计算方法第八章优秀PPT.ppt
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1、计算方法第八章现在学习的是第1页,共58页本章主要研究常微分方程初值问题的数值求解:本章主要研究常微分方程初值问题的数值求解:通常,假设函数通常,假设函数 f 关于第二个变量满足李普希茨条件(关于第二个变量满足李普希茨条件(L条条件),即为存在常数件),即为存在常数 L 0,使得使得现在学习的是第2页,共58页第一节第一节 一般概念一般概念1.1 欧拉法及其简单改进欧拉法及其简单改进方法:选择适当的节点,用差分近似微分,将方程离散化,方法:选择适当的节点,用差分近似微分,将方程离散化,从而求在这些节点上的函数值。从而求在这些节点上的函数值。欧拉欧拉方法方法现在学习的是第3页,共58页例子:例子
2、:下面我们分别取步长为下面我们分别取步长为0.1与与0.01进行计算,进行计算,计算结果显示在下面的图中。计算结果显示在下面的图中。现在学习的是第4页,共58页步长为步长为0.1的计算结果。的计算结果。现在学习的是第5页,共58页步长为步长为0.01的计算结果的计算结果现在学习的是第6页,共58页0.01 0.99005 0.99 0.1 0.90484 0.90438 0.2 0.81873 0.81791 0.3 0.74082 0.7397 0.4 0.67032 0.66897 0.41 0.66365 0.66228 0.59 0.55433 0.55268 0.6 0.54881
3、0.54716 0.9 0.40657 0.40473 0.91 0.40252 0.40068 0.99 0.37158 0.36973 1 0.36788 0.36603 现在学习的是第7页,共58页 DOUBLE PRECISION h,y(0:100)OPEN(20,FILE=OUTPUT.DAT,STATUS=UNKNOWN)h=1.0/100y(0)=1.0do 10 i=1,100 y(i)=y(i-1)*(1.0-h)write(20,*)i*h,y(i)10 continueEND现在学习的是第8页,共58页精度更高的欧拉公式:精度更高的欧拉公式:方法:选择计算导数值方法:选
4、择计算导数值的精度更好的差分格式。的精度更好的差分格式。欧拉中点公式欧拉中点公式现在学习的是第9页,共58页利用中点公式求解微分方程时,有一个问题,就是计算时需要两利用中点公式求解微分方程时,有一个问题,就是计算时需要两个迭代初值!个迭代初值!对于这个问题,我们可以先用欧拉公式,通过给定的初值计算出第一对于这个问题,我们可以先用欧拉公式,通过给定的初值计算出第一个点的值,然后在利用这两个(第一和第二个点)的值进行计算,个点的值,然后在利用这两个(第一和第二个点)的值进行计算,直到计算出全部节点上的值。直到计算出全部节点上的值。下面,我们用中点公式求解刚才的例子,计算的步长取下面,我们用中点公式
5、求解刚才的例子,计算的步长取0.01,可以看,可以看到,计算的精度比较高。到,计算的精度比较高。此时,计算公式为此时,计算公式为现在学习的是第10页,共58页计计算算结结果果现在学习的是第11页,共58页0.02 0.9802 0.98020.1 0.90484 0.904840.2 0.81873 0.818740.3 0.74082 0.740840.4 0.67032 0.670350.5 0.60653 0.606560.6 0.54881 0.548850.7 0.49659 0.496630.8 0.44933 0.449380.9 0.40657 0.40663现在学习的是第12
6、页,共58页1.2 欧拉方法的其他改进欧拉方法的其他改进微分方程数值解的关键在于对导数的处理,可以用差分来近似微分方程数值解的关键在于对导数的处理,可以用差分来近似导数,也可以通过积分,将导数项化掉。导数,也可以通过积分,将导数项化掉。对于方程:对于方程:首先,作出划分首先,作出划分设已经求出第设已经求出第 n 个个节点的函数值节点的函数值 ,在区间,在区间 上对方程两边积上对方程两边积分分容易看出,要求第容易看出,要求第 n+1 个个节点的函数值,关键在于节点的函数值,关键在于选择适当的积分公式选择适当的积分公式计算积分计算积分!现在学习的是第13页,共58页(1)如选择下矩形公式,则)如选
7、择下矩形公式,则这正是前面的这正是前面的欧拉公式欧拉公式。(2)如选择上矩形公式,则)如选择上矩形公式,则这是所谓的这是所谓的后退欧拉公式后退欧拉公式。(3)如选择梯形公式,则)如选择梯形公式,则这是所谓的这是所谓的欧拉梯形公式欧拉梯形公式。现在学习的是第14页,共58页直接利用已经求得的已知节点上的值计算未知节点上的函数值的算法称为直接利用已经求得的已知节点上的值计算未知节点上的函数值的算法称为显式法显式法。例如:欧拉公式、欧拉中点公式例如:欧拉公式、欧拉中点公式计算未知节点上的函数值时,用到了未知节点上的函数值,这种算法称为计算未知节点上的函数值时,用到了未知节点上的函数值,这种算法称为隐
8、式法。隐式法。例如:后退欧拉法、欧拉梯形公式例如:后退欧拉法、欧拉梯形公式显然,利用隐式法求微分方程的数值解是,显然,利用隐式法求微分方程的数值解是,需要从表达式中反解未知需要从表达式中反解未知节点上的函数值节点上的函数值。现在学习的是第15页,共58页1.3 隐式法的具体计算:隐式法的具体计算:例如欧拉梯形公式例如欧拉梯形公式用迭代法计算用迭代法计算n+1步的值。步的值。(1)简单迭代)简单迭代收敛的条件:收敛的条件:现在学习的是第16页,共58页(2)牛顿迭代)牛顿迭代必须指出,在真正计算中,常用的是简单迭代,而且只迭代一步,必须指出,在真正计算中,常用的是简单迭代,而且只迭代一步,迭代初
9、值迭代初值 称为预测,迭代称为校正,这样组成的一组计称为预测,迭代称为校正,这样组成的一组计算公式称为算公式称为预测校正公式预测校正公式。现在学习的是第17页,共58页预测校正公式也称为改进的欧拉法,将上面的组合公式改写为:预测校正公式也称为改进的欧拉法,将上面的组合公式改写为:注意到注意到 ,将上式进一步改写为:,将上式进一步改写为:这是我们最终使用的计算格式。这是我们最终使用的计算格式。现在学习的是第18页,共58页例子:例子:取步长为取步长为0.1计算,结果如图。计算,结果如图。现在学习的是第19页,共58页图:图:现在学习的是第20页,共58页 DOUBLE PRECISION h,y
10、(0:10),ak1,ak2 OPEN(20,FILE=OUTPUT1.DAT,STATUS=UNKNOWN)h=1.0/10y(0)=1.0do 10 i=1,10 ak1=-h*y(i-1)ak2=-h*(y(i-1)+ak1)y(i)=y(i-1)+(ak1+ak2)/2.010 continue do 20 i=0,10 write(20,*)i*h,y(i),exp(-i*h)20 continueEND现在学习的是第21页,共58页同理,对于后退欧拉公式同理,对于后退欧拉公式有预测校正公式有预测校正公式或改写为:或改写为:现在学习的是第22页,共58页用此法解前面的例子用此法解前面
11、的例子步长步长0.1步长步长0.01现在学习的是第23页,共58页1.4 误差估计误差估计定义:定义:利用第利用第n个节点的函数值,通过数值方法计算第个节点的函数值,通过数值方法计算第n+1个节点的个节点的函数近似值,所引起的误差,称为函数近似值,所引起的误差,称为n+1个节点上的个节点上的局部截断误差局部截断误差。我们记我们记 为为n+1个节点上函数的精确值,个节点上函数的精确值,为数值解,为数值解,则局部截断误差为:则局部截断误差为:如局部截断误差为如局部截断误差为 ,称为具有,称为具有p阶局部截断误差。阶局部截断误差。现在学习的是第24页,共58页欧拉方法的误差分析:欧拉方法的误差分析:
12、省略余项得公式:省略余项得公式:现在学习的是第25页,共58页完全类似的可以得到完全类似的可以得到后退欧拉公式的局部截断误差为:后退欧拉公式的局部截断误差为:欧拉中点公式的局部截断误差为:欧拉中点公式的局部截断误差为:欧拉梯形公式的局部截断误差为:欧拉梯形公式的局部截断误差为:现在学习的是第26页,共58页定义:由初值引起的定义:由初值引起的第第 n 个节点的近似值与精确值之间的误差个节点的近似值与精确值之间的误差称为第称为第 n 个节点整体误差。个节点整体误差。定理:设下面求解微分方程的数值计算方法定理:设下面求解微分方程的数值计算方法局部截断误差为局部截断误差为p+1阶,且函数阶,且函数
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