向量代数与空间解析几何课件.ppt

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1、1第八章第八章 向量代数与向量代数与空间解析几何空间解析几何2第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系定点定点横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住 z 轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指度转向度转向 y 轴正向时，轴正向时，大拇指的指向就是大拇指的指向就是 z 轴的正向轴的正向.从从 x 轴正向以轴正向以 角角3面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限4空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点一个分量

2、为零一个分量为零:点在坐标面上点在坐标面上.两个分量为零两个分量为零:点在坐标轴上点在坐标轴上.5为空间两点为空间两点,由勾股定理，得由勾股定理，得两点间的距离公式两点间的距离公式：Oxyzz1z2x2x1y1y2M2M16 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点 A(4,1,7)和和B(3,5,2)等距等距离的点离的点.设该点为设该点为M(0,0,z),由题设由题设|MA|=|MB|,即即解得解得即所求点为即所求点为例例1 1解解7第二节第二节 向量的线性运算和向量的坐标表示向量的线性运算和向量的坐标表示一、向量的概念一、向量的概念1、向量向量:既有大小既有大小,又有方向的量又有方向的量,称为称

3、为向量向量(或或矢量矢量).用一条有方向的线段来表示向量用一条有方向的线段来表示向量.2、向量的几何表示法向量的几何表示法以线段的以线段的长度长度表示向量的表示向量的大小大小,AB特别特别:模为模为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量.模为模为0 0的向量称为的向量称为零向量零向量.记为记为 ,它的方向可以看它的方向可以看作是任意的作是任意的.有向线段的有向线段的方向方向表示向量的方向表示向量的方向.以以A为起点为起点,B为终点的向量为终点的向量,记为记为 或或 .AB向量向量 的大小叫做向量的的大小叫做向量的模模.记为记为 或或 .ABAB|83、自由向量自由向量自由向量自由向量：只有

4、大小、方向：只有大小、方向,而无特定起点的向量而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同大小相等且方向相同,4、向量相等向量相等即通过平移即通过平移可以使它们可以使它们重合重合,95、向量平行向量平行(或共线或共线)6、向量共面向量共面 当把若干个向量的起点放在一起时当把若干个向量的起点放在一起时,若它们的若它们的终点和公共起点在一个平面上终点和公共起点在一个平面上,则称这些向量则称这些向量共面共面.如果两个向量如果两个向量 与与 的方向相同或相反的方向相同或相反,称为称为平平行行,记为记为10 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定

5、它们特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.AOB或或.7、两向量的夹角两向量的夹角将它们平移，使得始点重合，将它们平移，使得始点重合，平行，平行，111、向量的加法向量的加法(1)平行四边形法则平行四边形法则(2)三角形法则三角形法则向量的加法向量的加法二、向量的线性运算二、向量的线性运算12向量加法的运算规律：向量加法的运算规律：(1)交换律交换律:(2)结合律结合律:13多个向量相加多个向量相加:例如例如,142、向量的减法：向量的减法：(2)向量减法向量减法.规定规定:(1)负向量负向量:与与 模相同而方向相反的向量模相同而方向

6、相反的向量,称为称为 的的负向量负向量,记作记作 .将将 之一平移之一平移,使起使起点重合点重合,由由 的终点向的终点向 的终点作一向量的终点作一向量,即为即为 153、向量与数的乘法向量与数的乘法定义定义模：模：当当 0时时,当当 0时时,当当 =0时时,设设 为实数为实数.规定规定:向量向量 与数与数 的的 为一个向量为一个向量.方向：方向：16向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律:(1)结合律结合律:(2)分配律分配律:定理定理向量的单位化：向量的单位化：17例例2 2 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边第三边,且其长度等于第三

7、边的一半且其长度等于第三边的一半.证证ABCDE所以所以所以所以且且18例例3 3证证ABCDEFO19练习：练习：20三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示1.起点在原点的向量起点在原点的向量(向径向径)OM设点设点 M(x,y,z)zijkMoxyCABzyxN以以 分别表示沿分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量轴正向的单位向量,称为称为基本单基本单位向量位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC称称 OA、OB、OC分别是分别是OM 在在 x 轴轴,y 轴轴,z 轴轴上的上的分向量分向量,而而x,y,z,分别是分别是OM 在三坐标轴上的投在三坐标轴上的投影影,称为称为OM 的的坐标坐

8、标.简记为简记为 ,此称为向量此称为向量 的的坐标表示式坐标表示式.21 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影2.起点不在原点起点不在原点O的任一向量的任一向量设点设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)22按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：23利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算24两向量平行的充要条件：两向量平行的充要条件：即即 ax=bx，ay=by，az

9、=bz，于是于是即对应的坐标成比例即对应的坐标成比例.注注:在上在上 式中规定式中规定,若某个分母为零若某个分母为零,则相应的分则相应的分子也为零子也为零.已知已知设设且且 为常数为常数,25设设为直线上的点，为直线上的点，例例4 4解解由题意知：由题意知：2627向量的模的坐标表示向量的模的坐标表示由勾股定理知，由勾股定理知，此即向量此即向量模的坐标表示模的坐标表示.28方向角与方向余弦方向角与方向余弦 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角.29方向角与方向余弦方向角与方向余弦 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称

10、为称为方向角方向角.由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向.30方向角与方向余弦方向角与方向余弦 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角.向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式31方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为32 已知两点已知两点M1(2,2,)和和M2(1,3,0).计算向量计算向量M1 M2的模的模,方向余弦和方向角方向余弦和方向角.例例5 5解解M1 M2=1,1,模模:方向余弦：方向余弦：方向角：方向角

11、：33 已知两点已知两点A(4,0,5)和和B(7,1,3).求方向和求方向和AB 一致的单位向量一致的单位向量.例例6 6解解34练习：练习：P8 习题习题8.21.35sF解解:由物理知由物理知,与位移平行与位移平行的分力作功的分力作功,与位移垂直与位移垂直的分力不作功的分力不作功.于是于是第三节第三节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积一、向量的数量积一、向量的数量积例如例如:设力设力 F 作用于某物体上作用于某物体上,物体有一段位移物体有一段位移 S,求功的表示式求功的表示式.36数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内内积积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和两

12、向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义定义投影投影37数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：38关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证39例例1 1 利用向量证明三角形的余弦定理利用向量证明三角形的余弦定理证证40例例2 2证证所以所以41数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式设设42两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为43例例3 3解解(1)(2)

13、44例例4 4解解45二、两向量的向量积二、两向量的向量积先研究物体转动时产生的先研究物体转动时产生的力矩力矩M 的的方向方向:垂直于垂直于OP与与F 所在的平所在的平面面,指向使指向使OP、F与与M 满足满足右手规则右手规则.46定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.47注注:（1）向量积的模的）向量积的模的几何意义几何意义.48向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）反交换律：反交换律：（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：例例5 549向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式设设50向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示51例例6 6

14、解解52三角形三角形ABC的面积为的面积为例例7 7解解53三、向量的混合积三、向量的混合积定义定义设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式54（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：55ABCD例例8 8解解56ABCD57例例9 9解解 只要判别三个向量只要判别三个向量AB、AC、AD是否共面即可是否共面即可 因此因此 A、B、C、D 四点共面四点共面 58解解例例101059向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果

15、是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）小结小结60练习：练习：P15 习题习题8.31.61 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知平面的法线向量为已知平面的法线向量为设平面上的任一点为设平面上的任一点为第四节第四节 平面方程和空间直线方程平面方程和空间直线方程一、平面及其方程一、平面及其方程且过点且过点求平面方程求平面方程.1、平面的点法式方程、平面的点法式方程62 平面的点法式方程平面的点法式方程63解解例例1 1化简

16、得所求平面方程为化简得所求平面方程为由平面的点法式由平面的点法式64取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得解解例例2 2BCA65 称为平面的称为平面的三点式方程三点式方程 66所以所求平面的法向量为所以所求平面的法向量为化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解例例3 3两平面的法向分别为两平面的法向分别为672、平面的一般方程、平面的一般方程 前面看到前面看到,平面可用平面可用三元一次方程三元一次方程表示；反之表示；反之,任一三元一次方程任一三元一次方程（*）当当 A,B,C 不全为零时不全为零时,表示一张平面表示一张平面,它的法向为它的法向为（*）称为平面的）称为平面的一般方程一

17、般方程.68平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.69解解例例4 4求通过求通过 x 轴和点轴和点(4,3,1)的平面方程的平面方程.由于平面过由于平面过 x 轴轴,所以所以 A=D=0.设所求平面的方程为设所求平面的方程为 By+Cz=0,又点又点(4,3,1)在平面上在平面上,所以所以 3B C=0,C=3B,所求平面方程为所求平面方程为 By 3Bz=0,所以所求平面方程

18、为所以所求平面方程为70设平面方程为设平面方程为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解例例5 571代入即得所求方程为代入即得所求方程为平面的截距式方程平面的截距式方程oyPxzQR72把平面方程化为截距式把平面方程化为截距式解解例例6 673两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）3、两平面的夹角、两平面的夹角74按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/75解解例例7 7两平面的法向分别为两平面的法向分别为76解解例例8 8 判断下列各组平面

19、的位置关系：判断下列各组平面的位置关系：两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合解解77两平面平行两平面平行所以两平面重合所以两平面重合.解解78解解例例9 9所求平面的法向为所求平面的法向为化简得化简得79解解例例1010设所求方程为设所求方程为80解解4、点到平面的距离、点到平面的距离而而81 点到平面距离公式点到平面距离公式82平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程（注意两平面的（注意两平面的位置关系位置关系

20、）小结小结83定义定义空间直线可看成两个不平行平面的交线空间直线可看成两个不平行平面的交线 空间直线的一般方程空间直线的一般方程二、空间直线及其方程二、空间直线及其方程1、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程84方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于一如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条已知直线，这个向量称为这条直线的条直线的方向向量方向向量/2、空间直线的点向式方程与参数方程、空间直线的点向式方程与参数方程85 直线的点向式方程直线的点向式方程(或对称式方程或对称式方程)此时直线与此时直线与 x 轴垂直；轴垂直；此时直线与此时直线与 xOy 面垂直面垂直.86令

21、令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程87解解例例1111 直线的直线的两点式方程两点式方程 方向向量为方向向量为所以所求直线方程为所以所求直线方程为88所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程解解例例1212因为直线和因为直线和 y 轴垂直相交轴垂直相交,89解解例例13 13 将直线一般式化为对称方程及参数方程：将直线一般式化为对称方程及参数方程：先在直线上找一点：先在直线上找一点：解得解得90再求方向向量：再求方向向量：参数方程为参数方程为91 定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角

22、称为两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角两直线的夹角.（通常取锐角）（通常取锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式3、两直线的夹角、两直线的夹角s1s292两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，93解解例例141494定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角95 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/96例例15 15 判定下列各组直线与平面的关系：判定下列各组直线与平面的关系：又点又点M0(3,4,0)在

23、直线在直线 L 上上,但不在平面上但不在平面上,所以所以 L 与与 平行平行,但不重合但不重合.解解L的方向向量的方向向量 的法向量的法向量所以所以 L 与与 平行平行.97解解L的方向向量的方向向量 的法向量的法向量所以所以 L 与与 垂直垂直.例例15 15 判定下列各组直线与平面的关系：判定下列各组直线与平面的关系：98解解L的方向向量的方向向量的法向量的法向量所以所以 L 与与 平行平行.又又 L 上的点上的点 M0(2,2,3)满足平面方程满足平面方程,所以所以 L 与与 重重合合.例例15 15 判定下列各组直线与平面的关系：判定下列各组直线与平面的关系：99为所求夹角为所求夹角解

24、解例例1616100解解例例1717例例1818解解方向向量方向向量101例例1919解解过点过点 A 且与直线且与直线 L 垂直的平面垂直的平面：再求直线再求直线 L 与平面与平面 的交点的交点(垂足垂足)：代入代入的方程的方程,102所求直线为过点所求直线为过点 A,B 的直线：的直线：例例1919解解1035、平面束方程、平面束方程设两张平面设两张平面相交于直线相交于直线 L,则过则过 L 的平面束可表示为的平面束可表示为 104例例2020解解由此得到所求平面方程为由此得到所求平面方程为 105比较：比较：解解所以其法向所以其法向为为 由点法式得所求平面的方程由点法式得所求平面的方程为

25、为 即即106例例2121解解由此得到所求平面方程为由此得到所求平面方程为 107例例2222解解先求先求 L的方向向量：的方向向量：方法方法1 1108方法方法1 1例例2222解解109方法方法2 2设过直线设过直线 L的平面束方程为的平面束方程为 例例2222110以下同方法以下同方法1.方法方法2 2设过直线设过直线 L的平面束方程为的平面束方程为 例例2222111例例2323解解过已知直线的过已知直线的平面束平面束方程为方程为112解得解得代回平面束方程代回平面束方程,得所求平面方程为得所求平面方程为1136、点到直线的距离、点到直线的距离 解解所以所以 114例例2424解解 1

26、15例例2525解解 直直线线的方向向量的方向向量为为 所以所求所以所求距离距离为为 116例例2626解法解法1分析分析 两异面直线间的距离两异面直线间的距离d，即介于两异面直线间即介于两异面直线间公垂线段的长公垂线段的长.法向为法向为117解法解法1法向为法向为例例2626118利用混合积、向量积的几何意义知利用混合积、向量积的几何意义知:两两异面异面直线间的距离为直线间的距离为 解法解法2例例2626119空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系注意直线与平面的位置关系）小结小结120练习：练习：P23 习题习题8.41.