2005两类曲线积分的联系.pdf

《2005两类曲线积分的联系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2005两类曲线积分的联系.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社第五讲第五讲两类曲线两类曲线积分积分的联系的联系数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(,(),int,Lxxxa bG=00,则对任意则对任意,存在存在对于任意分割对于任意分割01:,nT axxxb=只要只要1max:1,iiTxxin=必有必有dddd,LlP xQ yP xQ y+其中其中(,(),1,2,iiiilAA xxin=是以是以为端点为端点的折线的折线.()x ,a b*例例4 设设G是是 R2 中的有界闭域，中的有界闭域，是是上的连续上的连续可微函数可

2、微函数,(,),(,)P x yQ x y是在是在G上的连续函数上的连续函数.数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社sup(,)(,),P x yx yGMsup(,)(,),Q x yx yGMsup(),.xxa bM.(12)()Mba=+=+令令由由P,Q在在 G 的一致连续性的一致连续性,存在存在0.使得使得(,),(,),A x yB x yG yy(,)(,),P x yP x y(,)(,).Q x yQ x y 证证 由由的有界性的有界性,存在存在使得使得就有就有数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社,x xa bxx就有就有()(),()()xxxx.任意分割任意分

3、割01:,nT axxxb=满足满足1max:1,.iiTxxin=由由在在上的一致连续性上的一致连续性,存在存在使得使得其斜率为其斜率为数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社,xa b ()().l xx(,()(,(),P xxP x l x(,()()(,()()iQ xxxQ x l x (,()()(,()()iQ xxxQ xx (,()()(,()()iiQ xxQ x l x +2,M于是于是L1iA iA,1,2,.iL in=设设在在到到的那段曲线为的那段曲线为则则1.niiLL=2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系1,niill

4、=l(),.l xxa b 设设 的方程为的方程为则则数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社ddddLlP xQ yP xQ y+1ddddiiniLlP xQ yP xQ y=+11(,()()(,()()diinxixiQ xxxQ x l xx =+11(,()(,()diinxxiP xxP x l xx =因此因此2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(12)()=.Mba=+=+11112nniiiiiixxM xx=+注注 例例4 说明曲线上的积分可用折线上的积分来逼近说明曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.数学分析 第二十章 曲线积分高

5、等教育出版社*两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系可以建立它们之间的联系.LAB设为从到设为从到的有向光滑曲线的有向光滑曲线,它以弧长它以弧长s为参数为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型物理原型,且有着不同的特性且有着不同的特性,于是于是=(),:0,(),xx sLslyy s其中其中l为曲线为曲线L的全长的全长,且点且点AB与与的坐标分别为的坐标分别为2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(0),(0)(),().xyx ly l与与但在一

6、定条件下但在一定条件下,如如数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社约定曲线约定曲线L上每一点的切线方向指向弧长增加的一方上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.正向的夹角正向的夹角,=ddcos(,),cos(,).(8)ddxyt xt yss(,),(,)P x y Q x yL若为曲线若为曲线上的连续函数上的连续函数,式得式得+ddLP xQ y=+0(),()cos(,)(),()cos(,)dlP x sy st xQ x sy st ys(,)cos(,)(,)cos(,)d,(9)LP x yt xQ x yt ys=+2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算

7、两类曲线积分的联系现以现以(,),(,)t xt y分别表示分别表示切线方向切线方向txy与轴与与轴与轴轴则在曲线每一点处切线的方向余弦是则在曲线每一点处切线的方向余弦是则由则由(6)数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式公式.注注 当当(9)式左边第二型曲线积分中式左边第二型曲线积分中L改变方向时改变方向时,积积分值改变符号分值改变符号,曲线上各点的切线方向指向相反的方向曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧即指向弧长减少的方向长减少的方向).,的夹角相差一个弧度的夹角相差一个弧度cos(,)cos(,)t xt y和和从而从而都都要变号要变号.2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(,)(,)t xt y和和分别与原来分别与原来这时夹角这时夹角因此因此,一旦方向确定了一旦方向确定了,公式公式(9)总是成立的总是成立的.相应在相应在(9)式右边第一型曲线积分中式右边第一型曲线积分中,