周期信号的傅里叶级数和频谱.ppt

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1、第三章第三章 连续信号与系统的实频域分析连续信号与系统的实频域分析主讲人：史洪宇主讲人：史洪宇本章主要内容本章主要内容:v3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱连续周期信号的傅里叶级数与频谱 v3.2 连续非周期信号傅里叶变换与频谱连续非周期信号傅里叶变换与频谱 v3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 v3.4 LTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析v3.5 滤波器滤波器v3.6 采样器采样器 v3.7 调制器与解调器调制器与解调器 变换域分析的基本思想为：将信号分解为变换域分析的基本思想为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信

2、号的响应，从而求出系统对给定信号的响应信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。（零状态响应）。在第二章中我们以在第二章中我们以其中其中h(t)反映了系统的特性。反映了系统的特性。为基本信号将任意信号为基本信号将任意信号进行分解进行分解(虚指数函数虚指数函数)为基本为基本信号。信号。本章以本章以正弦函数正弦函数 或或 任意周期信号任意周期信号可以表示为一系列不同频率的可以表示为一系列不同频率的正弦或正弦或 虚指数函数之和。虚指数函数之和。任意非周期信号任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正可以表示为一系列不同频率的正弦或虚弦或虚 指数函数积分。指数函数积分。具有一定幅度和相位

3、，角频率为具有一定幅度和相位，角频率为 的虚指数函数的虚指数函数作用于作用于LTI连续系统时，所引起的响应连续系统时，所引起的响应(零状态响应零状态响应)是是同同频率的虚指数函数频率的虚指数函数，可表示为：，可表示为：系统的影响表现为频率响应函数系统的影响表现为频率响应函数，它是信号角，它是信号角频率频率 的函数，而与时间的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变无关，用于系统分析的独立变 量为量为，故称之为，故称之为频域分析频域分析。将周期信号将周期信号 在区间在区间 内展开成完内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三

4、角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数三角形傅里叶级数”或或“指数形傅指数形傅 里叶级数里叶级数”，统称为，统称为傅里叶级数傅里叶级数。v从本章开始由从本章开始由时域时域转为转为变换域变换域分析。分析。首先考虑傅里叶变换。首先考虑傅里叶变换。v频域分析将时间变量频域分析将时间变量t转换成频率变量转换成频率变量或或f。揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性及其频率特性之间的密切关系及其频率特性之间的密切关系从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等

5、从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。重要概念。一、周期信号的分解一、周期信号的分解设有一个周期信号设有一个周期信号，它的周期是，它的周期是，角频率，角频率，它可分解为：，它可分解为：其中其中 称为傅里叶系数，称为傅里叶系数，。3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱连续周期信号的傅里叶级数与频谱 那么那么,傅里叶系数如何求得呢傅里叶系数如何求得呢?由上式可见，由上式可见，是是 的偶函数的偶函数 ，是是 的奇函数，的奇函数，由于由于是同频率项是同频率项,因此因此:式中：式中：则有则有 可见，可见，是是 的偶函数，即有的偶函数，即有 而而 是是的奇函数，即有的奇函数，即有 可见，任何满

6、足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直 流分量流分量 ，一次谐波或基波，一次谐波或基波 ，它的，它的角角 频率与原周期信号相同，二次谐波频率与原周期信号相同，二次谐波波波 ，以此类推，三次，四次等谐波。以此类推，三次，四次等谐波。一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ，是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅，是其初相角。是其初相角。*结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。例例3.1-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。解：解：它仅含有一、三、五、七它仅含有一、三、五、七

7、.等奇次谐波分量。等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：TT/20t(a)基波基波0T/2Tt(b)基波基波+三次谐波三次谐波0T/2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波0T/2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波+七次谐波七次谐波图图 3.1-1 方波的组成方波的组成（1）所所取取项项愈愈多多，合合成成波波形形（除除间间断断点点外外）愈愈接近于原方波信号。接近于原方波信号。（2）所所取取项项数数愈愈多多，在在间间断断点点附附近近，尖尖峰峰愈愈靠靠近间断点。近间断点。（3）即使）即使

8、，在间断点处尖峰仍不能与之，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有吻合，有 的偏差。但在均方的意义上合成的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现吉布斯现象）象）主体主体-低频低频 细节细节-高频高频二、傅里叶级数的指数形式二、傅里叶级数的指数形式将上式第三项中的将上式第三项中的 用用 代换，并考虑到代换，并考虑到 是是 的的偶函数，即偶函数，即 ；是是 的奇函数的奇函数,则上式可写为则上式可写为:如将上式中的如将上式中的 写成写成 （），），则上式可以写成则上式可以写成:令复数量令复数量 ，称其为，称其为复傅复傅里叶系数里叶系数，简称傅里

9、叶系数。其模为，简称傅里叶系数。其模为 ，相，相角为角为 ，则得傅里叶级数的指数形式为则得傅里叶级数的指数形式为：njnjnFeFeAnn=j jj j21复傅里叶系数复傅里叶系数 这就是求指数形式傅里叶级数的复系数这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的的公式。公式。任意周期信号任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相之和，其各分量的复数幅度（或相量）为量）为 。总结：总结：与与 互为共轭。互为共轭。与与 的关系。的关系。三角形式傅里叶级数：三角形式傅里叶级数：指数形式傅里叶级数：指数形式傅里叶级数：任意周期信号可以表示为一

10、系列不同频率的正弦函任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。数或虚指数函数之和。复傅里叶系数复傅里叶系数 与与 ，的关系的关系:3.1.2 周期信号的频谱周期信号的频谱一、一、周期信号的频谱周期信号的频谱三角形式：三角形式：指数形式：指数形式：如果将如果将 ，的关系绘成如图的关系绘成如图3.3.1（a）（）（c）线图，便可清楚而直观地看出）线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为别称为幅度谱幅度谱和和相位谱相位谱（单边）（单边）。如果将如果将 ，的关系绘成如图的关系绘成如图4.3.1（b）（）（d）的

11、线图，同样可清楚而直观地）的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为也分别称为幅度谱幅度谱和和相位谱相位谱（双边）（双边）。例例 3.1-2 试画出试画出f(t)的振幅谱和相位谱。的振幅谱和相位谱。解解：f(t)为为周周期期信信号号，题题中中所所给给的的f(t)表表达达式式可可视视为为f(t)的傅里叶级数展开式。据的傅里叶级数展开式。据 可可知知，其其基基波波频频率率=(rad/s)，基基本本周周期期T=2s，=2、3、6 分别为二、分别为二、三、六次谐波频率。且有：三、六次谐波频率。且有：其余其余 图图 3.1-2 (

12、a)振幅谱；振幅谱；(b)相位谱相位谱 图图 3.1-3 信号的双边频谱信号的双边频谱(a)振幅谱；振幅谱；(b)相位谱相位谱 二、二、周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱 设有一幅度为设有一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周期性矩形脉的周期性矩形脉 冲，其周期为冲，其周期为 ，求其复傅里叶系数。，求其复傅里叶系数。图图 3.1-4 周期矩形脉冲周期矩形脉冲11-取样函数取样函数 1.它是它是偶函数。偶函数。2.当当 时，时，。3.当当 时，函数值为时，函数值为0。它是无限拖尾的衰减振荡。它是无限拖尾的衰减振荡。,该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：该周期性矩形脉冲的指数形式傅里

13、叶级数展开式为：图图3.1-5 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱（T=4）零点的位置：零点的位置：相邻谱线的间隔：相邻谱线的间隔：第一个零点的位置：第一个零点的位置：第一个零点时谱线的序号：第一个零点时谱线的序号：由上图可以看出，此周期信号频谱具由上图可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：有以下几个特点：第第一一为为离离散散性性，此此频频谱谱由由不不连连续续的的谱谱线线组组成成，每每一一条条谱谱线线代代表表一一个个正正弦弦分分量量，所所以以此此频频谱谱称称为为不不连连续续谱或离散谱。谱或离散谱。第第二二为为谐谐波波性性，此此频频谱谱的的每每一一条条谱谱线线只只能能出出现现在在基基波波频

14、频率率的的整整数数倍倍频频率率上上，即即含含有有的的各各次次谐谐波波分分量，而决不含有非量，而决不含有非的谐波分量。的谐波分量。第第三三为为收收敛敛性性，此此频频谱谱的的各各次次谐谐波波分分量量的的振振幅幅虽虽然然随随n的的变变化化有有起起伏伏变变化化，但但总总的的趋趋势势是是随随着着n的的增大而逐渐减小。增大而逐渐减小。当当n时，时，|Fn|0。1、各谱线的幅度按包络线、各谱线的幅度按包络线 的规律变化。的规律变化。在在 各处，即各处，即 的各处，的各处，包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。于零。2、周期矩形脉冲信号包含无限多条

15、谱线，也就是说，、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，它可分解为无限多个频率分量。它可分解为无限多个频率分量。周期性矩形脉冲信号的频谱还有周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点自己的特点:3、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱：、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱：谱线间隔不变，但零点位置变化。谱线间隔不变，但零点位置变化。周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱：周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱：零点位置不变，谱线间隔变化。零点位置不变，谱线间隔变化。相邻谱线的间隔相邻谱线的间隔 零，周期信号的零，周期信号的 离散频谱离散频谱 非周期信号的连续频谱。非周期信号的连续频谱。通常把频率范围通

16、常把频率范围 称为周期矩形脉冲称为周期矩形脉冲 信号的信号的带宽带宽，用符号，用符号 表示，即周期矩形脉冲信表示，即周期矩形脉冲信 号的频带宽度为号的频带宽度为 。图图3.1-6 脉冲宽度与频谱的关系脉冲宽度与频谱的关系1/1602/4/Fnf(t)tT0=T/8f(t)tT0 =T/402/8/1/8Fn4/02/16/1/4Fn4/8/tT0=T/16f(t)周期相同，脉冲宽度不同周期相同，脉冲宽度不同:谱线间隔不变，但零点位置变化谱线间隔不变，但零点位置变化f(t)2TtT03T4TT=4 f(t)2TtT0T=8 f(t)tT0T=16 f(t)t0T02/4/1/4Fn02/4/TF

17、n02/4/1/16Fn02/4/1/8Fn图图3.1-7 周期与频谱的关系周期与频谱的关系周期不同，脉冲宽度相同周期不同，脉冲宽度相同:零点位置不变，谱线间隔变化零点位置不变，谱线间隔变化总结v1、傅里叶级数的三角形式、傅里叶级数的三角形式v2、傅里叶级数的指数形式、傅里叶级数的指数形式v3、周期信号的频谱及其特点。、周期信号的频谱及其特点。3.2连续非周期信号傅里叶变换与频谱连续非周期信号傅里叶变换与频谱 前已指出，当周期信号周期趋于无限大时，前已指出，当周期信号周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。密集成为

18、连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。一、傅里叶变换一、傅里叶变换令令称称 为为频谱密度函数频谱密度函数。为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。频谱密度的概念。由式由式 ，可得可得如何求频谱密度函数？如何求频谱密度函数？.当周期当周期 趋近于无限大时，趋近于无限大时，趋近于无穷小，趋近于无穷小，取其取其 为为 ，而，而 将趋近于将趋近于 ，是变量，当是变量，当 时，它是离散值，当时，它是离散值，当 趋趋近于无限

19、小时，它近于无限小时，它 就成为连续变量，取为就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分。，求和符号改为积分。于是当于是当 时，式时，式成为成为（1）式称为函数）式称为函数 的的傅里叶变换傅里叶变换。（2）式称为函数）式称为函数 的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换。称为称为 的频谱密度函数或频谱函数的频谱密度函数或频谱函数.称为称为 的原函数。的原函数。简记为简记为,与与周周期期信信号号的的傅傅里里叶叶级级数数相相类类似似，在在f(t)是是实实函函数数时时，F()、()与与R()、X()相相互互之之间间存存在在下下列列关系：关系：是是 的偶函数。的偶函数。是是 的奇函数。的奇函数。在在f(t)是实函数

20、时：是实函数时：(1)若若f(t)为为t的的偶偶函函数数，即即f(t)=f(-t)，则则f(t)的的频频谱谱函数函数F(j)为为的实函数，的实函数，且为且为的偶函数。的偶函数。(2)若若f(t)为为t的的奇奇函函数数，即即f(-t)=-f(t)，则则f(t)的的频频谱函数谱函数F(j)为为的虚函数，且为的虚函数，且为的奇函数。的奇函数。与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即换表示式改写成三角函数的形式，即 结论：结论：上上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦弦“分分 量量

21、”所组成，它包含了频率从零到无限大所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率的一切频率“分分 量量”。由式可见，。由式可见，相当于各相当于各“分量分量”的振的振幅，它是无穷小量。幅，它是无穷小量。所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函密度函 数来表示。类似于物质的密度是单位体积数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数的质量，函数 可看作是单位频率的振幅，可看作是单位频率的振幅，称称 为频谱密度函数。为频谱密度函数。例例3.2-1 下图所示为下图所示为门函数门函数（或称矩形脉冲），（或称矩形脉冲），用符号用符号 表示，其宽度为表示，其宽度为 ，

22、幅度为，幅度为 。求其频谱函数。求其频谱函数。0二、二、典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换解：解：如图所示的门函数可表示为如图所示的门函数可表示为:其频谱函数为其频谱函数为:图图 3.2-1 门函数及其频谱门函数及其频谱一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 和相位和相位 谱谱 两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱 函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。为为负负代代表表相相位位为为 ，为为正正代代表表相相位位为为 。00实偶实偶实偶实偶由图可见，第一个零值的角频

23、率为由图可见，第一个零值的角频率为 （频率（频率 ）。）。当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 之间的频段为信号的频带宽度。之间的频段为信号的频带宽度。这样，门函数的带宽这样，门函数的带宽 ，脉冲宽度越窄，脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。其占有的频带越宽。0(时域越窄时域越窄,频域越宽频域越宽)例例3.2-2 求下图所示的求下图所示的单边指数函数单边指数函数的频谱函数的频谱函数.0t图图 3.2-2 单边指数函数单边指数函数解解:将单边指数函数的表示式将单边指

24、数函数的表示式 代入到式代入到式 中得：中得：这是一复函数这是一复函数,将它分为模和相角两部分：将它分为模和相角两部分：幅度谱和相位谱分别为：幅度谱和相位谱分别为：频谱图如下图所示：频谱图如下图所示：()0-/2/2(b)相位频谱图 3.2-3 单边指数函数01/(a)振幅频谱例例 3.2-3 求下图所示求下图所示双边指数信号双边指数信号的频谱函数。的频谱函数。et10tf1(t)e-t解：上图所示的信号可表示为：解：上图所示的信号可表示为：或者写为或者写为将将 代入到式代入到式 ，可得其频谱函数为：可得其频谱函数为：其频谱图如下所示其频谱图如下所示：F1(j)02/实偶实偶实偶实偶et10t

25、f1(t)e-t例例3.2-4 求下图所示信号的频谱函数。求下图所示信号的频谱函数。-et10tf2(t)e-t-1解解:上图所示的信号可写为上图所示的信号可写为：（其中（其中 )-et10tf2(t)e-t-1其频谱图如下图所示：其频谱图如下图所示：X2()01/-1/实奇实奇虚奇虚奇-et10tf2(t)e-t-1例例3.2-5 求求冲激函数冲激函数的频谱的频谱 即单位冲激函数的频谱是常数即单位冲激函数的频谱是常数 ，如下图所示。其频，如下图所示。其频 谱密度在区间谱密度在区间 处处相等，常称为处处相等，常称为“均匀谱均匀谱”或或“白色频谱白色频谱”。0t(t)01F(j)(a)(b)图图

26、3.2-5 单位冲激函数的频谱单位冲激函数的频谱(时域越窄时域越窄,频域越宽频域越宽)例例3.2-6 求求单位直流信号单位直流信号的频谱的频谱显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换 却存在。它可以看作是函数却存在。它可以看作是函数 当当 时的极限时的极限。则直流信号的频谱函数也应。则直流信号的频谱函数也应 是是 的频谱函数的频谱函数 当当 时的极限。时的极限。0et1tf1(t)e-t所以所以 即即 当当 趋近于零时趋近于零时我们已经知道我们已经知道 的频谱函数为：的频谱函数为：f1(t)0t1234(a)432102()(b)图图3.2-

27、6 求求 1的极限过程的极限过程02()(b)0t1(a)图图 3.2-7 直流信号的频谱直流信号的频谱(时域越宽时域越宽,频域越窄频域越窄)例例3.2-7 求求符号函数符号函数的频谱的频谱 符号函数定义为符号函数定义为显然显然,该函数也不满足绝对可积条件。该函数也不满足绝对可积条件。函数函数 可看作函数可看作函数：当当 时的极限。时的极限。则它的频谱函数也是则它的频谱函数也是 的频谱函数的频谱函数，当，当 时的极限。时的极限。我们已知我们已知 的频谱函数为的频谱函数为：它是它是 的奇函数，在的奇函数，在 处处 。因此，当因此，当 趋近于零时，有趋近于零时，有：于是得于是得它在它在 处的值等于

28、零。处的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b)图图 3.2-8 sgn(t)及其频谱及其频谱例例3.2-8 求求阶跃函数阶跃函数的频谱的频谱 对上式两边进行傅里叶变换，得对上式两边进行傅里叶变换，得:图图 3.2-9 (t)及其频谱及其频谱0()R()X()0R()()-1/X()0-1/1/20t10t1/20t-1/21/2 Sgn(t)其频谱的实部和虚部分别为其频谱的实部和虚部分别为:频谱的虚部是频谱的虚部是 的奇函数，在的奇函数，在 处其值等于处其值等于零。零。表表 常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对 续表续表 本节小结v1、非周期信号的频谱及特点v2、几种典型的非周期信号的频谱