第四章空间问题的基本理论优秀PPT.ppt

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1、第四章空间问题的基本理论第一页，本课件共有20页第四章 空间问题的基本理论 3-1 平衡微分方程平衡微分方程 在物体内的任意一点在物体内的任意一点P，割取一个，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以连接六面体前后两面中心首先，以连接六面体前后两面中心的直线的直线 为矩轴，列出力矩的平衡方为矩轴，列出力矩的平衡方程程整理，并略去微量后，得整理，并略去微量后，得同样可以得出同样可以得出第二页，本课件共有20页第四章 空间问题的基本理论列出列出x轴方向的力的平衡方程轴方向的力的平衡方程 由其余两个平衡方程由其余两个平衡

2、方程 和和 可以得出与之相似的两个方可以得出与之相似的两个方程。化简，除以程。化简，除以dxdydz，得，得空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）（纳维叶方程）第三页，本课件共有20页第四章 空间问题的基本理论 3-2 几何方程和连续性方程几何方程和连续性方程 在平面问题里，通过研究在平面问题里，通过研究oxy平面内平行于平面内平行于x、y轴两微元线素的轴两微元线素的变形得到几何方程，用同样方法研究另外两平面线素的变形可得到类变形得到几何方程，用同样方法研究另外两平面线素的变形可得到类似的方程。综合起来，得到空间问题的几何方程。似的方程。综合起来，得到空间问题的几何方程。

3、第四页，本课件共有20页 与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程或协调方与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程或协调方程），在空间问题里表示为程），在空间问题里表示为第四章 空间问题的基本理论第五页，本课件共有20页 第一个方程式在平面问题中已作过推导。类似地可得到第一个方程式在平面问题中已作过推导。类似地可得到第二、第三个方程式。现在推导第四个方程式。第二、第三个方程式。现在推导第四个方程式。由空间问题的几何方程式，有由空间问题的几何方程式，有 将以上后三式相加，并与第一式比较，便得到连续性方程的第将以上后三式相加，并与第一式比较，便得到连续性方程的第四式。其余各式可由第一式

4、、第四式轮换字母得到。四式。其余各式可由第一式、第四式轮换字母得到。第四章 空间问题的基本理论第六页，本课件共有20页 3-3 物理方程物理方程 各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程用应变表示应力的物理方程为用应变表示应力的物理方程为式中式中 D 弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵第四章 空间问题的基本理论第七页，本课件共有20页用应力表示应变的物理方程为用应力表示应变的物理方程为式中式中显然，有显然，有第四章 空间问题的基本理论第八页，本课件共有20页下面推导空间物理方程的另一种表达形式。下面推导空间物理方程的另一种表达形式。将将 展开，并将其前三式相加

5、，得展开，并将其前三式相加，得或或式中式中e 体积应变体积应变 m 平均应力平均应力K 体积弹性常数体积弹性常数 体积弹性定律体积弹性定律令令则物理方程可写成如下形式则物理方程可写成如下形式第四章 空间问题的基本理论第九页，本课件共有20页及及 各种弹性常数之间的关系各种弹性常数之间的关系其中其中 、G 拉密常数拉密常数第四章 空间问题的基本理论第十页，本课件共有20页 3-4 边界条件边界条件 位移边界条件位移边界条件在在Su上上 应力边界条件将平面问题应力边界条件推广到空间问题，可得将平面问题应力边界条件推广到空间问题，可得第四章 空间问题的基本理论第十一页，本课件共有20页 如果是用位移

6、法求解，还应把应力边界条件用位移来表示。如果是用位移法求解，还应把应力边界条件用位移来表示。将几何关系式代入物理关系式，有将几何关系式代入物理关系式，有在在S 上上 和平面问题一样，按边界条件也可以把空间问题划分为和平面问题一样，按边界条件也可以把空间问题划分为三类：位移边界、应力边界和混合边界问题。三类：位移边界、应力边界和混合边界问题。第四章 空间问题的基本理论第十二页，本课件共有20页小结小结 对于空间问题，共有对于空间问题，共有15个未知函数：个未知函数：6个应力个应力分量分量 ；6个应变分量个应变分量 ；3个位移个位移分量分量 。这。这15个未知函数应当满足个未知函数应当满足15个基

7、本方程：个基本方程：3个平衡个平衡微分方程；微分方程；6个几何方程；个几何方程；6个物理方程。个物理方程。第四章 空间问题的基本理论第十三页，本课件共有20页在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边界条在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边界条件件在应力边界问题中，应力分量在边界上还应当满足应力边在应力边界问题中，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。界条件。在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件，而另在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件，而另一些边界条件是应力边界条件。一些边界条件是应力边界条件。在在S 上上在在Su上上第四章 空间问题的基本理论第十四页

8、，本课件共有20页 3-5 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态 已知物体在任一点已知物体在任一点P的六个应力分量的六个应力分量 ，试求经过试求经过P点的任一斜面上的应力。点的任一斜面上的应力。令平面令平面ABC的外法线为的外法线为N，其方向余弦为，其方向余弦为 设三角形设三角形ABC的面积为的面积为 S，则三角形，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为的面积分别为l S、m S、n S。四面体。四面体PABC的体积用的体积用 V表表示。三角形示。三角形ABC上的应力上的应力 在坐标轴方向在坐标轴方向的分量用的分量用XN、YN、ZN代表。根据四面体代表。根据四面体的平衡条件的平衡条

9、件 ，得，得第四章 空间问题的基本理论第十五页，本课件共有20页除以除以 S，移项后，得移项后，得 当斜面当斜面ABC趋近于趋近于P点时，由于点时，由于 V是比是比 S更高一阶的微量，更高一阶的微量，所以所以 V/S趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件件 可以得出其余两式。可以得出其余两式。设三角形设三角形ABC上的正应力为上的正应力为 N,则由投影可得则由投影可得将上式代入，得将上式代入，得第四章 空间问题的基本理论第十六页，本课件共有20页设三角形设三角形ABC上的剪应力为上的剪应力为 N，由于，由于所以有所以有 在物体的任意一点，

10、如果已知六个应力在物体的任意一点，如果已知六个应力分量分量 就就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果在特殊情况下，如果ABC是物体的边界面，则是物体的边界面，则XN、YN、ZN成成为面力分量为面力分量 ，于是得出，于是得出 即弹性体的应力边界条件。即弹性体的应力边界条件。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。第四章 空间问题的基本理论第十七页，本课件共有20页主应力与主方向主应力与主方向 设经

11、过任一点设经过任一点P的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为在正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在而该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主方向。点的一个应力主方向。在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。以及对应的三个主应力。在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变（尽管应力分量随着坐标系

12、改变）。变而改变（尽管应力分量随着坐标系改变）。应力状态不变量应力状态不变量第四章 空间问题的基本理论第十八页，本课件共有20页 3-6 按位移求解空间问题按位移求解空间问题 将几何方程代入物理方程，得出将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程。用位移分量表示应力分量的弹性方程。按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数。对空间问题来说，按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数。对空间问题来说，要从要从15个基本方程中消去应力分量和应变分量，得出只包含位个基本方程中消去应力分量和应变分量，得出只包含位移分量的微分方程。移分量的微分方程。第四章 空间问题的基本理论第十九页，本课件共有20页其中其中 将弹性方程代入平衡微分方程，采用记号将弹性方程代入平衡微分方程，采用记号 ，得到用位移分量表示的平衡方程，也就是按位移求解空间问题时得到用位移分量表示的平衡方程，也就是按位移求解空间问题时所需的基本微分方程，常被称为拉密方程所需的基本微分方程，常被称为拉密方程第四章 空间问题的基本理论第二十页，本课件共有20页