向量几何应用.ppt

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1、向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 例如，向量数量积对应着几何中的长度例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：如图：平行四边行平行四边行ABCD中，中，设设 ，则，则 向量向量 的夹角为的夹角为 BAD.例例1.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD中，中，E、F在在对角线对角线BD上，并且上，并且BE=FD，求证，求证AECF是平是平行四边形。行四边形。证明：由已知设证明：由已知设即边即边AE、FC平行且相等，平行且相等，AECF是平行四边形是平行四边形（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问

2、题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2.求证平行四边形对角线互相平分求证平行四边形对角线互相平分 证明：如图，已知平行四边形证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条的两条对角线相交于对角线相交于M，设，设则则 根据平面向量基本定

3、理知，这两个分解根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以式是相同的，所以解得解得 所以点所以点M是是AC、BD的中点，即两条对的中点，即两条对角线互相平分角线互相平分.例例3.已知正方形已知正方形ABCD，P为对角线为对角线AC上任意上任意一点，一点，PEAB于点于点E，PFBC于点于点F，连接，连接DP、EF，求证，求证DP EF。证明：选择正交基底证明：选择正交基底 在这个基底下在这个基底下设设所以所以因此因此DPEF.例例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：解：设 ，则 分析：分析

4、：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。向量与直线向量与直线方向向量方向向量法向量法向量xoy三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例3、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H由此可设利用ADBC，BECA，对应向量垂直。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例4、如图已知、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分

5、别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解解：设则由此可得即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例例5、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起，使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64，求求AEM的面积的面积ABCDMNEF分析分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)解得：e=5故AEM的面积为10