常微分方程的数值解法分析.doc

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1、洛阳师范学院本科毕业论文 LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 20*届 本科毕业论文(设计)常微分方程的数值解法分析院（系）名称数学科学学院专 业 名 称（小3号黑体）学生姓名（小3号黑体）学号（Times New Roman小3）指导教师（姓名 职称 小3号黑体）完 成 时 间2009.5（小3号黑体）常微分方程的数值解法分析摘 要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。常微分方程的数值解法在各个领域有广泛应用，因此研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函

2、数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler法、后退Euler法、梯形方法、RungeKutta方法、投影法和多步法，等等。本文通过分析构造常微分方程初值问题数值解法的基本方法，推导出了Euler公式、龙格库塔公式等，并对这些数值方法进行了分析比较，最后做收敛性与稳定性分析。关键词： 常微分方程, 数值解法, 收敛性与稳定性1引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物

3、、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来

4、计算微分方程的数值解往往是不适宜的。从实际意义来讲我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值。本文研究的主要是针对常微分方程各种数值解法的误差进行分析。2 常微分方程- 14 -2.1 定义首先，我们在这部分给出所需的一些基本概念和基本知识。我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数以及其导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。方程 就是常微分方程的例子，这里y是未知函数，t是自变量。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。2.2常微分方程初值问题描述在自然科学和经济的许多领域中，常常会遇到一阶

5、常微分方程的初值问题。一阶常微分方程初值问题形式如下：若连续且满足Lipschitz条件，则此问题存在唯一的连续依赖于初始条件的解。2.3 数值解法的基本思想与途径一阶微分方程的初值问题(1)的解是区间上的连续变量的函数，因而问题(1)实际上是一个连续性的问题，求这个问题的数值解，就是要求在区间上的若干个离散点处的函数近似值，例如：，然后计算出解的近似值.一般常取为等距离的点，即或 称为步长。建立数值方法的第1步，就是把连续性问题(1)通过一定的方法化为在给定的个点上的近似的差分方程的初值问题，称这个过程为离散化。常用离散化的方法如下：2.3.1 用差商替代导数在点处的导数可以近似地表示成差商

6、从而把初值问题(1)化为差分问题 (2)其中表示解在点处的近似解，即。当然，用差商来近似地表示导数，方法不是唯一的，这里所用的是所谓的向前差商。2.3.2 Taylor展开法在一点(例如点)的附近，的同次数的近似多项式中的Taylor多项式 为最好。其中为一正整数。通过微分方程，便可以逐次把各阶导数在处的值表示出来。2.3.3 数值积分法对微分方程在区间上求积分，得 于是，初值问题(1)便可以近似地化为这样，关于上式右端的积分，可以用数值积分方法计算其近似值。2.4 数值解的分类常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：单步法：所谓单步法是指这类方法在计算时，只用到前一步的值然后逐步往下计算

7、。这个算法的代表是龙格-库塔算法，简称RK方法。四阶显示Runge-Kutta方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法，而隐式Runge-Kutta公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。多步法：这类方法在计算时，除了用到前一步的值之外，还要用到这前面步的值，这个算法的代表就是阿达姆斯(Adams)方法。3几种常用的数值解法 3.1 欧拉法Euler方法是最简单的一步法，它是一阶的，精度较差，但公式很简单，即 (3)Euler方法的几何意义在数值计算思想中已经体现出来了，实际上就是用过已知点的折线来近似代替过此点的积分曲线。因此，这种方法又称为折线法。在Euler法中，数值解的

8、误差首先是由差商代替导数引起的，这种近似替代所产生的误差称为截断误差。另外，计算过程中还会由于数值的舍入产生另一种误差舍入误差。显然只有当初产生的误差在以后各步的计算中不会无限制扩大时，即当初始误差充分小时，以后各步的误差也可以充分小，Euler法才具有实用价值。收敛性、截断误差估计与稳定性闷题是常微分方程各种数值解法研究中必须考虑的基本问题。显然这些问题在Euler法中是得到验证的，详见下面例子分析。 在平面上，微分方程(1)的解y=y(x)称作它的积分曲线。积分曲线上一点 线斜率等于函数的值，如果按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致，基

9、于上述几何解释，从初始点出发，先依方向场在该点的方向推进到上一点，然后再从依方向场的方向推进到上一点，循此前进推出一条折线，一般地，设已做出该折线的顶点，过依方向场的方向再推进到，显然两个顶点，的坐标有关系即 (4)这就是著名的欧拉(Euler)公式。若初值已知，则依公式(4)可逐步算出例1 求解初值问题 (5)解 欧拉公式的具体形式为取步长，计算结果如下表：表1 计算结果对比0.10.20.30.40.51.10001.19181.27741.35821.43511.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.50901.58031.64981.

10、71781.78481.48321.54921.61251.67331.7321初值问题(2.1.2)有解，按这个解析式子算出的准确值同近似值一起列在表1， 两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差。3.2 向后EuIer方法向后Euler方法和Euler方法差不多，只是把用 去代替，这时计算公式为 （6）向后Euler方法的总体截断误差也是一阶的，因此向后Euler方法是收敛的。这里需要指出它与Euler方法的一个很大不同之处，Euler方法是显式方法，即由明显地表示出来了，而向后Euler方法是隐式方法，计算时要解隐式方程(6)。通常解此方程用迭代法。因此计算较为麻烦，但比显式Euler方法精

11、度要高。向后欧拉法也是收敛的。 3.3 法将Euler方法公式与向后Euler方法公式作加权平均，得到如下公式： （7）称式(7)为初值问题(1)的法公式。其中如为初值条件。在此法中当时，即 （8）此时的法称为梯形公式法。梯形公式也隐式格式，用起来要进行迭代，其计算公式为 （9）这里在应用本迭代法时，是先用Euler方法求初值的近似值即： 然后将替代梯形公式(8)中的得到的式(9)。式(9)又称为预测校正公式。换言之，由Euler方法给出预测值，再用梯形法予以校正。很显然，当步长办取得适当小时，由Euler方法算出的值已是较好的近似。格式(9)收敛很快，通常只需一两次迭代即可满足精度要求，若需

12、多次迭代，则应缩小步长后再行计算。梯形公式法比用向后Euler方法的迭代步长可以放宽一倍，它的总体截断误差为，比Euler方法高一阶。但它每积分一步要计算二次函数值，这说明的精度的提高是以增加计算量为代价的。3.4 改进欧拉法为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式如果对方程(1)从到积分,得 (10)右端积分中若用梯形求积公式近似，并用代替，代替，则得 (11)称为改进欧拉法改进欧拉方法是隐式单步法，可用迭代法求解用欧拉方法提供迭代初值，则改进欧拉法的迭代公式为 (12)为了分析迭代过程的收敛性，将(11)式与(10)相减，得 ，于是有 ，式中为对y满足Lipschitz常数，如果选取h充分小

13、，使得，则当时有，这说明迭代过程(12)是收敛的例2用改进的欧拉方法求解初值问题(1)解改进的欧拉公式为仍取，计算结果见下表同例1中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度表2 计算结果对比0.10.20.30.40.51.09591.18411.26621.34341.41641.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48601.55251.61531.67821.73791.48321.54921.61251.67331.73213.5 RungeKutta方法Runge-Kutta 方法是一种特殊的单步方法，由于其独特的地位及广泛

14、的应用，因此将其单独列出。Runge-Kutta 方法的基本思想是取一些积分曲线的若干个点的切线斜率，再进行一次（或多次）算术（或加权）平均后，以直线带曲线向前推进。前面提到的几种方法精度是比较低的，与其相比，Runge-Kutta 方法具有较高的精度。它是最常用的一种数值解法，因为它相当精确、稳定、容易编程。RungeKutta方法至今仍然得到广泛地应用。、二级二阶RungeKutta方法由RungeKutta方法的思想，我们得到二阶RungeKutta公式为 （13） (14)RungeKutta公式是在计算两次函数值的情况下，局部截断误差的阶最高是3，式(13)是允许函数任意变化情况下截

15、断误差最小的二阶方法。要再提高阶就必须增加计算函数值的次数。上述式(14)又称为欧拉预估校正公式。、三级三阶RungeKuuta方法两个常用的三阶RungeKuuta方法分别为： （15） （16）这两个常用方法在解决实际问题中能够达到较低的精度要求。但是要更高精度要求的，我们必须了解更高阶的方法一四级四阶RungeKuuta方法。、 四级四阶RungeKutta方法这种方法在解决实际问题中常用。在这里，我们将公式进行导出，以熟悉其方法的实用过程。由于RungeKutta公式对初值问题(1)中的一般都适用，则它必然对特殊的，或也适用。从而可以定出特定的参数来，因此，这里采用的是一种待定系数法，

16、来导出四级四阶显式RungeKutta公式，过程十分简单明了。为了计算简单，令 近似值为，这样求解问题(1)的四阶显示Runge一Kutta公式为 （17） 这里要求 （18）由于RungeKutta公式的思想与数值积分 （19）相似。所以希望四阶显示RungeKutta公式对 （20）是精确的。这样，将（17）式应用于（19）式，就有 与Taylor公式 （21）相比较，有 又由于RungeKutta公式(17)中既要反映的变化，又要反映的变化，所以简单的选取为一对线性函数，这样将(13)式用于 （22）得 （23） 对（22）式求导数有 将上两式代入(23)式并与Taylor公式(21)比

17、较有： 于是总结有如下四阶RungeKutta一般显格式中13个参数所满足的11个参数方程 （24）于是经典的四阶显示RungeKutta公式为 (25)对于单步法而言，欧拉方法是最简单的，且易于分析，但其缺点同样是鲜明的，就是欧法是一阶的，精确度不高，当步长取定后，步数越多，误差越大，因此在实际应用中已经很少了。向后欧拉法、梯形法、 方法都是二阶方法，比欧拉法精度要高，Runge-Kutta 方法是现今使用最为广泛的一种方法，现在已经推广到高于四阶的方法。为了尝试在 Runge-Kutta 方法中设计一个自动调整步长的方法，Fehlberg 转向具有 5 个函数赋值的四阶方法和具有 6 个函

18、数赋值的五阶方法。初看这似乎是很难实现的，因为他的四阶方法比经典的四阶方法需要更多的函数赋值，而且，这两个方法一共需要 7 个函数赋值，然而，Fehlberg能在这些方法中选择参数从而得到具有相同函数赋值点的不同阶数的两个公式。因此，只需要 6 个函数赋值，便得到一个基于步长控制的局部截断误差的估计，并且得到的 Runge-Kutta-Fehlberg 方法是五阶的。4 收敛性与稳定性分析我们用差商近似代替导数方法得到Euler系列公式，基于平均斜率的概念由Taylor展式，待定系数法得到3阶R-K公式，基本思想就是通过离散化把微分方程转化为差分方程，而这些数值解法是否具有实用价值，需要我们考

19、虑以下两类问题： 转化是否合理，即收敛性问题，当步长h充分小时，所得数值解能否精确地逼近初值问题的精确解，即收敛性问题。实际计算过程中，由数值的舍入产生舍入误差，最初产生的误差在以后各步的计算中会不会扩大，即稳定性问题。4.1 收敛性问题方程的转化是否合理，当步长充分小时，所得数值解能否逼近初值问题的精确解。欧拉法的表达方式极为简单，那么，它是否具有实用价值呢？就是说，欧拉法是否收敛呢？另外，还必须估计数值解与真解之间的误差，以便在实际中根据精度要求确定计算方案。在欧拉法中，数值解的误差首先是由差商代替导数引起的，这种近似代替引起的误差称为截断误差，其次，计算过程中还会由于数值的舍入产生舍入误

20、差。显然，只有当最初产生的误差在以后各步的计算中不会无限制扩大时，即初始误差充分小，则以后的误差也充分小，方法才具有实用价值。这种性质称为稳定性问题。4.2 稳定性问题实际计算过程中，由数值的四舍五入产生的舍入误差在以后的逐步计算中是否会扩大。定理 1 欧拉法（2.1）是收敛的，并具有稳定性。总结本文介绍了常微分方程初值问题的几种常用的数值解法，并简单分析了各种方法的优劣性，结合Euler方法，进行了误差估计，讨论了其稳定性和收敛性。参考文献:1李庆扬,王能超,易大义.数值分析M.第5版.清华大学出版社,2008.2A.Iserle.微分方程数值分析基础教程M.清华大学出版社,2005.3王高

21、雄,朱思铭等.常微分方程M.第3版.高等教育出版社,2006.4关治,陆金甫.数值方法M.清华大学出版社,2006.5黄云清等.数值计算方法M.科学出版社,2009.6胡建伟.常微分方程数值方法M.第2版.科学出版社,2007.7林立军,郭松云.常微分方程数值解法RungeKutta法的历史浅析J辽宁师范大学学报(自然科学版)26（2）：117120，200368徐萃微,孙绳武.计算方法引论M北京：高等教育出版社, 2002.9李信真,车刚明,欧阳洁.计算方法M西安：西北工业大学出版社,200010冯康.数值计算方法M杭州：浙江大学出版社,2003 Analysis of Numerical

22、Method for Solving theOrdinary Differential EquationAbstractThere are many phenomena in nature and engineering, which can be defined as the problems of ordinary differential equations. Many partial differential equations can be solved by solving the ordinary differential equations as well. The numer

23、ical solution of ordinary differential equations is widely used in many fields, so it is of practical significance to study the numerical solution of ordinary differential equations. The numerical solution is a discrete mathematical method, which can find out the approximate value of the exact solut

24、ion of the function in a series of discrete points. With the development of computational methods, enhancing the computing ability of computer and numerical methods for ordinary differential equations, the numerical solutions mature increasingly, such as Euler method, trapezoidal back method, Runge

25、Kutta method, projection method and multi-step method, etc. In this paper, by analyzing the basic method of solving the initial value problem of ordinary differential equation, the Euler formula and Runge Kutta formula are deduced. Finally, we analyze the convergence and stability.Keywords: Ordinary differential equations, numerical solution methods, convergence and stability