06《工程数学(本)》第六讲.pdf

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1、第五章 二次型1 特征值与特征向量特征值与特征向量引言 纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)Ax=l x?例：34003422,123002311l l 一、基本概念定义1：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：则 l=1 为 的特征值，为对应于l=1 的特征向量.342212311 3423 21

2、 一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax=l x=lE x 非零向量 x 满足(AlE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式|AlE|=0特征方程特征方程特征多项式特征多项式 特征方程|AlE|=0 特征多项式|AlE|111212122212|0nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 二、特征值与特征向量的求法 若p为A的对应于特征值l的特征向量，则当k0时，kp也是A对应于特征值l的特征向量；若p1，p2

3、为A的对应特征值的特征向量，则当p1p2时，p1+p2也是A对应于特征值l的特征向量。下面讨论如何求方阵A的特征值和特征向量。例例1：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l1=2 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl ll ll ll ll ll ll ll l 1231012302xx 12110110 xx

4、111p 例例1：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l2=4 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl ll ll ll ll ll ll ll l 1231014304xx 12110110 xx 211p 10第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得

5、该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量特征值与特征向量的计算的步骤：第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；A第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A练习练习1：求方阵求方阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量 1513例例2：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=1，l l2=l l3=2 211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)AEl ll llllllll ll lllllllllll 例：例：求矩

6、阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l1=1 时，因为时，因为解方程组解方程组(A+E)x=0解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量211020413A 1111101030 010414000rAEAEl l 1101p 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2=l l3=2 时，因为时，因为解方程组解方程组(A2E)x=0解得基础解系解得基础解系 k2 p2+k3 p3（k2,k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量21102041

7、3A 4114112000 000411000rAE 23100,141pp 练习练习2：求方阵求方阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量 201034011三、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例：例：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1)l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2)当当 A 可逆时

8、，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值(3)l l是是 AT 的特征值；的特征值；结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则pl l2 是是 A2 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然的特征值，对应的特征向量仍然是是 p 例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1,1,2，求，求A*+3A2E 的特征值的特征值解

9、：解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j j (A)其中其中|A|=1(1)2=2 设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值，p 是对应的特征向量令是对应的特征向量令则则2()32j llj lll l 11()(232)2()3()2223232()A pAAE pApApppppppj jl ll lj j l ll ll l 定理定理2：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,p

10、m 线性无关线性无关2032413202423.A计算 阶实矩阵的全部特征值和特征向量32422423)(l ll ll ll ll lAEf.)1()8(2 l ll l解解第一步计算的特征多项式第一步计算的特征多项式A习题21.,)(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出特特征征多多项项式式第第二二步步Afl l.,1,8,0)(321全部特征值全部特征值的的为为解之得解之得令令Af l ll ll ll l.0)(,811的一个基础解系的一个基础解系求相应线性方程组求相应线性方程组对对 xAEl ll l第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量A22 ,0524,0

11、282,0425321321321xxxxxxxxx.2121 个个基基础础解解系系化化简简求求得得此此方方程程组组的的一一).0(81111数数为实为实的全部特征向量为的全部特征向量为属于属于 kk l l23.021,101:,0424,022,0424:0)(,122321321321232 l ll ll l基础解系基础解系求解得此方程组的一个求解得此方程组的一个的一个基础解系的一个基础解系求相应线性方程组求相应线性方程组同理对同理对xxxxxxxxxxAE24.,1 32332232是是不不全全为为零零的的实实数数的的全全部部特特征征向向量量为为的的属属于于于于是是kkkkA l l

12、l l .,0,;321332211是不全为零的实数是不全为零的实数为实数为实数里里这这的全部特征向量为的全部特征向量为从而从而kkkkkkA 2512112.1,1)121112TkAAk已知向量（是矩阵的逆阵的特征向量，试求常数 的值。11AAll解：设 是 所属的的特征值，即，Al 于是，即2111112111211kkl 26(3)1(22)kkkll由此得方程组11221121.4kkll 其解为，；，121kA 故或 时，是的特征向量。2721113.121111A,AbaAAa bll设 矩 阵可 逆，向 量是矩 阵的 一 个 特 征 向 量，是对 应 的 特 征 值，其 中是

13、矩 阵的 伴 随 矩 阵，试 求和的 值。28AAAl解：矩阵 的属于特征值 的特征向量为，由于矩阵 可逆，故可逆。00.AAll于是，且*AAAAAAl l两边同时左乘矩阵，得，即，亦即211111211111Abbal 293221AbAbbAablll 由此，得方程组2,12abb解方程组得或。3021112132411433AaaAbbl由于，由方程组的第一个方程知，特征向量 所对应的特征值。1124.bbll 所以，当时；当时314.,11121,211TnAA AEAAAnkA 设 阶方阵 满足试证：（）当时，是 的一个特征值；（）当且时，是 的一个特征值。1 1TA AEA 证：

14、（）由及知，-11TEAA AA1111TTAE AAEAEA3210,1EAA由此得即是 的一个特征值。2121Ank（）当且时，TEAA AAAE AAE1nEAEA 0,1EAA由此知即 为 的特征值。33125.2A13Al 设是非奇异矩阵 的一个特征值，试求矩阵的一个特征值。3422,AAl 解：设 是 的对应于的一个特征向量，即于是2112423333AAA 112221114,3333AAA 由此得12133,344A l 所以故1213A为矩阵的一个特征值。2 正交矩阵正交矩阵一、标准正交向量 定义：设有n 维向量令x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn，则称 x,y 为向

15、量 x 和 y 的内积说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时，x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y 1122,nnxyxyxyxy x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性：x,y=y,xl线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z l当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0l施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y定义2：令称|x|为 n 维向量 x 的长度（或范数）当

16、|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x=0（零向量）时，|x|=0；当 x0（零向量）时，|x|0 齐次性：|l x|=|l|x|2,xxxxx xx xlllll lllllll ll22212|,0nx xxxxx2|,|,|xxxx xx xxlllllllll ll l定义3：当 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x,y=0，称向量 x 和 y 正交结论：若 x=0，则 x 与任何向量都正交xy,arccos|x yxy 定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定

17、理：定理：若若 n 维向量维向量a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1,a2,ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1+k2a2+kr ar=0（零向量）（零向量），那么，那么 0=a1,0=a1,k1a1+k2a2+kr ar =k1 a1,a1+k2 a1,a2+kr a1,ar =k1 a1,a1+0+0 =k1|a1|2从而从而 k1=0同理可证，同理可证，k2=k3=kr=0综上所述，综上所述，a1,a2,ar 线性无关线性无关例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向

18、量a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3=(x1,x2,x3)T，若，若a1a3，a2a3，则，则 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0 a2,a3=a2T a3=x1 2 x2+x3=012111,211aa 12311101210 xAxxx 得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr 1320 xxx 101 3101a 定义：定义：n 维向量维向量e1,e2,er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足 e1,e2,er

19、 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1,e2,er 两两正交；两两正交；e1,e2,er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 设设 e1,e2,er

20、是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意一中任意一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x=l l1e1+l l2e2+l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题：向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1,a2,ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1,e2,er2,1,2,|iiiiiix ex eire eel l,1,2,iix eirl l二、线性无关向量组的标准正交化第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是

21、向量空间 V 中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基11ba 122222111,b abacabb b3333313213233121122,bacaccb ab aabbb bb b二、线性无关向量组的标准正交化b1c2a2b2返回返回令令 c2 为为 a2 在在 b1 上的投影，则上的投影，则 c2=l l b1，若令若令 b2=a2 c2=a2 l l b1，则，则 b1b2 下面确定下面确定l l 的值因为的值因为所以所以 ，从而，从而a2b1 2121121110,b bab ba bb bllll2111,a bb bl

22、 l 12222212111,b abacababb bl l 第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1,b2,br 两两正交，并且与a1,a2,ar 等价，即 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1,bk 与a1,ak 等价（1 k r）121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba 122222111,b abacabb b第二步：单位化第二步：单位化设设 b1,b2,br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令

23、因为因为从而从而 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基112212111,|rrrebebebbbb21111111221111|111,1|be ebbb bbbbb111|,1ee e例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取1231142,3,1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：例：设设 ，试用施密特

24、正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令1231142,3,1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2,a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交.解：解：若若a1a2，a1a3，则，则 a1,a2=a1T a2=x1+x2+x3=0 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0即即a2,a3 应满足方程应满足方程 x1+x2+x3=0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求（以保证（

25、以保证 a2a3 成立）成立）1111a 12100,111 231110,2211aa 定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA=E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 即即 A1=AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 1,(,1,2,)0,Tijijija aa ai jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTT

26、TTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a三、正交矩阵定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.因为因为ATA=E 与与AAT=E 等价，所以等价，所以1,(,1,2,)0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212

27、221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bAAb bbbb bb bb b定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量

28、，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.例：例：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基121200121200001212001212P 1234001212001212,121200001212eeee 正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A|=1 或或1 若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 AB 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y=Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的

29、长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是正交变换的优良特性|()()|TTTTTyy yPxPxx P Pxx xx表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数.n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxxx系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线

30、性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.返回返回11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 3 相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵一、相似矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A

31、和 B 的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B 于是|B lE|=|P 1AP P 1(lE)P|=|P 1(AlE)P|=|P 1|AlE|P|=|AlE|定理1：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式 相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似证明：设存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B，则P 1AkP=Bk.设j(x)=cmxm+cm1xm1+c1x+c0，那么 P 1 j(A)P=P 1 cmAm+cm1Am1+c1A+c0 E)P=cm

32、P 1 Am P+cm1P 1 A m1 P+c1 P 1 A P+c0 P 1 EP=cmBm+cm1Bm1+c1B+c0 E=j(B).定理：设 n 阶矩阵 L=diag(l1,l2,ln)，则l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值证明：故 l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值1212()()()nnEl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l L L 定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1,l l2,l

33、lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关 二、矩阵的矩对角化可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L L（对角阵）（对角阵）AP=PL LApi=l li pi(i=1,2,n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?(Al li E)pi=0 矩阵矩阵 P 的的列向量组列向量组线性无关线性无关121212(,)(,)nnnA ppppppl ll ll l 定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依次是与之对应的依次是与之对应的特征向量，如果特征向量，如果 l l1,l l2,l

34、 lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是能对角化）的充分必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化从而不一定能对角化定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值

35、，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关定理定理4：设设 l l1 和和 l l2 是是对称阵对称阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2 是对应的特是对应的特征向量，如果征向量，如果 l l1 l l2，则，则 p1,p2 正交正交证明：证明：A p1=l l1 p1，A p2=l l2 2 p2，l l1 l l2 l l1 p1T=(l l1 p1)T=(A p1)T=p1T A T=p1T A（A 是对称阵）是对称阵）l l1 p1T p2=p1T A p2=

36、p1T(l l2 2 p2)=l l2 p1T p2(l l1 l l2)p1T p2=0因为因为l l1 l l2，则，则 p1T p2=0，即，即 p1,p2 正交正交三、实对称矩阵的对角化定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的

37、特征向量 推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重

38、根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化推论：推论：设设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵，l l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，则重根，则矩阵矩阵 A lElE 的秩等于的秩等于 n k，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 l l 对应对应例：例：设设 ，求，求正交阵正交阵 P，使，使P1AP=L L对角阵对角阵.解：解：因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1=2，l l2=l l

39、3=1 011101110A 211|11(1)(2)11AEl ll ll ll ll ll l 当当 l l1=2 时，时，解方程组解方程组(A+2E)x=0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2=l l3=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得，得 令令 ，则，则 .问题：这样的解法对吗？问题：这样的解法对吗？2111012121 011112000rAE 1111 111111111 000111000rAE 23111,001 123111(,)110101P 1000000211PAP L L p当当 l l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l

40、 l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .显然，必有显然，必有 1 2，1 3，但，但 2 3 未必成立未必成立于是把于是把 2,3 正交化：正交化：此时此时 1h h2，1h h3，h h2h h3 1111 23111,001 32223322211,11,1,202 h hhhhhhhh hh h 单位化：单位化：p当当 l l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .1111 231111,1202h hh h 111131p 2311111,12602pp p当当 l l1=2

41、时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2=l l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为于是于是 p1,p2,p3 构成正交阵构成正交阵从而从而 111131p 2311111,12602pp 123111326111(,)32612036Pppp 1000000211PAP L L 把对称阵把对称阵 A 对角化的步骤为：对角化的步骤为：1.求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 l l1,l l2,l ls，它们的重，它们的重数依次为数依次为k1,k2,ks（k1+k2+ks=n）2.对每个对每个 ki 重特征值重特征值 l li，求方程组，求

42、方程组|Al li E|=0 的基础解的基础解系，得系，得 ki 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量因为因为k1+k2+ks=n，总共可得，总共可得 n 个两两正交的单位个两两正交的单位特征向量特征向量3.这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP=L L L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.例：例：设设 ，求，

43、求 An .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法2112A 22222212154131311212452 1313A 3332335421141313131451213142 1313AA A 11111211313131311212213131313nnnnnnnnnnAAA 例：例：设设 ，求，求 An .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法p因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1=1，l l2=3下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 2112A 221|(2)1(1)(3)12AEl ll ll l

44、l ll ll l 1003 L L 1003nn L L 下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 l l1=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2=3 时，时，解方程组解方程组(A3E)x=0 ，得基础解系，得基础解系 于是于是 Ap1=p1，A p2=3 p2，即，即 若若 ，则，则 11111100rAE 111p 111131100rAE 211p 121210(,)(,)03A pppp 1211(,)11Ppp 11003PAP 11112 11P 于是于是 ，即，即11()11101112 110311111

45、0111313112 1103112 1313nnnnnnnnnAP PPPLLLL 11003PAP L L 1AP P L L4 二次型及其标准形二次型及其标准形对应对应 投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 100011,0.xxy yx0(,)P x y111(,)P xycossinsincosj jj jj jj j 1111cossin,sincos.xxyyxyjjjjjjjj (,)P x y111(,)P xyj j yx0 解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+

46、bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2+ny 2=0 cossin,sincos.xxyyxyjjjjjjjj 令令 aij=aji，则，则 2 aij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是，于是22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa xa x x 定义：含有 n 个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数22

47、212111222121213131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx一、二次型的矩阵表示一、二次型的矩阵表示称为二次型212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221=()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x

48、 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 对称阵对称阵对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f =k1 y12+k2 y

49、22+kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.如果标准形的系数如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取值三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.简记为简记为 x=C y，于是于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y11111221221122221122,.nnn

50、nnnmnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP=B，则称矩阵则称矩阵A 和和 B 相似相似定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC=B，则称矩阵则称矩阵A 和和 B 合同合同 显然，显然，pBT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若即若 A 为对称阵，则为对称阵，则 B 也为对称阵也为对称阵pR(B)=R(A)经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为