4高中数学知识点-三角函数.pdf

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1、三角函数三角函数考试内容：考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦

2、、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、的物理意义（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinxarc-cosxarctanx 表示（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形（8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1”04.三角函数三角函数三角函数三角函数知识要点知识要点知识要点知识要点1.与（0 360）终 边

3、相 同 的 角 的 集 合（角与 角的 终 边 重 合）：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合：Zkk,180|终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360kyxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一

4、、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx2.角度与弧度的互换关系：360=2180=1=0.017451=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad18057.30=571811800.01745（rad）3、弧长公式：rl|.扇形面积公式：211|22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；.yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全

5、二正弦，三切四余弦）?正切、余切?余弦、正割?-?-?-?-?-?+?+?+?+?+?-?+?正弦、余割?o?o?o?x?y?x?y?x?y6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx|)(xfcosxRxx|)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc229、诱

6、导公式：2k把的三角函数化为 的三角函数，概括为：?r?o?x?y a的终边?P（x,y)?T?M?A?O?P?x?y“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公公式式组组二二公公式式组组三三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公公式式组组四四公公式式组组五五公公式式组组六六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(x

7、xxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换公公式式组组一一公公式式组组二二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tansincoscossin)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公公式式组组三三公公式式组组四四公公式式组组五五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2t

8、an242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan.公公式式组组一一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tan

9、sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域RRR值域 1,1 1,1RRAA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性22,22kk上 为 增 函数；223,22kk上 为 减 函数（Zk）2,12kk；上 为 增 函数12,2kk上 为 减 函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1,kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）注意：xysin与

10、xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy 在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）.xysin与xycos的周期是.)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy 的周期为 2（2TT，如图，翻折无效）.)sin(xy的对称轴方程是2 kx（Zk），对称中心（0,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）.xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan,1tan)(2Zkk；tan,1tan)(2Zkk.xycos与kxy22sin是同一函数,

11、而)(xy是偶函数，则ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinOyx)cos()21sin()(xkxxy.函数xytan在R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一

12、定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T）；212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(.abbabaycos)sin(sincos22有yba22.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0

13、 时的相位）（当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的1|倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(

14、用 x替换 x)yxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4 4、反三角函数：、反三角函数：函数 ysinx，22，x的反函数叫做反正弦函数反正弦函数，记作 yarcsinx，它的定义域是1，1，值域是22，函数 ycosx，（x0，）的反应函数叫

15、做反余弦函数反余弦函数，记作 yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，函数 ytanx，22，x的反函数叫做反正切函数反正切函数，记作 yarctanx，它的定义域是（，），值域是22，函数 yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数反余切函数，记作 yarcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）II.竞赛知识要点竞赛知识要点一、反三角函数一、反三角函数.1.反三角函数：反正弦函数xyarcsin是奇函数，故xxarcsin)arcsin(，1,1x（一定要注明定义域，若,x，没有x与y一一对应，故xysin无反函数）注：xx)sin(arcsin，1,1x，2,2arcsin

16、x.反余弦函数xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1,1x.注：xx)cos(arccos，1,1x，,0arccosx.xycos是偶函数，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin为奇函数.反正切函数：xyarctan，定义域),(，值域（2,2），xyarctan是奇函数，xxarctan)arctan(，x),(.注：xx)tan(arctan，x),(.反余切函数：xarcycot，定义域),(，值域（2,2），xarcycot是非奇非偶.kxarcxarc2)cot()cot(，x),(.注：xxarc)cotcot(，x),(.x

17、yarcsin与)1arcsin(xy互 为 奇 函 数，xyarctan同 理 为 奇 而xyarccos与xarcycot非奇非偶但满足 1,1,2)cot(cot 1,1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx.正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围解集a的取值范围解集ax sin的解集的解集ax cos的解集的解集a1a1a=1Zkakxx,arcsin2|a=1Zkakxx,arccos2|a1Zkakxxk,arcsin1|a1Zkakxx,arccos|ax tan的解集：的解集：Zkakxx,arctan|ax cot的解集：的解集：Zkakxx,c

18、otarc|二、三角恒等式二、三角恒等式.组一组一组二组二nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cosnkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos()1sin()cos()cos(cos)cos(nkdndxdnndxdxxkdx0sin)sin()1sin()sin()sin(sin)sin(tantantantantantan1tantantantantantan)tan(组三组三 三角函数不等式三角函数不等式xsinx)2,0(,tanxxxxxfsin)(在),0(上是减函数若CBA，则CxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2222cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn