函数、极限与连续(高等数学).ppt

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1、（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念 第一章第一章 主要内容主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性1 1、函数的定义、函数的定义函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则 f辨别下列各对函数是否相同,为什么?不同不同,定义域不同定义域不同 不同不同,对应关系不同对应关系不同 相同相同,定义域

2、和对应关系定义域和对应关系都相同都相同函数的定义域函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。用用解解析析式式表表示示的的函函数数，其其定定义义域域是是自自变变量量所所能能取取的的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根；(3)在对数式中，真数必须大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x-1,1例：求下列函数的定义域 即

3、所以定义域为(-,-4)(-4,1)(1,+)即解得所以定义域为-1,1)(1,+)(2)要使函数有意义,必须有 且有解:(1)要使函数有意义，必须有分母取其公共部分解所以定义域为(-3,+)(4)要使函数有意义,必须有 所以定义域为(-1,1)B.(3)(4)(3)要使函数有意义，必须有解得练习：练习：P9 2 3例.设 ,求下列函数值 解:解:解：1）2）3）(1)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo2 2、函数的性质、函数的性质(2)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点

4、 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。(3)函数的有界性函数的有界性:设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通（通常说周期函数的周期是指其最小正常说周期函数的周期是指

5、其最小正周期周期）.(4)函数的周期性函数的周期性:oyx说明：反函数与直接函数之间的关系说明：反函数与直接函数之间的关系3 3、反函数、反函数6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数1.幂函数幂函数2.指数函数指数函数3.对数函数对数函数4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数5.反三角函数反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.7 7、复合函数、复

6、合函数8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.练习：练习：P10 11左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大

7、无穷大1 1、极限、极限左极限左极限右极限右极限函数的极限与左、右极限有如下关系：函数的极限与左、右极限有如下关系：2.2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 例例 判断函数判断函数 在在 点处是否有极限点处是否有极限.解解:因为因为所以所以说明：说明：1.1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者左极限与右极限中只要有一个不存在，或者 都存在但不相等，则函数的极限不存在。都存在但不相等，则函数的极限不存在。左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,证证习题：习题：P18 3定理定理(唯一性定理唯一性定理)如果函数在某一变化过程中如果函数在某一变化

8、过程中 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的 定理定理(有界性定理有界性定理)若函数若函数f(x)当当x x0 0时极限存在，时极限存在，则必存在则必存在x0 0的某一邻域，使得函数的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界在该邻域内有界函数极限的性质函数极限的性质定理定理(保号性保号性)推论推论无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系

9、无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大性质性质3 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.性质性质1 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小的性质二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系三、极限与无穷小的关系四、无穷大量四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系五、无穷小与无穷大的关系六、小节六、小节补充补充 无穷

10、大与无穷小无穷大与无穷小定义定义 若变量若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量在某过程下以零为极限，则称变量Y在在此过程下为无穷小量，简称无穷小此过程下为无穷小量，简称无穷小.例例1例例2时的无穷小量时的无穷小量.时的无穷小量时的无穷小量.因为因为所以所以因为因为所以所以一、无穷小量一、无穷小量例如函数例如函数 时的无穷时的无穷小，但当小，但当时不是无穷小。时不是无穷小。当当 时，时，的极限不为零，所以当的极限不为零，所以当 时，函数时，函数 不是无穷小，而当不是无穷小，而当 时时是无穷小量。是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，

11、而不是限的变量，而不是绝对值很小绝对值很小的数。因此应明确指的数。因此应明确指出其变化过程。出其变化过程。(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.(1)(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质二、无穷小的性质定理定理 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中例例3解解 注意注意 这个极限不能用极限的四则运算法

12、则求得，这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为因为 不存在不存在.所以所以时的无穷小量时的无穷小量.为有界变量为有界变量,三、无穷小与函数极限的关系三、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性定义定义 在自变量在自变量x的某一变化过程中的某一变化过程中,若函数值的绝对若函数值的绝对值值 无限增大，则称无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无穷为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大大量，简称无穷大.记作记作 四、无穷大量四、无穷大量特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种

13、特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同同 一一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小无穷小(不等于不等于0)的倒数是无穷大的倒数是无穷大.定理定理 在自变量的同一变化过程中，若在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大为无穷大,则则 为无穷小为无穷小;反之反之,若若f(x)为无穷小且为无穷小且f(x)不等于不等于0,则则 为无穷大为无穷大.例如：例如：五、无穷小与无穷大的关系五、无穷小与无穷大的关系以后，遇到类似例以后，遇到

14、类似例6的题目，可直接写出结果的题目，可直接写出结果.例例4解解例例5 5考察考察 当当 时，时，为无穷大量；为无穷大量；当当 时，时，为无穷小量；为无穷小量；六、小结六、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;定理定理.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大

15、.定理定理推论推论1 1推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.求极限方法举例求极限方法举例例例2 2解解例例1解：原式解：原式小结小结:解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例3 3解解例例4 4(消去零因子法消去零因子法)练习练习解解解分

16、母有理化，分子有理化分母有理化，分子有理化解：例例5 5解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)例例6 ，然后再求极限，得，然后再求极限，得分母同时除以分母同时除以分子分子,3x解解小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.练习练习解解例例7 7解解先变形再求极限先变形再求极限.例例8 8解解例例9 9解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,说明：说明：1 什么情况下，需要分别求左右极限什么情况下，需要分别求左右极限（）求分段函数连接点处的极限（）求分段函数连接点处的极限（）

17、（）被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等.下列几个极限不存在下列几个极限不存在一个重要的结论一个重要的结论则有例题练习：练习：P1920 15 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)(1)(2)6 6、两个重要极限、两个重要极限=0注意：注意：(1)例例1解解1coslim0此题中用到此题中用到 xx=例例2解解例例3 3解解练习：练习：解答：解答：(2)注意：注意：例例4 4解解练习：练习：或或例题例题例例5 5解解定义定义:7 7、无穷小的比较、无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8、等价无穷小

18、的性质、等价无穷小的性质几个重要的等价无穷小：当时，例例解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意例例解解解解错错左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类1 1、连续的定义、连续的定义从

19、而，从而，则一定满足以下条件则一定满足以下条件例例1 1证证由定义由定义2知知2.单侧连续单侧连续定理定理3 3、连续的充要条件、连续的充要条件例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如通俗的说即一笔划过通俗的说即一笔划过5 5、间断点的定义、间断点的定义1.跳跃间断点跳跃间断点例例解解6 6、间断点的分类、间断点的

20、分类2.可去间断点可去间断点例例解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如上例中如上例中,跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx3.第二类间断点第二类间断点例例解解例例解解例例解解 函数在函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义处没有定义所以所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点是函数的间断点所以所以x=-1是函数的无穷间断点是函数的无穷间断点所以所以x=0是函数的跳跃间断点是函数

21、的跳跃间断点()()所以所以x=1是函数的可去间断点是函数的可去间断点()解解分界点为分界点为 x=1,=1,x=2=2（i i）当）当 x=1=1时时 所以所以 x=1 是函数的跳跃间断点是函数的跳跃间断点练习练习：考察函数：考察函数（iiii）讨论）讨论 x=2=2 而而f(2)=5(2)=5 所以所以x=2是函数的连续的点是函数的连续的点因此因此,分段函数的分界点是可能间断点分段函数的分界点是可能间断点例例解解7 7、闭区间的连续性、闭区间的连续性8 8、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理定理定理9 9、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理定理定理 基本初等函数在定义域内是

22、连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.1010、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.定义定义:几何解释几何解释:四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立例例1 1证证由零点定理由零点定理,例例2 2证证由零点定理由零点定理,补充：已知补充：已知，求，求k的值的值解：因为解：因为所以所以即即因此因此由由