第四章插值和曲线拟合优秀PPT.ppt
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1、第四章插值和曲线拟合第一页,本课件共有31页第一节插值法的基本理论第一节插值法的基本理论一、插值问题 设函数设函数 y=f(x)y=f(x)给出了一组函数值给出了一组函数值 y yi i=f(x=f(xi i),i=0,1,),i=0,1,n,n,或,或者给出了如下的一张表者给出了如下的一张表 x x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n y y0 0,y,y1 1,y,y2 2,y,yn n构造一个简单的函数构造一个简单的函数(x)(x)作为作为f(x)f(x)的近似表达式,以满足的近似表达式,以满足 (xi i)=yi i ,i=0,1,i=0,1,n,n我们称这样的问题为我们称
2、这样的问题为插值问题插值问题插值问题插值问题。其中其中(x(xi i)=y)=yi i 称为称为插值原则插值原则插值原则插值原则;(x)(x)称为称为f(x)f(x)的插值函数;的插值函数;f(x)f(x)称为被插值函数称为被插值函数;x;x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n称为插值基点称为插值基点(或节点或节点)。根据根据插值原则插值原则插值原则插值原则求其余点求其余点x x的函数值的函数值(x)(x)(x)(x)称为插值称为插值,x,x称为插值称为插值点;根据点;根据插值原则插值原则插值原则插值原则求求f(x)f(x)近似近似函数函数(x)(x)(x)(x)的方法称为插值法。
3、的方法称为插值法。第二页,本课件共有31页插值法的几何意义插值法的几何意义 插值法的几何意义就是通过n+1个点个点:(x (xi i,y,yi)(i=0,1,2,n)(i=0,1,2,n)作一条近似曲线作一条近似曲线y=y=(x)(x)代替y=f(x)y=f(x)。如下图所示。如下图所示。xxnx2x1x0Xn-1y0(x0,y0)(x1,y1)(x2,y2)(xn-1,yn-1)(xn,yn)y=(x)y=f(x)第三页,本课件共有31页插值函数插值函数(x)的类型的类型 在插值问题中,插值函数在插值问题中,插值函数(x)(x)的类型可有不同的选择的类型可有不同的选择,如如代代代代数多项式、
4、三角数多项式、三角数多项式、三角数多项式、三角多项式、有理函数多项式、有理函数多项式、有理函数多项式、有理函数等,但是最简单而常用的是等,但是最简单而常用的是代代数多项式,这时就称为数多项式,这时就称为代数多项式代数多项式代数多项式代数多项式插值插值插值插值。在本章,我们主要讨论。在本章,我们主要讨论代数多项式代数多项式插值。插值。代数多项式代数多项式插值的任务就是根据插值的任务就是根据 n+1n+1个点个点 x x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n y y0 0,y,y1 1,y,y2 2,y,yn n构造一个次数不超过构造一个次数不超过 n n 的的多项式多项式 P Pn n
5、(x)=a(x)=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+an nx xn n使满足使满足插值原则插值原则插值原则插值原则 P Pn n(xi)=yi i ,i=0,1,i=0,1,n ,n。P Pn n(x)(x)称为称为称为称为 f(x)f(x)的的的的 n n次插值次插值次插值次插值多项式多项式多项式多项式。第四页,本课件共有31页二、插值多项式的误差二、插值多项式的误差 函数函数 f(x)用用n n次插值多项式次插值多项式P Pn n(x)近似代替时,截断误近似代替时,截断误差记为差记为 R Rn n(x)=f(x)-P(x)=f(x)-Pn(x)(x)称称 R Rn
6、(x)(x)为为n n次插值多项式次插值多项式P Pn n(x)(x)的余项。定理定理 设函数设函数f(x)f(x)在包含基点在包含基点x x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n 的区间的区间a,b上具有n+1n+1阶导数,P,Pn n(x)为满足为满足P Pn n(x(xi)=)=y yi i的的n n次插值多次插值多项式项式,则对任一点则对任一点x xa,b,a,b,总存在相应的点总存在相应的点 ,使使 其中其中 wn+1(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x1 1)(x-x(x-xn n)第五页,本课件共有31页第二节第二节拉格朗日插值拉格朗日插值 为了得到为了得到
7、n n次的拉格朗日插值多项式,我们从最简单的一次、二次次的拉格朗日插值多项式,我们从最简单的一次、二次插值开始。插值开始。一、一次插值(线性插值)一、一次插值(线性插值)一、一次插值(线性插值)一、一次插值(线性插值)已知已知 x x0 0 x x1 1 求求 P P1 1(x)(x)y y0 0 y y1 1 因因 P P1 1(x(x0 0)=y)=y0 0,P,P1 1(x(x1 1)=y)=y1 1 所以所以 P P1 1(x)=y(x)=y0 0+(y+(y1 1-y-y0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)*(x-x)*(x-x0 0)(线性插值多项式)(线性插值多项式)上式
8、可改写为:上式可改写为:P P1 1(x)=y(x)=y0 0L L0 0(x)+y(x)+y1 1L L1 1(x)(x)(拉格朗日线性插值多项式)(拉格朗日线性插值多项式)L L0 0(x)=(x-x(x)=(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1),L),L1 1(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)L L0 0(x)(x)、L L1 1(x)(x)特点:特点:L L0 0(x)=1,x=x(x)=1,x=x0 0 L L1 1(x)=1,x=x(x)=1,x=x1 1 0,x=x 0,x=x1 1 ,0,x=x ,0,x=x0 0第六页,
9、本课件共有31页线性插值举例线性插值举例例例 已知已知 1001001/21/2=10=10,1211211/21/2=11 =11 求求 1151/21/2解解 P1 1(x)=y0 0+(y+(y1 1-y-y0 0)/(x1-x-x0 0)*(x-x)*(x-x0 0)P P1 1(115)=10+(11-10)/(121-100)*(115-100)(115)=10+(11-10)/(121-100)*(115-100)或或 P P1(x)=y(x)=y0L L0(x)+y1 1L L1(x)(x)P P1 1(115)=10*(115-121)/(100-121)+11*(115-1
10、00)/(121-100)+11*(115-100)/(121-100)第七页,本课件共有31页 二、二次插值二、二次插值二、二次插值二、二次插值(抛物线插值抛物线插值抛物线插值抛物线插值)二次插值问题:已知二次插值问题:已知f(x)f(x)在三个互异点在三个互异点x x0 0,x,x1 1,x,x2 2的函数值的函数值y y0 0,y,y1 1,y,y2 2,要构造次数不超过要构造次数不超过二次的多项式二次的多项式P P2 2(x)=a(x)=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2,使满足使满足 P P2 2(x(xi i)=y)=yi i,i=0,1,2,i=0,1,2 设设
11、 P P2 2(x)=L(x)=L0 0(x)y(x)y0 0+L+L1 1(x)y(x)y1 1+L+L2 2(x)y(x)y2 2,则则当当x=xx=x0 0 时时,P,P2 2(x(x0 0)=y)=y0 0 L L0 0(x)=1,L(x)=1,L1 1(x)=0,L(x)=0,L2 2(x)=0(x)=0 当当x=xx=x1 1时,时,P P2 2(x(x1 1)=y)=y1 1 L L0 0(x)=0,L(x)=0,L1 1(x)=1,L(x)=1,L2 2(x)=0(x)=0当当x=xx=x2 2时,时,P P2 2(x(x2 2)=y)=y2 2 L L0 0(x)=0,L(x
12、)=0,L1 1(x)=0,L(x)=0,L2 2(x)=1(x)=1由上知由上知 L L0 0(x)=1,x=x(x)=1,x=x0 0 0,x=x 0,x=x1 1,x,x2 2令令 L L0 0(x)=A(x)=A0 0(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)则则 A A0 0=1/(x=1/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)所以所以 L L0 0(x)=(x-x(x)=(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)/(x)/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)同理可得同理可得 L L1 1(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-
13、x)(x-x2 2)/(x)/(x1 1-x-x0 0)(x)(x1 1-x-x2 2)L L2 2(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x2 2-x-x0 0)(x)(x2 2-x-x1 1)综上可得综上可得 P P2 2(x)=y(x)=y0 0(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)/(x)/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)+y)+y1 1(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x2 2)/(x)/(x1 1-x-x0 0)(x)(x1 1-x-x2 2)+y +y2 2(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x
14、1 1)/(x)/(x2 2-x-x0 0)(x)(x2 2-x-x1 1)该式称为拉格朗日二次插值多项式。该式称为拉格朗日二次插值多项式。第八页,本课件共有31页二次插值举例二次插值举例 例例 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的观测数据如下表所示,试求其拉格朗的观测数据如下表所示,试求其拉格朗日插值多项式,并计算日插值多项式,并计算f(1.5)f(1.5)的近似值。的近似值。4 4 -1-1 2 2 y y 2 1 1 0 0 x x 解 P2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)+y2(x-x0
15、)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)=2*(x-1)(x-2)/(0-1)(0-2)+(-1)*(x-0)(x-2)/(1-0)(1-2)+4*(x-0)(x-1)/(2-0)(2-1)=4x2-7x+2 f(1.5)P2(1.5)=4*1.52-7*1.5+2=0.5第九页,本课件共有31页三、三、三、三、n n次拉格朗日插值次拉格朗日插值次拉格朗日插值次拉格朗日插值 仿照仿照P P2 2(x)(x)的构造方法,可得出的构造方法,可得出 P Pn n(x)=L(x)=L0 0(x)y(x)y0 0+L+L1 1(x)y(x)y1 1+L+Ln n(x)y(x)yn n其中其中 L L
16、0 0(x)=(x-x(x)=(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(x-x)(x-xn n)/(x)/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)(x)(x0 0-x-xn n)L Lk k(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-xk-1k-1)(x-x)(x-xk+1k+1)(x-x(x-xn n)/(x /(xk k-x-x0 0)(x)(xk k-x-xk-1k-1)(x)(xk k-x-xk+1k+1)(x(xk k-x-xn n)(k=0,1,n)(k=0,1,n)这就是这就是n n次拉格朗日插值多项式。次拉格朗日插值多项式。也可写为也可写为 或或
17、 其中其中 w(x)=(x-xw(x)=(x-x0 0)(x-x(x-xn n)第十页,本课件共有31页n次拉格朗日插值举例次拉格朗日插值举例例例例例已知函数表已知函数表 x 1.1275 1.1503 1.1735 1.972x 1.1275 1.1503 1.1735 1.972 y 0.1191 0.13954 0.15932 0.17903 y 0.1191 0.13954 0.15932 0.17903应用朗格拉日插值公式计算应用朗格拉日插值公式计算f(1.1300)f(1.1300)的近似值。的近似值。解解 P P3 3(x)=L(x)=L0 0(x)y(x)y0 0+L+L1 1
18、(x)y(x)y1 1+L L2 2(x)y(x)y2 2+L L3 3(x)y(x)y3 3 =f(1.1300)f(1.1300)P P3 3(1.1300)=(1.1300)=0.12140.1214 第十一页,本课件共有31页n次拉格朗日插值计算机实现次拉格朗日插值计算机实现按按n次拉格朗日插值公式实现次拉格朗日插值公式实现第十二页,本课件共有31页分段插值 七、八次以上的高次插值在实际中很少采用。因七、八次以上的高次插值在实际中很少采用。因为理论研究和实例都表明,插值基点增加并不能保证为理论研究和实例都表明,插值基点增加并不能保证 P Pn n(x)(x)在非基点处逼近f(x)f(x
19、)的精度得到提高的精度得到提高,某些情况下某些情况下甚至误差反而变大。所以总是甚至误差反而变大。所以总是对每个插值点 x x选择其附附附附近的几个插值基点近的几个插值基点近的几个插值基点近的几个插值基点作低次内插作低次内插(将将 x x 放在插值基点之间放在插值基点之间),),或者采用分段低次插值(一次、二次插值一次、二次插值 )。为什么要选择 x x 附近的几个插值基点?附近的几个插值基点?根据根据其中 wn+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)第十三页,本课件共有31页第三节第三节牛顿插值牛顿插值 拉格朗日插值多项式结构对称,使用方便使用方便,但公式但公式不具备递推性不具备递推性
20、,当需要增加基点时必须全部重新计算。因此,我们希望构造具有如下形式的插值多项式因此,我们希望构造具有如下形式的插值多项式 P Pn n(x)=a0 0+a+a1 1(x-x(x-x0 0)+a)+a2(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)+a +an n(x-x(x-x0 0)(x-x1)(x-x(x-xn-1n-1)这种形式的优点是便于改变基点数,每增加一个基点这种形式的优点是便于改变基点数,每增加一个基点只需增加相应的一项即可只需增加相应的一项即可 (具有递推性具有递推性)。为了确定出。为了确定出a a0、a a1 1、a an n,我们就需要讨论牛顿差商插值多项式。下面首先介绍差商的
21、概念。下面首先介绍差商的概念。第十四页,本课件共有31页一、差商及差商表一、差商及差商表1.1.差商定义差商定义差商定义差商定义 在区间在区间a,ba,b上,函数上,函数f(x)f(x)关于两点关于两点x xi i,x,xj j的一阶差商定义为的一阶差商定义为 f xf xi i,x,xj j=f(x=f(xj j)-f(x)-f(xi i)/(x)/(xj j-x-xi i)f(x)f(x)关于三点关于三点x xi i,x,xj j,x,xk k的二阶差商定义为的二阶差商定义为 f xf xi i,x,xj j,x,xk k=(fx=(fxj j,x,xk k-fx-fxi i,x,xj j
22、)/(x)/(xk k-x-xi i)f(x)f(x)关于关于k+1k+1个点个点x xi-ki-k,x,xi-k+1i-k+1,x xi i 的的k k阶差商定义为阶差商定义为 f xf xi-ki-k,x,xi-k+1i-k+1,x xi i =(f x=(f xi-k+1i-k+1,x xi i f x f xi-ki-k,x xi-1i-1)/(x)/(xi i-x-xi-ki-k)f(x)f(x)关关于一个点于一个点 x xi i 的零阶差商定义为函数本身,即的零阶差商定义为函数本身,即 f xf xi i=f(x=f(xi i)不论几阶差商,差商均有对称性(任意改变基点的次序后其值
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