第四章二元关系优秀PPT.ppt
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1、第四章二元关系第一页,本课件共有162页第四章第四章 二元关系二元关系4.14.1关系的基本概念关系的基本概念4.24.2关系的性质关系的性质4.34.3关系的表示关系的表示4.44.4关系的运算关系的运算4.54.5特殊关系特殊关系第二页,本课件共有162页4.1关系的基本概念关系的基本概念 定义:任一序偶的集合确定一个二元关系定义:任一序偶的集合确定一个二元关系R,R中任一序偶中任一序偶 可记作可记作 R或或xRy,称为,称为x与与y有关系有关系R。否则,记作。否则,记作 或或 例例 R1=|xy,x和和y是实数是实数一、关系的定义一、关系的定义第三页,本课件共有162页一、关系的定义一、
2、关系的定义定义:令定义:令X和和Y是任意两个集合,直积是任意两个集合,直积XY的子集的子集R称作称作X到到Y的关系。的关系。XY有两个平凡子集有两个平凡子集若若,则称,则称R为为X到到Y空关系空关系若若R=XY,则称,则称R为为X到到Y的全域关系的全域关系当当X=Y时,关系时,关系R是直积是直积XX的子集,称的子集,称R为为X上的二元关系。上的二元关系。IX=|xX称为称为X上的恒等关系。上的恒等关系。第四页,本课件共有162页一、关系的定义一、关系的定义例:设集合例:设集合A=a,b,B=2,5,8则则令令则则均是由均是由A到到B的关系。的关系。同理,同理,则则是由是由B到到A的关系。的关系
3、。同理,同理,则则是由是由B到到B的关系。的关系。第五页,本课件共有162页一、关系的定义一、关系的定义例:设集合例:设集合A=2,3,5,9,试给出集合,试给出集合A上的上的小于或等于关系,大于或等于关系。小于或等于关系,大于或等于关系。解:令集合解:令集合A上的小于或等于关系为上的小于或等于关系为R1,大于或等于关系为大于或等于关系为R2,根据定义有:,根据定义有:第六页,本课件共有162页一、关系的定义一、关系的定义定义:设定义:设 且且 为为n个任意集合,个任意集合,(a)称称R为为间的间的n元关系;元关系;(b)若若n=2,则称,则称R为为A1到到A2的二元关系;的二元关系;(c)若
4、若,则称,则称R为空关系;若为空关系;若,则,则称称R为全关系为全关系;(d)若若,则称,则称R为为A上的上的n元关系元关系。第七页,本课件共有162页一、关系的定义一、关系的定义例:令例:令 则称则称R1是是N上的一元关系,上的一元关系,R2是是N上的二元上的二元关系,关系,R3是是N上的三元关系。上的三元关系。如无特殊指定,如无特殊指定,“关系关系”概指二元关系。概指二元关系。第八页,本课件共有162页二、关系的相等二、关系的相等 定义:设定义:设R1为为X到到Y上的二上的二元关系,元关系,R2为为A到到B上的二上的二元关系,如果:元关系,如果:(1 1)X=A (2 2)Y=B(3 3)
5、把)把R1和和R2作为集合看,作为集合看,R1=R2。则称则称二二元关系元关系R1和和R2相等,记作相等,记作R1=R2第九页,本课件共有162页二、关系的相等二、关系的相等例:设例:设R1为从为从Z到到I+的二元关系,的二元关系,R2和和R3都都是是I上的二元关系上的二元关系从集合的观点来看,从集合的观点来看,R1=R2=R3。但是就二元关系来说,但是就二元关系来说,R2=R3,不等于,不等于R1。第十页,本课件共有162页三、关系的定义域和值域三、关系的定义域和值域关系关系R(从从A到到B的关系的关系)的的定义域定义域(简称为简称为域域)定义定义为:为:关系关系R的的值域值域定义定义为:为
6、:显然,有显然,有第十一页,本课件共有162页三、关系的定义域和值域三、关系的定义域和值域例:设例:设A=2,3,5,B=2,6,7,8,9,由,由A到到B的关的关系系R定义为:当且仅当定义为:当且仅当a整除整除b时,有时,有aRb。可得可得:D(R)=2,3R(R)=2,6,8,9AB第十二页,本课件共有162页第四章第四章 二元关系二元关系4.14.1关系的基本概念关系的基本概念4.24.2关系的性质关系的性质4.34.3关系的表示关系的表示4.44.4关系的运算关系的运算4.54.5特殊关系特殊关系第十三页,本课件共有162页4.2关系的性质关系的性质定义:定义:设设R为为A上的二元关系
7、上的二元关系(1)若对每个若对每个,皆有,皆有,则称,则称R为为自反的。用式子来表述即是:自反的。用式子来表述即是:R是自反的是自反的(2)若对每个若对每个,皆有,皆有,则称,则称R为反自反的。用式子来表述即是:为反自反的。用式子来表述即是:R是反自反的是反自反的 第十四页,本课件共有162页4.2关系的性质关系的性质(3)对任意的对任意的,若,若则则,就,就称称R为对称的。用式子来表述即是:为对称的。用式子来表述即是:R是对称的是对称的(4)对任意的对任意的,若,若且且,则则x=y,就称,就称R为反对称的。用式子来表述即是:为反对称的。用式子来表述即是:R是反对称的是反对称的 第十五页,本课
8、件共有162页4.2关系的性质关系的性质(5)对任意的对任意的,若,若且且则则,就称,就称R为可传递的。用式子来表述即是:为可传递的。用式子来表述即是:R是可传递的是可传递的第十六页,本课件共有162页4.2关系的性质关系的性质例例1:考虑自然数集合上的普通相等关系考虑自然数集合上的普通相等关系“=”,大于关系,大于关系“”和大于等于关系和大于等于关系“”具有的性质。具有的性质。解:解:(1)“=”关系是自反的、对称的、反对称的、关系是自反的、对称的、反对称的、可传递的;可传递的;(2)“”关系是反自反的、反对称的、可传递的;关系是反自反的、反对称的、可传递的;(3)“”关系是自反的、反对称的
9、、可传递的。关系是自反的、反对称的、可传递的。第十七页,本课件共有162页例例:A=1,2,3,A:A=1,2,3,A上的关系上的关系:R R1 1=R R2 2=R R3 3=R R4 4=判断以上关系各有哪些性质。判断以上关系各有哪些性质。解:解:(1)(1)既不是自反又不是反自反,是对既不是自反又不是反自反,是对称的,不是传递的。称的,不是传递的。(2)(2)反自反的,反对称的,传递的。反自反的,反对称的,传递的。第十八页,本课件共有162页(3)(3)既不是自反又不是反自反的,既是对称既不是自反又不是反自反的,既是对称又是反对称的,传递的。又是反对称的,传递的。(4)(4)是自反的,既
10、不是对称又不是反对称的,是自反的,既不是对称又不是反对称的,不是传递的。不是传递的。自反与反自反不交,存在既不是自反又不自反与反自反不交,存在既不是自反又不是反自反的关系。是反自反的关系。对称与反对称相交,存在既是对称又是反对称与反对称相交,存在既是对称又是反对称的关系,也存在既不是对称也不是反对称的关系,也存在既不是对称也不是反对称的关系。对称的关系。第十九页,本课件共有162页4.2关系的性质关系的性质例例2:空集上的二元关系的性质。空集上的二元关系的性质。对称的、反对称的、反自反的、可传递对称的、反对称的、反自反的、可传递的的第二十页,本课件共有162页集合的压缩和开拓集合的压缩和开拓
11、定义:设定义:设R为集合为集合A上的二元关系且上的二元关系且 ,则称则称S上的二元关系上的二元关系 为为R在在S上的压上的压缩,记为缩,记为 ,并称,并称R为为 在在A上的开拓。上的开拓。第二十一页,本课件共有162页集合的压缩和开拓集合的压缩和开拓定理:设定理:设R为为A的二元关系且的二元关系且,那么:,那么:(1)若若R是自反的,则是自反的,则也是自反的;也是自反的;(2)若若R是反自反的,则是反自反的,则也是反自反的;也是反自反的;(3)若若R是对称的,则是对称的,则也是对称的;也是对称的;(4)若若R是反对称的,则是反对称的,则也是反对称的;也是反对称的;(5)若若R是可传递的,则是可
12、传递的,则也是可传递的;也是可传递的;第二十二页,本课件共有162页第四章第四章 二元关系二元关系4.14.1关系的基本概念关系的基本概念4.24.2关系的性质关系的性质4.34.3关系的表示关系的表示4.44.4关系的运算关系的运算4.54.5特殊关系特殊关系第二十三页,本课件共有162页4.3关系的表示关系的表示 定义:设定义:设A和和B为任意的非空有限集,为任意的非空有限集,R为任意一个从为任意一个从A到到B的二元关系。以的二元关系。以 中的每个元素为结点对中的每个元素为结点对每个每个 皆画一条从皆画一条从x到到y的有向边,的有向边,这样得到的一个图称为关系这样得到的一个图称为关系R的关
13、系图。的关系图。一、关系图一、关系图例:例:A=1,2,4;B=3,5,6;关系关系R=,A124B356第二十四页,本课件共有162页一、关系图一、关系图例:设例:设A=2,3,4,5,6,B=6,7,8,12,从,从A到到B的二元关系的二元关系R为为画出其关系图。画出其关系图。解:先求出解:先求出R第二十五页,本课件共有162页一、关系图一、关系图 对称关系对称关系 反对称关系反对称关系第二十六页,本课件共有162页一、关系图一、关系图如果关系图中每个结点上都有环,则如果关系图中每个结点上都有环,则R是是自反的;自反的;如果关系图中每个结点上都没有环,则如果关系图中每个结点上都没有环,则R
14、是反自反的;是反自反的;如果关系图中两顶点间有边,必是一对方如果关系图中两顶点间有边,必是一对方向相反的边向相反的边,则,则R是对称的;是对称的;如果关系图中两顶点间有边,必是一条有如果关系图中两顶点间有边,必是一条有向边向边,则则R是反对称的;是反对称的;如果关系图中顶点如果关系图中顶点xi到到xj有边,有边,xj到到xk有边,有边,则则xi到到xk必有边,则必有边,则R是可传递的。是可传递的。第二十七页,本课件共有162页例例:判断下图中的关系分别具有哪些性质。判断下图中的关系分别具有哪些性质。第二十八页,本课件共有162页二、关系矩阵二、关系矩阵定义:定义:给定两个有限集合给定两个有限集
15、合X=x1,x2,xm和和Y=y1,y2,yn,R是从是从X到到Y的二元关系,如果有:的二元关系,如果有:则称则称rijmn是是R的关系矩阵,记作的关系矩阵,记作MR。第二十九页,本课件共有162页二、关系矩阵二、关系矩阵例:设例:设A=1,2,3,B=a,b,c,R是是A到到B的二元的二元关系,并且关系,并且,试画出,试画出R的的关系图,给出关系矩阵。关系图,给出关系矩阵。第三十页,本课件共有162页二、关系矩阵二、关系矩阵。例:设例:设A=1,2,3,4,R为定义在为定义在A上的二元关系,上的二元关系,R=,,写出关系矩阵。,写出关系矩阵。第三十一页,本课件共有162页二、关系矩阵二、关系
16、矩阵如果关系矩阵主对角线上的记入值全为如果关系矩阵主对角线上的记入值全为1,则,则R是自反的;是自反的;如果主对角线上的记入值全为如果主对角线上的记入值全为0,则,则R是反是反自反的;自反的;如果矩阵关于主对角线是对称的,则如果矩阵关于主对角线是对称的,则R是是对称的;对称的;如果矩阵关于主对角线是反对称的,如果矩阵关于主对角线是反对称的,(亦即亦即rij=1时则一定有时则一定有rji=0),则则R是反对称的;是反对称的;第三十二页,本课件共有162页二、关系矩阵二、关系矩阵如果对于任意的如果对于任意的i,j,k,rij=1并且并且rjk=1时一定时一定有有rik=1 ,则,则R是可传递的;是
17、可传递的;如果存在如果存在i,j,k,rij=1并且并且rjk=1时,有时,有rik 不等不等于于1 ,则,则R是不可传递的;是不可传递的;第三十三页,本课件共有162页第四章第四章 二元关系二元关系4.14.1关系的基本概念关系的基本概念4.24.2关系的性质关系的性质4.34.3关系的表示关系的表示4.44.4关系的运算关系的运算4.54.5特殊关系特殊关系第三十四页,本课件共有162页4.4关系的运算关系的运算 注意:由于关系也是特殊的集合,因此集合注意:由于关系也是特殊的集合,因此集合的运算也适用于关系中。的运算也适用于关系中。设设R1和和R2是从是从A到到B的二元关系,那么的二元关系
18、,那么 也是从也是从A到到B的二元关系,的二元关系,它们分别被称为二元关系它们分别被称为二元关系R1和和R2的交、并、的交、并、差分和对称差分。差分和对称差分。第三十五页,本课件共有162页4.4关系的运算关系的运算例:设集合例:设集合A=a,b,c,B=d,e,定义,定义A到到B的的二元关系二元关系R1=,R2=,则则第三十六页,本课件共有162页4.4关系的运算关系的运算4.4.14.4.1关系的合成关系的合成4.4.24.4.2关系的求逆运算关系的求逆运算4.4.34.4.3关系的闭包运算关系的闭包运算第三十七页,本课件共有162页4.4.1关系的合成关系的合成 定义定义:设:设R是从是
19、从X到到Y的关系,的关系,S是从是从Y到到Z的的关系,于是可用关系,于是可用R S表示从表示从X到到Z的关系,通的关系,通常称它是常称它是R和和S的合成关系,用式子表示即的合成关系,用式子表示即是:是:第三十八页,本课件共有162页例:给定关系例:给定关系R和和S,并且,并且则则第三十九页,本课件共有162页关系的合成关系的合成注意:设是注意:设是R从集合从集合X到集合到集合Y的关系,的关系,S是是从集合从集合Y到集合到集合Z的关系,于是有:的关系,于是有:如果如果R关系的值域与关系的值域与S关系的定义域的交集是关系的定义域的交集是个空集,则合成关系个空集,则合成关系R S也是个空关系;也是个
20、空关系;对于合成关系对于合成关系R S来说,它的定义域是集合来说,它的定义域是集合X的子集,而它的值域则是的子集,而它的值域则是Z的子集,事实上,的子集,事实上,它的定义域是关系它的定义域是关系R的定义域的子集,它的值的定义域的子集,它的值域是关系域是关系S的值域的子集。的值域的子集。第四十页,本课件共有162页试求试求R和和S的合成关系,并给出合成关系的关的合成关系,并给出合成关系的关系矩阵。系矩阵。解解:例:例:给定集合给定集合X=1,2,3,4,Y=2,3,4和和Z=1,2,3。设。设R是从是从X到到Y的关系,并且的关系,并且S是是从从Y到到Z的关系,并且的关系,并且R和和S给定成:给定
21、成:第四十一页,本课件共有162页关系的合成关系的合成第四十二页,本课件共有162页合成关系的矩阵表达合成关系的矩阵表达设集合设集合X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn,Z=z1,z2,zp,R是从是从X到到Y的关系,的关系,S是从是从Y到到Z的关系,的关系,MR和和MS第第i行第行第j列的元素分别是列的元素分别是aij和和bij,它们是,它们是0或者或者1。则合成关系。则合成关系关系矩关系矩阵上的元素为阵上的元素为定义布尔运算:定义布尔运算:0+0=0,1+0=0+1=1+1=111=1,01=10=00=0对两个关系矩阵求其合成时,其运算法则与一般矩阵的乘法对两个关系矩阵求其合成时,
22、其运算法则与一般矩阵的乘法是相同的,但其中的加法运算和乘法运算应改为布尔加和布是相同的,但其中的加法运算和乘法运算应改为布尔加和布尔乘。尔乘。第四十三页,本课件共有162页合成关系的矩阵表达和图解合成关系的矩阵表达和图解例:求合成关系例:求合成关系的关系矩阵的关系矩阵第四十四页,本课件共有162页关系的合成关系的合成定理:给定集合定理:给定集合X,Y,Z和和W,设,设R1是从是从 X到到Y的关系,的关系,R2和和R3是是Y到到Z的关系,的关系,R4是从是从Z到到W的关系,于是有:的关系,于是有:第四十五页,本课件共有162页关系的合成关系的合成证明:任取元素证明:任取元素当且仅当存当且仅当存在
23、某一个在某一个能使能使和和第四十六页,本课件共有162页证明:任取元素证明:任取元素当且仅当当且仅当存在某一个存在某一个能使能使和和关系的合成关系的合成第四十七页,本课件共有162页关系的合成关系的合成 合成运算是对关系的二元运算,使用这种合成运算是对关系的二元运算,使用这种运算,能够由两个关系生成一个新的关系,运算,能够由两个关系生成一个新的关系,对于这个新的关系又可进行合成运算,从对于这个新的关系又可进行合成运算,从而生成其它关系。而生成其它关系。定理:设定理:设R1是从是从X到到Y的关系,的关系,R2是从是从Y到到Z的的关系,关系,R3是从是从Z到到W的关系,于是有的关系,于是有第四十八
24、页,本课件共有162页关系的合成关系的合成第四十九页,本课件共有162页关系的幂关系的幂定义:给定集合定义:给定集合X,R是是X中的二元关系。设中的二元关系。设,于是,于是R的的n次幂次幂Rn可定义成可定义成(a)R0是集合是集合X中的恒等关系中的恒等关系IX,亦即,亦即(b)第五十页,本课件共有162页关系的幂关系的幂定理:给定集合定理:给定集合X,R是是X中的二元关系。设中的二元关系。设,于是可有,于是可有例:给定集合例:给定集合X=a,b,c,R1,R2,R3,R4是是X中的关系,并给定中的关系,并给定给出这些关系的各次幂给出这些关系的各次幂第五十一页,本课件共有162页关系的幂关系的幂
25、解:解:第五十二页,本课件共有162页关系的幂关系的幂定理:设定理:设X是含有是含有n个元素的有限集合,个元素的有限集合,R是是X中的二元关系。于是存在这样的中的二元关系。于是存在这样的s和和t,能使能使,证明:集合证明:集合X中的每一个二元关系都是中的每一个二元关系都是的子的子集,集,X有有n个元素,个元素,有有n2个元素,个元素,有有个元素,每一个元素都是个元素,每一个元素都是的一个子集,也的一个子集,也是一种二元关系,因而,在是一种二元关系,因而,在X中有中有个不同的二个不同的二元关系。所以,不同的二元关系元关系。所以,不同的二元关系R的幂不会多于个的幂不会多于个。但是序列。但是序列中有
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