨静定梁和多跨静定梁两类。梁可以跨越水平空间，并借助支座将自身固定在大地 或其他固定的结构上。梁在相邻两个支座之间的部分称为跨，而支座之间的距离称为跨度。1）、梁的类型 单跨梁多跨静定梁悬臂梁简支梁外伸梁一次超静定梁两次超静定梁固端梁返回2）、单跨静定梁的内力计算 单跨静定梁的内力计算，首先求出静定单跨梁支座反力；然后用截面法求解单跨静定梁的内力（悬臂梁可以直接利用截面法求解内力）。 单跨静定梁只有三个求支座反力，只用三个整体平衡条件就可以求出全部支座反力， 单跨静定梁内力正负号规定和内力图绘制规定见4-1内力和4-1内力图。 单跨

9、静定梁的内力计算示例 返回3）、多跨静定梁的内力计算 多跨梁可利用部件的外伸部分使支座处产生负弯矩，从而相对于等跨度的简支梁可使最大弯矩值减少。因此，同样荷载作用下，比连续排放的简支梁可有更大跨度。多跨静定梁主要承弯，截面上正应力沿高度直线分布故材料不能充分发挥作用，这是缺点。但多跨静定梁构造简单、易于施工等又是这种结构的优点。因此，设计时要综合考虑。 多跨静定梁是由若干短梁用中间铰组成，支座反力一般多于三个，只用三个整体平衡条件不能求得全部支座反力。应先分析静定多跨梁的几何组成，分清基本部分和附属部分，先计算附属部分的支座反力，将其作为荷载反向作用于基本部分，再计算基本部分的支座反力。 因此

10、,计算多跨静定梁内力时，应遵守以下原则：先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。 多跨静定梁内力正负号规定和内力图绘制规定，同单跨梁；将各单跨梁的内力图连在一起，即得静定多跨梁的内力图。 多跨静定梁的内力计算示例返回4）、叠加法 返回叠加法；分段叠加法 （1）叠加法均布荷载与力偶作用均布荷载作用力偶作用结构弯矩图图4-4弯矩方程梁端弯矩0，0跨中弯矩 注意：叠加是指内力图纵坐标的代数和，而不是内力图形的简单拼合。返回 （2）分段叠加法 如图4-5所示，取图4-5a中AB段为隔离体得到图4-5b所示的受力分析图，然后与图4-

11、4a比较能够看出，图4-5b与图4-4a是等同的。因此，分段叠加法作弯矩图的方法是：杆端弯矩、对应的弯矩图叠加上简支梁上对应荷载（均布荷载q或集中力F）的标准弯矩图。分段叠加法作弯矩图的步骤 求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）：首先选择控制截面，一般取外力不连续点（均布荷载q的端点、集中力F作用点和集中力偶M作用点）处的截面为控制截面。然后求出控制截面的弯矩值。图4-5 分段画弯矩图：控制截面之间无荷载连直线画弯矩图，控制截面之间有荷载（分布荷载q或集中力F）连虚线，再进行相应的叠加画弯矩图。 分段叠加法适用于梁、刚架的弯矩图的绘制。5）、梁的合理设计在设计多跨静定梁时，可以适当选择中间铰的位

12、置，使其弯矩的峰值减小，从而达到节约材料的目的。下面具体举例来说明。【例4-1】两跨静定梁，全长承受均布荷载q，如图4-6a所示。要使正负弯矩峰值相等，试求D铰的位置，并绘出相应弯矩图。图4-6【解】（1）设D铰的位置与B支座的距离为x（如图4-6a）。（2）计算支座反力。现从附属部分AD开始，由平衡条件求得，并将其反向作用到基本部分DBC上（如图4-6b）。（3）求D铰的位置。B支座处弯矩为，AD跨中的正弯矩为。根据题意，得=由此式解得x=0.172l（4）得的x值代入正负弯矩的表达式，作弯矩图如图4-6c所示。其正负弯矩的峰值为0.086ql2。 图4-6d所示为与图4-6a具有同跨和同荷

13、载的q作用下简支梁的弯矩图。通过比较可知：多跨静定梁的弯矩峰值比一串简支梁的弯矩峰值要小，两者的比值为68.8%。一般说来，静定多跨梁与一系列简支梁相比，内力分布均匀，材料用量较少，但中间铰的构造要复杂一些。3. 悬臂梁分析模型大型通用有限元程序MSC.Patran/Nastran被广泛应用于船舶及海洋工程领域，并且通过多数主要船级社的认可，本文采用该程序对悬臂梁进行建模和结构分析。本文对静载工况下的悬臂梁结构进行分析。悬臂梁结构的主要承载构件为左、右舷侧的纵向舱壁结构，考虑到结构的对称性，对分析模型进行适当简化，取右舷的纵向舱壁结构进行分析。悬臂梁分析模型由壳与实体单元组成，舱壁结构的板材和

14、扶强材部分采用壳单元模拟，舱壁结构底部和顶部的厚法兰板材采用实体单元模拟。整个模型共有节点8126个，单元8560个，其中实体单元1306个，四边形壳单元5827个，三角形壳单元1427个。悬臂梁的分析模型如图1所示。图1 悬臂梁结构模型悬臂梁结构的所有材质为高强或超高强度钢，最小屈服应力不小于355MPa。舱壁结构的主要构件包括井架下舱壁板、顶部和底部厚板及其中间的舱壁板，其余的为次要构件。平台外部结构的设计最低温度为20C，舱壁板材的板厚及对应材料等级如表1所示。舱壁结构在底部基线02.61m、5.228.535m高度范围内及舱壁与井架横梁连接位置采用HT53和EQ56级超高强度钢，其余部

15、位结构采用DH36、EH36级高强度钢材。3 .1载荷条件分析采用的载荷取自悬臂梁结构的设计载荷，设计载荷具体内容如表2所示。分析时，最大的合成井架载荷取11564.8kN，这一载荷值包含所有的回复力、大钩/转动载荷和拉力载荷。根据悬臂梁和井架在不同位置时的作业载荷情况，选取两种关键载荷工况进行结构分析。1）工况1：悬臂梁处于最大伸长状态，钻井中心位于船体外侧22.86m，向右舷侧移4.572m。施加的载荷如表3所示。在工况1载荷条件下，悬臂梁前端部的固定载荷达到最大值，相应的大钩载荷为4852.768kN，不考虑钻杆载荷。钢筋混凝土悬臂梁的力学模型 目前在钢筋混凝土建筑中，常见悬臂梁的长度多

16、为两米以内。为尽可能与实际相符，在此选用两种常见的跨度 1.5m 及 2m 对悬臂梁进行分析对比。梁的截面宽度分别选b=150、200、250、300mm 四种常用的情况，并根据矩形截面梁高宽比的一般取值（常为 h/b=2.03.5）确定对应的截面高度 h。梁除自重 g 外沿全跨承受均布载荷设计值 q。截面的配筋方式采用单筋矩形截面的配筋方式。 钢筋混凝土悬臂梁设计计算时的力学模型见图 1：图 1 钢筋混凝土悬臂梁设计计算力学模型 假设两种钢筋混凝土悬臂梁的基本信息如下： 矩形钢筋混土悬臂梁，长度为 l=1.5m，截面宽度为 b，高度为度 h，保护层厚度为as，全跨受均布荷载作用 q=50 k

17、N/m，混凝土等级为 C30, fc=14.3 N/mm2, ft= 1.43N/mm2弹性模量Ec=3.0104N/mm2，纵向受力筋采用 HRB335, fy= fy= 300N/mm2，Es=2.0105N/mm2，构造筋采用 HPB235, fy = fy= 210N/mm2，Es=2.1105N/mm2，环境类别为二类 b。悬臂梁长度为 l=2m 时取相同等级的材料进行设计计算。3.2钢筋混凝土悬臂梁的优化思路 在结构初步设计的基础上，可以进行优化设计。优化设计是一种寻找确定最优设计方案的技术，所谓“最优设计”，指的是一种方案可以满足所有的设计要求，而且所需的支出，如重量、面积、体积

18、、应力、费用等最小，也就是说，最优设计方案就是一个最有效率的方案。 对于钢筋混凝土梁单筋矩形截面，当梁上作用的荷载一定时，梁的截面尺寸和配筋有多种方案。当梁的截面尺寸较大,或梁高较高时，混凝土用量较大，相应混凝土的造价较多，而此时所需钢筋面积较少，相应的钢筋造价较少；反之，若梁的截面尺寸较小，或梁高较小时，混凝土用量较小，相应混凝土的造价较少，而此时所需钢筋面积较多，相应的钢筋造价较大。其中必有某一截面对应的梁的总造价最小，这样设计可以实现降低工程造价，提高经济效益的目的。 现代的有限元软件 ANSYS 不仅可以准确地对计算构件内力和变形同时还有专门的优化设计模块。通过选用合适的单元类型和网格

19、划分方式可以建立合理的有限元模型，再将材料的真实属性和实际荷载情况赋予结构就可得到构件非常准确的内力和变形值。另外功能强大的 ANSYS 中设计有特殊的优化模块，可以非常简便地完成悬臂梁的优化设计。其中利用简便的参数化设计语言 APDL 就可以根据实际需要的优化目的进行设计。3 .3钢筋混凝土悬臂梁的ANSYS优化设计 进行优化设计前一般需要先对结构进行静力分析，也就是进行初步设计，其结果作为优化后结构内力与变形结果的对比，从而可以更好地判断优化结果的合理性和有效性。另外，无论是对结构进行静力分析还是优化设计，在 ANSYS 中都需要建立相应的分析模型，而其优化模型一般只需要在静力分析模型的基

20、础上稍作修改就可得到。3.3.1 静力分析 具体建模步骤如下： （1）指定工程名和分析标题。 （2）定义分析类型为结构分析。 （3）定义单元类型。 （4）定义实常数。 SOLID65 采用默认值，LINK8 单元分别按钢筋的类型（包括纵向受力筋、架立筋、箍筋）定义其截面面积。 （5）定义材料属性。 （6）创建有限元模型。首先依据矩形钢筋混土悬臂梁构件的几何特性（包括长度、截面宽度和高度、保护层厚度）创建节点，接着用 APDL 命令创建钢筋单元，再创建拉伸面并采用体映射网格对其进行划分后定义为混凝土单元，最后合并和压缩所有重复节点和单元就得到了所需的有限元模型。3.3.2 优化设计 （1）生成分

21、析文件 参数化建立模型：在/PREP7 中利用设计变量作为参数建立模型。求解：指定约束条件，施加荷载，进行静力分析。 参数化提取结果：提取结构最大节点位移及混凝土用量并赋值给相应的参数。 生成分析文件：采用菜单路径 Utility MenuFile Write DB Log File,生成分析文件cantilever.lgw。 （2）进行优化分析 进入优化处理器，指定分析文件 cantilever.lgw。指定优化变量：设计变量、状态变量和目标函数。选择优化工具和方法。指定优化循环控制方式：每种优化方法和工具都有相应的循环控制参数。进行优化分析：完成所有的控制设定后，就可以进行优化分析。 （3

22、）查看优化设计结果4钢筋混凝土悬臂梁的传统优化设计4.1 强度设计 (1)正截面受弯承载力 梁正截面受弯承载力计算就是从满足承载力极限状态出发保证正截面上材料所产生的抵抗力大于结构上荷载作用产生的最大弯矩设计值，即要求满足： M Mu (2)斜截面受剪承载力 梁斜截面受弯承载力计算就是保证该梁不发生斜截面的剪压破坏需要斜截面上材料所产生的抵抗力大于结构上荷载作用产生的剪力设计值，即要求满足： V Vu4.2 刚度设计 对于正常使用极限状态，结构构件应分别按荷载效应的标准组合、准永久组合或标准组合并考虑长期作用影响，采用下列极限状态设计表达式： S C 式中 S正常使用极限状态的荷载效应组合值；

23、C结构构件达到正常使用要求所规定的变形、裂缝宽度和应力等的限值。4.3 造价计算 用结构物的总造价或总投资作为最终的优化目的，以寻求最小的建设费用或最经济的投资，是一个比较复杂的技术经济问题。它不但要考虑材料本身的费用和施工费用，同时还要考虑构件的运输、安装甚至结构的使用、维护等费用。由于优化设计本身具有一定的相对性，对于单根钢筋混凝土悬臂梁构件的优化最终要用最小造价来评价。所以为简化起见，最后的总造价只考虑材料的价格。5优化方法对比分析 跨度为 1.5m 的悬臂梁 先对构件的内力和变形进行计算，在此基础上进行其配筋计算和造价计算采用传统设计计算方法时，将所得结果整理如下见，表 1、3；利用

24、ANSYS 进行计算分析时，将计算结果整理如下，见表 2。表 1 采用传统方法计算 1.5m 跨悬臂梁的内力与变形(以截面尺寸150为例)表2利用 ANSYS 计算 1.5m 跨悬臂梁的内力与变形表3 采用传统方法计算 1.5m 跨悬臂梁的配筋与造价 表1 和表2 的数据显示：利用 ANSYS 计算得到的内力与变形与用传统方法计算得到结果非常接近。说明 ANSYS 建立的模型比较合理。 通过有限元软件 ANSYS 对 1.5m 跨钢筋混凝土悬臂梁进行优化计算。在钢筋混凝土悬臂梁跨度一定的情况下，截面宽度 b 分为四种情况分别建立相应的数学模型，对应的截面高度作为设计变量在高宽比的范围内取值。同

25、时变化纵向受力筋面积和箍筋间距，在同时满足截面最小抗剪力，最小配筋率和最小配箍率这三个约束条件的情况下，找到使目标函数总造价达到最小的截面尺寸和配筋率。 从两种优化方法得到的结果中都可以看到，随着截面的增大，钢筋用量减少，从而总造价可以大大的降低，但是在实际的构件设计中，考虑到共同受力时材料间的相互作用，截面设计配筋时要满足一定的构造要求。所以 ANSYS 的最优结果可以作为对实际的配筋的一个参考，同时给出截面尺寸的经济范围。这为从多个可选截面中选到最经济和合理的尺寸提供了很大的帮助，避免了一些重复的计算和分析过程。超静定结构位移计算的传统方法一、位移互等算法的证明利用图1（a）中的结构加以说

26、明。如图2（a）所示，将图1（a）中原结构的荷载作用于图1（c）所示的基本结构上，记作状态T；再取图1（b）的虚拟单位力状态（重绘于图2（b）中，记作状态S）与之匹配，来应用单位荷载法。现需证明：按这一方法求得的位移就是实际位移。将单位化后的荷载F1（记作1）单独作用于原结构上，如图2（c）所示。此时，1引起的K截面竖向位移记作S1。根据位移互等定理，该位移应等于状态S中对应F1作用方向上的位移1S，即1S=S1。图2 位移互等算法的证明为求得1S，应假设虚拟单位力状态。而求1S使用的广义荷载正是1，于是可将其作用于图1（c）所示的静定基本结构上，如图2（d）所示，形成虚拟单位力状态与状态S相

27、配。至此，1已转换作用于基本结构上，记此状态为状态1。根据线弹性的物理条件，由F1单独作用所引起的K截面的竖向位移K1=F1S1，再将位移互等定理代入，可得K1=F11S。推而广之，对于单独作用于原结构的任一荷载，均可将之单位化后，作用于基本结构上。若记相应状态为状态i（i=1，2，），可得Ki=FiSi=FiiS。再利用叠加法，可求得K截面竖向位移为K=iKi=iFiSi=iFiiS，（1）式中，Fi表示单独作用于原结构上的第i个荷载；Ki表示Fi单独作用于原结构时，引起的K截面的竖向位移；iS表示状态S中施加于K处的单位荷载，所引起的原结构第i个荷载作用方向上的广义位移。iS的计算使用前述

28、传统的单位荷载法，对于杆件结构，其计算公式为iS=iMSEI ds+NiFNSEA ds+QiFQSGA ds，（2）式中，i、Ni和Qi分别代表状态i中的弯矩、轴力和剪力；MS、FNS和FQS分别代表状态S中的弯矩、轴力和剪力；EI、EA和GA分别代表各杆段的抗弯刚度、轴向刚度和剪切刚度；表示剪应力分布不均匀系数；ds代表在杆段上所取的微段。式中的积分符号代表对单根段积分，而求和符号则代表对结构中的全部杆段求和。将式（b）代入式（a）并去单位化，再运用积分运算与求和运算的加法结合律，则式（a）变为K=iFiiS=iFiiMSEI ds+NiFNSEA ds+QiFQSGA ds=iMiMSE

29、I ds+FNiFNSEA ds+FQiFQSGA ds=MSEIiMi ds+FNSEAiFNids +FQSGAiFQids， （3）而由叠加法可知，式（3）中的iMi、iFNi和iFQi正是状态T的内力。式（1）表明了该方法求得的位移与传统方法相等，而式（3）的得出证明了利用状态T和状态S相配就可求得所需的位移，至此证明完毕。二、位移互等算法的计算步骤第一步：选取原结构的任一力法基本结构，将原结构所受荷载全部作用于此静定结构上，即获得状态T，并求出相应内力。第二步：在原结构上施加与所求位移相应的广义单位荷载，获得虚拟状态S，并求出相应内力。第三步：利用单位荷载法的计算公式，求出所需位移。

30、三、算例如图3（a）所示刚架，其柱BA承受半跨均布荷载q的作用，求该柱正中截面D的水平位移DH。图3 算例此例为等截面直杆构成的刚架，可不计轴向变形和剪切变形对位移的贡献。位移计算时，可采用图乘法。下面分别用传统方法和位移互等算法进行比对计算，验证位移互等算法的正确性。（一）传统方法第一步：求实际状态内力。利用超静定结构解法（如力法、位移法等），求出原结构在荷载作用下的最终弯矩图，如图3（b）所示。第二步：确定虚拟状态，并求内力。选取原结构的任一力法基本结构，在其上施加与所求位移相应的单位力FP=1，并求得弯矩图，如图3（c）所示。第三步：利用图乘法计算DH。DH=1EI12l2l2343-1

31、344+2348l12l2+12l2l2343-1362ql2384=27ql4768EI（）（二）位移互等算法第一步：确定状态T。选取原结构的任一力法基本结构，将所有荷载作用于此结构上并作出弯矩图，如图3（d）所示。第二步：确定虚拟状态S。在原结构上施加与所求位移相应的单位力FP=1，并求得弯矩图，如图3（e）所示。第三步：利用图乘法计算DH。DH=1EI23ql28l129l32-l8+12ql22l235l16-139l32=27ql4768EI（）此例中，两种方法的计算结果完全一致，验证了位移互等算法的正确性。四、位移互等算法的优势位移互等算法把对超静定结构的内力求解置于虚拟状态中，这

32、使其相对于传统方法具有以下特点。第一，如果原结构承受复杂荷载作用，采用传统方法，需求解复杂荷载作用下，该超静定结构的内力，这将带来繁重的工作量；而采用位移互等算法，一方面内力求解变成了简单的静定问题，另一方面还可以通过运用力法基本结构的选取技巧，进一步降低复杂荷载带来的内力求解困难。第二，用于位移求解所设的虚拟单位力状态中，一般仅包含1个或1对广义单位力，因此即便在此状态中求解原超静定结构，也不会导致工作量的过多增加。综上，鉴于实际荷载一般比虚加广义单位力要复杂得多，因而利用位移互等算法，将超静定结构的内力解算转移至虚拟状态中，就可以达到降低计算工作量的目的。4. 静载作用下静定斜梁的内力分析

33、 如图1所示的混凝土斜梁在设计时，是根据常用的斜梁内力分析方法（如图2所示），按斜梁在静载作用下跨中的最大弯矩来设计计算斜梁的断面尺寸与配筋。在竣工三个月后进入第一个夏季时，两栋楼房16根屋面斜梁全部发生开裂1。设计认为，该斜梁内力计算符合常规，斜梁结构设计符合现行混凝土结构设计规范,对斜梁开裂不承担责任。按常规，其支座反力为：RAX = 0 ( 1 )RAY =12g L ( 2 )RBY =12 g L( 3 ) 其弯矩值为：M = 12g ( L X - X 2 )( 4 )跨中最大弯矩值为：Mm=18 g L2( 5 ) 其剪力值为：Q = g ( L2 - X ) cos ( 6 )

34、 支座处最大剪力值为：Qm = 12g Lcos ( 7 )其轴力值为：N = g (L2 - X ) Sin ( 8 )跨中最大弯矩处轴力为零，支座处轴力最大，其值为：Nm =12g L sina ( 9 )其中下支座处轴力为压力，上支座处为拉力。对于这类斜梁，当边柱（构造柱）刚度仅为斜梁刚度1/3的情况下，下支座应为可移动铰支座。上支座由于中柱（构造柱）与右边同截面斜梁的共同约束，应为不动铰支座（静定斜梁）或固定支座（超静定斜梁）。其计算简图如图3所示。此时的静定斜梁，其弯矩、剪力与常用方法计算结果相同。但沿斜梁全长的轴力为拉力，且按上大下小分布，如图6-b、c、d 所示。 此时斜梁跨中轴

35、力不为零，其值为：NX=g (L - X) Sin （10）跨中最大弯矩处的轴力为：NC =12 g L Sin（11）图4 斜梁负风压作用下的静定斜梁内力计算简图3. 风载作用下静定斜梁的内力分析在风载作用下，连接斜梁下支座的边柱（构造柱）为静定结构时,如图4所示3.1 在斜梁段负风压作用下。下支座D水平反力RDL 为零,竖向反力RDH为:RDH= -12 gL L tg2 （12）斜梁A端轴力ND为：NA=12 gL L tg2Sin （13）斜梁A端剪力QD为：QD =gL L tg2 COS（14）上支座B水平反力RBL 为：RBL = gL L tg（15）上支座B竖向反力RBH 为

36、：RBH =-RDH = 12g L Ltg2 （16）斜梁B端轴力NB为：NB=g L L Sin （17）斜梁B端剪力QB为零。斜梁跨中轴力NC为：NC = 12gL L Sin(1+ 12tg2)（18）3.2 在边柱段负风压作用下。在边柱段负风压作用下,连接斜梁下端的边柱及斜梁的静定结构计算简图如图5所示。此时边柱两端剪力为：RAL = -RDL =12g L H（19）边柱轴力为：RAH= RDH =12g L H tg （20）边柱中部最大弯矩为:Mm=18g L H2 （21）斜梁内只存在轴向拉力,全梁拉力大小相等，其值为:NA=12g L H /COS（22）3.3 在全负风压

37、作用下。计算在全负风压作用下的内力,可将图4与图5所示内力进行迭加。其中风载对斜梁的轴力影响较大。由全负风压引起的斜梁中部最大弯矩处的拉力NC为：NC = 12 g L L Sin（1+12 tg2）+12g L H tg（23）3.4 在静载、风载共同作用下。在静载、风载共同作用下，斜梁设计应考虑的内力为：图6 静载作用下的超静定斜梁内力计算图跨中最大弯矩为：MB =18 g L2跨中轴向拉力为：NC= 12 g L Sin + 12 gL L Sin（1+12tg2）+12 g L H tg4. 超静定斜梁内力分析4.1 在静载作用下。斜梁上端为固定端，如图6所示。此时其最大弯矩发生在固定

38、端，其值为：MB = 18g L 2（24）固定端剪力为：QB =58g L COS （25）固定端轴力为：NB = 58g L Ssin（26）斜梁下端剪力为：QA = 38 g L COS（27）斜梁下端力轴为：NA =38g L Ssin（28）4.2 在斜梁段负风压作用下。在斜梁段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图如图7所示。图7 斜梁段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图斜梁上端B为固定支座，下端边柱AB相当于竖向拉杆。斜梁下端A弯矩、剪力、轴力为：MA = 0 （29）QA= 38 g L L tg （30）NA = QA tg= 38 g L L tg2（31）斜梁上端B弯矩、

39、剪力、轴力为：MB = 18g L L2 Sin （32）QB= 58 g L L tg(33)NB =58 g L L(34)斜梁中点弯矩、轴力为：MC = 116 g L L2 Sin (35)NC=116 （3g LLtg2+5g LL） （36）4.3 在边柱段负风压作用下。在边柱段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图如图8所示。 图8 边柱段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图柱下端水平反力RDL为:RDL = 58 L g H(37)斜梁下端水平反力RAL为:与柱上端水平反力方向相反,大小相等：RDL = 38g L H (38)斜梁下端的剪力、轴力为：QA= 38g L H Si

40、n(39)NA=38 g L H COS(40)斜梁上端（固定）弯矩、剪力、轴力为：MB = 38 g L H L tg（41）QB= - 38g L H Sin(42)NB= 38g L H COS(43)4.4 在静载、风载共同作用下。在静载、风载共同作用下，超静定斜梁设计应考虑的内力为：跨中最大弯矩为：MB =18 g L2 (44)跨中轴向拉力为：NC= 12 ( gL Sin +38g L L tg2+58 gL L+ gL H COS) (45)5. 静定斜梁。图1所示的屋面斜梁的荷载效应标准组合值为16.5KN/m，斜梁倾角 = 19.6 度。在静载作用下，跨中最大弯矩为： MC

41、 = 18g L2= 18 16.54.52= 41.77KN跨中轴向拉力为：NC = 12 g L Sin =12 16.54.5Sin19.6= 12.7KN风载作用下,斜梁弯矩、剪力的影响不大可不予考虑，但轴向拉力应予计算，负风压gL为：gL= z s z 0 b= 1.40.50.4 1.253.6= 1.26 KN/m式中,z 风振系数；s 体型系数； z 风压高度变化系数； o 基本风压；b砼柱间距。风载作用下斜梁跨中轴向拉力为:NC= 1.264.5 Sin19.6（1+ 12 tg219.6）+ 121.262.8tg19.6=2.57KN组合轴力NC =12.7+2.57=1

42、5.34KN对斜梁进行抗裂验算时,可按偏心受拉构件计算的边缘混凝土法向应力CL应小于混凝土抗拉强度3。CL =MCW0 +NCA0 （46） = 41.7710628.5106 +1.534104 18.6104 = 1.54N/mm2。式中，MC构件换算截面受拉边缘的弹性抵抗矩； W0构件换算截面面积。计算表明，边缘混凝土法向应力Cd大于C3混凝土抗拉强度（1.43N/ mm2），该斜梁在跨中段位置发生裂缝不可避免。这也与现场裂缝特征相符。计算假定平截面假定。预应力混凝土受弯构件弯曲变形以后仍保持一个平面，即截面上的应变沿梁高保持线性分布；曲率延性系数定义为： （1）普通钢筋屈服时的截面曲率；混凝土受压边缘压碎时对应的曲率。1.2 截面延性系数计算图1 截面的应变分布图Fig.1 Section strain distribution map对于图1.1所示的截面的曲率延性，引入相对受压区高度系数：，、可考虑按下面方法计算：（2）普通钢筋的极限拉应变，可按计算；受拉区普通钢筋弹性模量： （3）关于的计算，结合图1，由几何关系可得受压