高等代数的数学思想研究.docx

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1、摘 要高等代数是数学专业的一门重要的专业基础课，是深入研究数学以及从事高等数学相关工作的必要保障，高等代数内容丰富体系庞杂，高等代数的学习历来是数学专业学生的难点；主要表现在解决高等代数问题时感觉束手无策，无从下手，最终原因归根结底是学生对数学思想方法的忽视，所以本文对高等代数中的主要思想方法做了一定研究，包括类比思想、等价分类思想、化归转化思想等，不断研究探讨数学原理、数学思想以及相关的应用技巧，这将对高等代数的学习和研究具有重要的指导意义和参考价值。关键词：高等代数；数学思想；函数与方程；同构；分类讨论.ABSTRACTHigher algebra is an important prof

2、essional basic course of mathematics, is a necessary guarantee to study mathematics and higher mathematics is engaged in the related work, enrich the content of higher algebra system is complicated, the study of higher algebra is always difficult math students; mainly in solving the problems of High

3、er Algebra feel unable to start, the ultimate reason at a loss what to do. After all students neglect of mathematical thought and method, so the main method in higher algebra to do some research, introduced a variety of mathematical methods, such as analogy, equivalence and classification ideology,

4、transformation ideology, isomorphism ideology, axiomatic thought method, function and equation thought method, decomposition method method and structural thought method, the thought of transformation methods, exploring various mathematical thought and method of the primary mathematics It will have i

5、mportant guiding significance and reference value for the study and research of higher algebra.KEYWORDS: Higher algebra; Ideological methods of mathematics; function and equation; isomorphic thought; Classified discussion.目 录摘 要IABSTRACTII1 引言11.1 研究高等代数数学思想的目的及意义11.2 高等代数数学思想方法的研究现状11.3 本文主要研究内容22

6、高等代数中重要的数学思想方法32.1 一般性思想方法32.2 抽象性思想方法32.3 公理化思想方法42.4 初等变换的思想方法42.5 辩证思维的思想方法42.6 关系映射反演思想方法53 高等代数中数学思想方法的具体应用63.1 矩阵的思想方法的应用63.2 公理化思想方法在高等代数中的应用73.3 分解的思想方法在高等代数中的应用83.4 函数和方程的思想方法在高等代数中的应用93.5 构造的思想方法在高等代数中的应用113.6 转化的思想方法在高等代数中的应用124 总结与讨论14参考文献15致 谢1617咸阳师范学院2018届本科毕业论文（设计）1 引言1.1 研究高等代数数学思想的

7、目的及意义首先高等代数课程是数学专业以及其他一些理工科专业所必修的基础课程, 也是后续课程和近代数学的基础，此外高等代数的学习对于学生数学思维的培养至关重要，通过高等代数的学习对学生的抽象思维和逻辑推理有很大帮助，并对数学创新思维以及科研潜力的发展具有重要意义.而学好高等代数这门基础课程就离不开对数学思想方法的研究；此外从数学的发展历史分析，不难发现其实数学的重要发展和重大创新都体现着一定的数学思想方法，数学思想方法在数学领域内随处可见，没有数学思想方法的数学就不是真正的数学；比如早在16世纪之前，关于方程求解的问题中，期初数学家们很容易得到了一次、二次方程的根式解，然后类似地找到了三次、四次

8、以及某些特殊的五次代数方程的根式解法，事实上，在这个艰辛的求解历程中，而且这些解法中都有类比的方法，也有同构、分类讨论、函数与方程的数学思想，此后也有许多数学家探究一般五次方程的解得存在性问题，包括当时著名数学家卡当、伟达、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等，他们都是利用各种各样的数学思想方法，虽然经过了无数次的失败，但最终是阿贝尔等人从逆问题出发，严格证明了五次及五次以上的代数方程不存在根式解法，还有许许多多实例，都在说明着数学思想方法在数学发展中的积极推动作用，所以说数学思想方法对于数学的发展至关重要.1.2 高等代数数学思想方法的研究现状由于高等代数数学思想方法的重要意义，近年来关于数学

9、思想方法的研究层出不穷，有关数学思想方法的名称和应用的文献举不胜举，这些有关高等代数数学思想方法的研究在一定程度上推动着高等代数教学研究的发展和完善，对高等代数的学习以及数学其他分支的学习具有重要的指导意义和参考价值；其中比较典型的比如作者布合力且木阿不都热合木在文献1中主要结合高等代数在解决相关问题以及发展思维工具方面的功能进行了探究，充分展示了高等代数的数学思想的丰富、深刻，以及其理论内容的严密和抽象。作者王洋、姚裕丰等人在文献2，3中就如何提高高等代数的解题效率为背景，结合同构思想将理论和实例进行结合，对如何解决的高等代数题目进行了列举；作者蒋燕、杨云飞、史秀英、何守元等人在文献4-7中

10、研究了几类数学思想，重点分析了迁移的数学思想，举例说明了思想方法的应用；作者王玉华、陈金萍、宋杰、郭微等人在文献8-11中通过对一线教学的调研和实践，然后对高等代数学习中体现出的一些思想方法作了深入剖析，从本质上找出了学生难以掌握思想方法的原因，从根本上解决了数学思想方法的教学与培养。还有许许多多类似文献，这些都在一定程度上推动着高等代数数学思想方法的发展与完善。1.3 本文主要研究内容本文就在此基础上研究和讨论高等代数中数学思想方法，以及方法原理、应用技巧等，并结合高等代数中的一些具体的例子做展示说明.文章内容安排如下：第一部分为引言，介绍本课题研究的目的和重要意义，并介绍数学思想方法的研究

11、现状；第二部分重点讲述高等代数中重要的数学思想方法；第三部分研究高等代数中数学思想方法的具体应用；文章最后为总结与讨论.2 高等代数中重要的数学思想方法在高等代数课程中，有许多知识和原理都要借助一些重要的数学思想方法，这些数学思想方法对于高等代数的学习和研究具有重要意义，下面就介绍一些常用的数学思想方法.2.1 一般性思想方法通过字面不难理解，一般性思想方法就是把一些特殊的、个例问题进行一般化分析，从而增加知识的应用范围，这种思想在高等代数中非常常用；例如在中学数学中我们已经熟练掌握了二元、三元线性方程组的解法，一般都是利用消元法，很少考虑多解的情况，在高等代数中我们仍然要研究线性方程组，这也

12、是高等代数的重点内容，研究的线性方程组已不在是四元、五元等个例，而是含有多个未知量、多个方程的一般线性方程组，也就是可以是任意元的线性方程组，理论结果具有一般性，对于已熟知一元、二元、三元等线性方程组仍然符合.另外还有在中学数学选修教材中研究了二阶、三阶行列式及其简单的性质，到高等代数教材中就不研究个例了，同样研究更具一般性的任意阶行列式和更普遍的性质，中学数学中的内容就是高等代数内容中的个例或者是具体应用.这种例子举不胜举，典型的如中学向量空间到大学线性空间的概念，因式分解、解析几何、圆锥曲线等亦是如此.所以了解和认识高等代数中的一般性思想，就能将中学已有知识熟练地过渡到高等代数的学习中，相

13、辅相成，并且学生一般性思维的训练也有助于学生将来从事数学教学或者数学研究.2.2 抽象性思想方法高等代数的难点就在于高度的抽象性，从具体到抽象是数学从中学数学过渡到高等代数的最明显的标志，也是数学发展的一般思路.虽然高等代数的研究对象是具体的，例如熟知的线性方程组、行列式、矩阵、线性空间、变换、多项式等，但是这些内容的研究已经带有一般性思想，研究的更广泛更一般化，所以它们的概念也是比较抽象的；比如中学我们接触了一维、二维、三维空间，都是非常具体的，空间内的运算都非常简单也容易理解，在高等代数中我们就可以把它们的共性抽象出来形成了数域上向量空间的概念，此时向量的范畴已经远远扩大，不仅仅是初中的向

14、量，实质上它可以是多项式、矩阵、线性变换等等，这些思想方法的训练和强化为高度数学的研究打下坚实基础.从而要求学生理解、掌握和熟练应用数学中的抽象思维，才能使学生发展数学思维，才能培养出具有严密逻辑的数学人才.2.3 公理化思想方法公理化是任何理论的基础和出发点，一切的定理公式都源于公理，所以在数学的发展历史上，公理化思想发挥着着举足轻重的作用，为数学界的蓬勃发展有着重要推动作用.高等代数中公理化思想无处不在，例如向量空间的定义就是借助公理化方法描述的，这样一来多项式、矩阵、线性变换等均可以在向量空间中进行研究.在统一的定义下可以得出更普遍，更通用，更一般的结论，例如可以研究运算、基、坐标、维数

15、、同构等一系列内容.此外公理化的数学思想方法在高等代数的学习中具有分析和总结数学知识的作用，公理化数学思想能够将零散的数学知识有机结合，从而形成完整的系统化理论，对于高等代数知识结构的把握具有指导作用。 2.4 初等变换的思想方法变换是数学中解决复杂问题的常用方法，也是某些知识点之间相互转化的桥梁，在高等代数中，变换极其普遍，是解题的重要技巧；例如在矩阵部分，矩阵的初等变换是矩阵理论中的重难点，也是后续研究线性方程组、欧式空间线性变换、以及二次型等问题的基础，足以可见初等变换在高等代数中的重要作用；初等变换思想方法的核心是找出变换过程中的变量与不变量，例如在求解线性方程组时，利用初等变换可以保

16、证原方程组的解不发生变化，正因如此，所以可以利用系数矩阵初等变换求解原方程组的解集；还有矩阵的初等变换可以保持矩阵的秩，从而可以利用初等变换求矩阵秩；同理在多项式中也有许多体现.还有在求可逆矩阵的逆矩阵时，我们可以利用逆矩阵最原始的定义式求解，或者借助公式求解，然而事实上初等变换法是求解逆矩阵最为快捷的方法。所以初等变换是高等代数中一种极其重要的思想方法，也是今后学习数学研究数学必备的基本思想方法，初等变换最大的优点也在于它能够化繁为简、化多为少、化大为小，化陌生为熟悉，化未知为已知等特点，从而应用广泛.2.5 辩证思维的思想方法在数学中广泛存在着对辩证思维的思想方法。例如数与形、有限与无限、

17、现象与本质、离散与连续、模糊与准确、随机与确定等，在高等代数学习中，如果能够将辩证思维恰当结合和运用，这样会对高等代数的认识会更加深入，能透过现象看到本质，同时也能培养我们的数学素养.比如普遍联系的观点在高等代数中体现最多.所以在讲授高代内容时，如果授课教师能够分析不同知识间的内在联系，及时引导学生用联系的观点分析问题，例如利用矩阵理论解决线性方程组、用空间理论处理变换问题、空间中的变换与矩阵一一对应等，这些不同的体系却有着相同的属性和本质，一些表面对立的知识在某些时候在一定条件下却互相蕴含，彼此渗透；可以用一个知识的理论方法去解决另一个范畴的问题，也即在一定条件下可以相互转化，所以对这种方法

18、的培养，可以增强学生的发散思维能力，可以拓宽学生的解题思路.2.6 关系映射反演思想方法我们知道代数的本质就是研究映射问题，而研究映射的目的就是通过象问题去透视原问题，所以关系映射反演方法是数学最核心最本质的方法，这种思想通常称为RMI，相关的原理为5：对于具体的关系结构 而言，其包含了目标原象，假如能够得到映射，便能够把原象的集合映射入或者是映射满，便能够把等到相应的目标映象，然后利用反推到 便能够把 进行还原，这样就能够更好地对复杂问题进行解决。对于高等代数而言，在对其进行探究以及学习的过程中，可以知道关系映射反演方法可以将数学中的许多看似无关联的内容结合起来，例如矩阵、线性变换、线性方程

19、组、欧式空间、多项式理论和二次型等.3 高等代数中数学思想方法的具体应用在经过初中数学，高中数学以及高等数学的学习，我们深刻感受到了数学问题解决中方法的灵活多变，技巧的变化多端，以及逻辑推理的天衣无缝，正因如此，高等代数的学习成为了数学专业学生学习的重难点，事实上，刨根究底是学生对于数学思想方法的不理解不熟练造成的；这就要求我们在高等代数问题的解决中要多积累、多总结典型的数学思想方法；本章就详细介绍高等代数中数学思想方法的具体应用.3.1 矩阵的思想方法的应用矩阵是高等代数的重要研究对象，矩阵应用也极其广泛，正因如此，矩阵的思想方法就显得尤为重要；事实上，所谓矩阵的思想方法是利用矩阵的有关理论

20、和方法，将原来的问题转化为矩阵问题，然后利用矩阵的研究方法进行研究探索，得出结论，最后再将结论回归到原问题中的思想方法。高等代数中类似的方法众多，例题更是举不胜举，下面我们就通过线性方程组来说明矩阵理论在求解线性方程组中的应用。例3.1 解数域上的齐次线性方程组的一个基础解系。解 首先把原方程的系数矩阵单独列出来，接下来利用矩阵初等变换，进一步将系数矩阵化简： ，可以从经初等变换后的矩阵中看出，原系数矩阵的秩r，小于未知数个数，因此该方程的解有无限个；并且基础解系中包含 r个线性无关向量。接着写出原方程组的等价方程组取为自由变量，得（1）、先取，得向量；（2）、取，得向量.由线性方程组求解理论

21、可知，线性无关的向量是方程组的一个基础解系，并且全部解为.3.2 公理化思想方法在高等代数中的应用对于数学领域而言，公理化是一个相当关键的思想，可以这么说公理化思想是数据大厦的关键支撑之一，其中该思想位于核心位置，在数学的发展历史中位于重要的位置。因此，只有充分理解并掌握公理化的思想，方可在总体上比较完善的了解与认识数学系统；例如代数结构是高等代数的研究对象，而代数结构的理论基础就是由许多公理化东西构成，所以公理化思想方法在高等代数中有着极其重要的体现，下面以线性空间定义做一说明定义3.13 线性空间V从本质而言，属于非空集合，围绕V进行了详细的规定，即1个二元运算“+”，假定K属于数域的范畴

22、，V中的元素与K中的元素定义了数乘运算“”，两种运算“+”与“”都能符合下列规则：1、 加法交换律 ，有；2、 加法结合律 ，有；3、 存在“零元”，即存在，使得；4、 存在负元，即，存在，使得；5、 “1律” ；6、 数乘结合律 ，都有；7、 分配律 ，都有；8、 分配律 ，都有，在上文的相关定义中能够发现，中学向量空间的定义仅仅是一个特例，而线性空间的定义非常的一般化，也非常的公理化，甚至空间中的向量不在是中学熟悉的向量，足以可见公理化定义在高等代数中的重要作用。3.3 分解的思想方法在高等代数中的应用在分析数学问题的过程中个，可以把一些繁杂的问题分解为一个个相对简单问题是数学中常用方法，

23、或者将陌生问题分解成熟悉问题也是重要方法，在高等代数中这种分解的思想无处不在，下面以行列式求解为例介绍分解思想在高等代数中的具体体现例3.3 试求行列式. 解：可以将行列式的第一列视为在原来的基础上增加了0这个元素，可以通过拆分将原行列式拆分为两个相对简单的行列式 计算上式第一个行列式，可得结果等于1，从而 .上式对任何恒成立，所以得 .3.4 函数和方程的思想方法在高等代数中的应用函数与方程是数学领域的一对孪生兄弟，经常形影不离，在中数学的学习中我们已经深有体会，可以将函数问题方程化，同理可以将方程问题函数化，能够将复杂问题简单化。在高等代数的学习中，函数和方程的思想方法体现的更加普遍与重要

24、，高等代数中的很多概念、理论和解题中都渗透着函数和方程的思想方法，巧妙利用函数和方程的思想来解决问题，可以提高解题效率，降低解题难度，同时还可以培养学生分析问题，探究问题的能力，更能培养学生的创新思维。例3.4 韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中。设的复根为（可能有重复），那么从而；此时记；（是的初等对称多项式）。又有如下结论定理 (韦达定理) 已知，并且。假设的所有复根为。则；命题 给定R上次方程 ， ，假如i能够被判定为1个根，如此共轭复数i也能够得到认定，即它也是1个根。也就是说实系数多项式方程假如有复根，则复根必然成对出现。证明 因为，.上式两边同时共轭，因为系数R，从而有.3

25、.5 构造的思想方法在高等代数中的应用对于构造法而言，它对于解答数问题起到了非常重要的作用，此外构造法的技巧较多，应用的难度较大，构造方法灵活多变，从而往往也是学生学习的难点，此外构造方法也不同于一般的逻辑推理方法，事实上构造法的思路是通过所证结论逐步的寻求必要条件，直至推导出结论，这也是学生难以掌握的一大原因。构造方法在高等代数中应用更加普遍，例如在某些证明中需要构造出具有特殊性质的新的函数、或者构造等式、线性空间证明中构造基、多项式理论证明中构造特殊形式的多项式、以及构造矩阵等来解决问题，所以在高等代数的许多地方都能看到构造法的身影。下面通过具体事例进行说明。例 3.5 设函数在内存在阶导

26、数，证明存在，使证 在上构造函数，有条件可知辅助函数在闭区间内存在阶导数又因为有成立，故满足罗尔中值定理，现在多次使用微分中值定理，可得存在点，使的，即按第一行展开行列式得，左边按最后一列展开行列式，化简可得3.6 转化的思想方法在高等代数中的应用转化就是将某些问题等价转化为其他一些问题，然后进行研究，得出结论，然后再代入到原问题的一种数学思想方法，转化的数学思想方法能够在一定程度上简化问题，将不熟悉的问题划归到已经熟悉的问题上来，用已有的知识探求未知的知识，所以转化的思想方法在数学的发展历程中起着极其重要的作用，甚至在其他领域亦是如此。在高等代数中，转化的思想方法是解决问题中必备的一种能力，

27、也是数学创新中的一种能力，通过一些具体的方法把复杂的问题转化成为相对简单的问题，这样便会降低问题的难度，便可以解答复杂的问题，这样思想在高等代数方面有非常多的应用范围，例如可以将线性方程组的求解问题转化为矩阵的初等变换，线性空间中的变换可以转化为矩阵运算等，类似地还有许许多多，下面就以特征值与特征向量为例做一解释说明。命题3.1 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明 由于是关于的一种线性变换，都是特征值，不过它们彼此都不一样，为一个特征向量，并且它可以归纳为特征子空间的范畴，我们设定，对这个式子的左边和右边都进行作用（）的变换，就能够获得下列式子：，的方幂的系数矩阵为：，每个的值都

28、不一样，从而此矩阵非退化，由线性方程组理论可知该方程组只有零解，所以，又因为特征向量非零，从而，说明线性无关。在上述的例题和研究中，不难发现高等代数中蕴含着多种数学思想方法，每种数学思想方法在高等代数的学习和发展中都起着重要作用，熟练掌握高等代数中的数学思想方法就需要多总结，作分析，多尝试。4 总结与讨论本文通过研究了高等代数中的重要数学思想方法，充分展示了高等代数中数学思想方法的多样性，应用的广泛性，以及对高等代数学习和研究的重要意义和价值，然而数学思想方法贯穿于整个数学的发展过程中，数学思想方法的分类与应用远不止我们以上所研究的，所以更多的数学思想方法与应用还值得我们进一步去研究、去探索。

29、另外，高等数学内容广泛，本文我们只研究了高等代数中的数学思想方法，事实上，数学思想方法不仅仅体现在高等代数中，而在许多数学分支中都有体现，所以说数学领域内跨学科的数学思想方法更为重要，这也将使我们进一步研究的方向参考文献1布合力且木阿不都热合木.高等代数发展数学思维工具的功能研究J.高考,2017(06):155-156.2王洋.同构思想在高等代数解题中的应用探讨J.知音励志,2016(24):127.3姚裕丰.高等代数中的几类数学思想方法J.高师理科学刊,2016,36(05):62-65.4蒋燕.对高等代数中思想方法的认识与探讨J.知音励志,2016(04):12-13.5杨云飞.试论高等

30、代数中概念认知及教学思想探究J.中华少年,2015(15):90.6史秀英.高等代数中蕴涵的数学思想方法J.赤峰学院学报(自然科学版),2014,30(21):5-6.7何守元.巧用迁移思想,解决高代难题J.考试周刊,2014(27):37-38.8王玉华.数学思想方法在高等代数中的应用J.湖北第二师范学院学报,2014,31(02):79-81.9陈金萍,刘宇辉.论高等代数教学中的化归J.数学学习与研究,2013(11):4-5.10宋杰.高等代数课程中的若干数学思想方法J.韶关学院学报,2009,30(03):134-137.11郭微,杨月婷.数学思想方法在高等代数教学中的渗透J.高等数学

31、研究,2009,12(01):105-106.12侯维民.从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系J.数学教育学报,2003(03):84-87.13侯维民.关于代数学研究问题的基本方法J.数学教育学报,1999(01):94-96+100.14邹泽民.高等代数教学中的“联系、联想、对比”J.数学教育学报,1996(04):78-80.致 谢首先要对数学院的导师李琨老师表示感谢! 在导师的悉心指导和严格要求下即将完成大学四年的学习生涯，在这四年的学习生活中无不凝聚着老师的心血和汗水！学院各位教授严谨的治学态度, 渊博的知识,无私奉献的敬业精神,一直是我学习的楷模；在此毕业之际,我谨向尊敬的恩师再次表示衷心的感谢.感谢学校的各位老师和同们学,他们给我的帮助使我受益匪浅, 他们的关心使我深受感动.