向量组线性相关性的等价刻画.ppt

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1、2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 定理定理2.2.向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关 存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得使得k1 1+k2 2+ks s=0.证明证明:()1,2,s线性相关线性相关 r(A)s,其中其中A=(1,2,s)存在存在s阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得APes=0 令令(k1,k2,ks)=(Pes)T，则则(k1,k2,ks)0且且 k1 1+k2 2+ks s=0.第二章第二章第二章

2、第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 ()设设k1,k2,ks不全为零且不全为零且不妨设不妨设k1 0,则则 k1 1+k2 2+ks s=0.根据根据推论推论2.1可知可知 1,2,s线性相关线性相关.1=k1 k2 2 k1 k3 3 k1 ks s 因而因而 1,2,s能由能由 2,s线性表示线性表示.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻

3、画向量组线性相关性的等价刻画 推论推论2.4.若若 1,2,s线性相关线性相关,反之反之,若若 1,2,s,s+1,t线性线性 无关无关,则则 1,2,s也也线性无关线性无关.则则 1,2,s,s+1,t也也线性相线性相 关关.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 若向量组若向量组,线性相关线性相关,其中其中 1,2,s是维数相同的列向量是维数相同的列向量,1,2,s也是维数相同的列向量也是维数相同的列向量,则则 1,2,s也是也是线性相关的线性

4、相关的.反之反之,若若 1,2,s线性无关线性无关,则则也是也是线性无关的线性无关的.,1 1 2 2 s s 1 1 2 2 s s 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 推论推论2.5.1,2,s线性无关线性无关 由由k1 1+k2 2+ks s=0可推出可推出 k1=k2=ks=0.例例2.6 设设n维列向量维列向量 和和n n矩阵矩阵A满足满足 Ak 1 0,但但Ak =0,证明证明:向量组向量组,A,A2,Ak 1 线性无关线性无关.第

5、二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 定理定理2.3.向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关 1,2,s至少有一个可以由其余至少有一个可以由其余 s 1个个向量线性表示向量线性表示.定理定理2.4.若若向量组向量组 1,2,s线性无关线性无关,而而 1,2,s,线性相关线性相关,则则 一定一定 能由能由 1,2,s线性表示线性表示,并且表并且表示的方式是唯一的示的方式是唯一的.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.

6、3 2.3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 例例2.7 证明证明:n个个n维列向量维列向量 1,2,n线性无线性无 关的充分必要条件是关的充分必要条件是:任何一个任何一个n维列向维列向 量量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.证明证明:(充分性充分性)任何一个任何一个n维列向量维列向量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示 1=100,2=010,n=001 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示 n=r(1,n)r(1,n)n 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.3 2.

7、3 向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画向量组线性相关性的等价刻画 证明证明:(必要性必要性)由于由于n+1个个n维列向量总是线维列向量总是线 性相关的性相关的,所以所以 1,2,n,线性相线性相 关关.又因为又因为 1,2,n线性无关线性无关,根据定理根据定理 2.4可知可知 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 例例2.7 证明证明:n个个n维列向量维列向量 1,2,n线性无线性无 关的充分必要条件是关的充分必要条件是:任何一个任何一个n维列向维列向 量量 都能由都能由 1,2,n线性表示线性表示.