2004第二型曲线积分的计算.pdf

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1、数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社第四讲第四讲第二型第二型曲线积分曲线积分的计算的计算数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线设平面曲线(),:,(),xtLtyt=其中其中(),(),tt 在 在上具有一阶连续导函数上具有一阶连续导函数,AB与与(),()(),().与 与点点的坐标分别为的坐标分别为2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系且且数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社AB从到从到的第二型曲线积分的第二型曲线积分+(,)d(,)dL

2、P x yxQ x yy=+(),()()(),()()d.(6)PtttQtttt=(,)d(),()()d,LP x yxPtttt=(,)d(),()()d,LQ x yyQtttt读者可仿照读者可仿照1中定理中定理20.1的方法分别证明的方法分别证明由此便可得公式由此便可得公式(6).2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系又设又设(,)(,)P x yQ x yL与为与为上的连续函数上的连续函数,则沿则沿 L数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社在在 L 上任意选取一点作为起点上任意选取一点作为起点,沿沿L所指定的方向前所指定的方向前进进,最后

3、回到这一点最后回到这一点.204图图Oyx1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1)C例例1 计算计算+d()d,Lxy xyxy其中其中 L 分别沿图分别沿图20-4中的路线中的路线:(i)直线段直线段;AB(ii)()22(1)1;ACByx=+抛物线:抛物线:(iii)ADBA(三角形周界三角形周界).2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系对于沿封闭曲线对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分的第二型曲线积分(2)的计算的计算,可可数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社解解(i)直线直线L的参数方程为的参数方程为=+=+1,0,1.12,xttyt

4、故由公式故由公式(6)可得可得d()dABxy xyxy+=+10(1)(12)2 dtttt=+=12025(152)d.6ttt2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系204图图Oyx1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1)C数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社d()dACBxy xyxy+2221 2(1)1 2(1)14(1)dxxxxxx=+=+=232110(10323512)d.3xxxx(iii)这里这里L是一条封闭曲线是一条封闭曲线,故可从故可从 A开始开始,应用上段应用上段加即可得到所求之曲线积分加即可得到所求之曲线积分.所

5、以所以的性质的性质2,分别求沿分别求沿的曲线积分的曲线积分然后相然后相,AD DB BA2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系ACB=+22(1)1,12,yxx(ii)曲线曲线为抛物线为抛物线数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社d()dADxy xyxy+沿直线沿直线:2,(13)DB xyyy=的的曲曲线积分线积分为为d()dDBxy xyxy+d()dBAxy xyxy+所以所以d()dLxy xyxy+沿直线沿直线的曲线积分的曲线积分可由可由(i)及公式及公式(5)得到得到:BA2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲

6、线积分的联系由于沿直线由于沿直线:,1(12)AD xx yx=的曲线积分的曲线积分为为25=d()d.6ABxy xyxy+=dADxy x=213d2x x=()dDByxy=31(2)d0.yy=32580.263=+=数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社=+120(4)2dxxxx12066d2.3xx=+ddLx yy x解解(i)例例2 计算计算+dd,Lx yy x这里这里 L 为为:(i)沿抛物线沿抛物线=22,yxOB从到从到的一段的一段(图图20-5);(ii)沿直线沿直线:2;OByx=(iii)沿封闭曲线沿封闭曲线.OABO205图图Oy(1,2)B1(1,0)A

7、2x2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系142.2=ddLx yy x+(ii)10(22)dxxx=+数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社(iii)在在OA一段上一段上,=0,01;yxAB在在一段上一段上,1,02;xy=10 xx到到的一段的一段.ddOAx yy x+ddABx yy x+2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系所以所以dddd2.BOOBx yy xx yy x+=+=(见见(ii)=2yx 从从一段上与一段上与(ii)一样是一样是BO在在100d0,x=201d2,y=ddLx yy

8、x+因此因此()ddOAABBOx yy x=+0220.=+=数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿式相仿.=(),:(),(),xx tLyy ttzz t2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系设空间有向光滑曲线设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为的参量方程为(),(),(),xyz(),(),(),xyz起点为起点为终点为终点为则则+dddLP xQ yR z=+(),(),()()(),(),()()P x ty tz tx tQ x ty tz

9、 ty t(),(),()()d.(7)R x ty tz tz tt+这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系=+2d()dd,LIxy xxyyxz=cos,sin,xat yat zbt0t从到从到=L是螺旋线是螺旋线:例例3 计算第二型曲线积分计算第二型曲线积分t=上的一段上的一段.解解 由公式由公式(7),32222220(cos sincossin coscos)dIattatatta btt=+3332201111sinsin(1)(sin2)3222atatab tt=+21(1).2ab=+