计算机控制系统第五章.ppt

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1、第5章 基于传递函数模型的极点配置设计方法 第二章讨论的解析设计方法，实质上是利用传递函数模型的极点配置设计方法，但是只考虑了误差控制的情况，即仅利用e(k)=r(k)-y(k)来进行控制。对于跟踪系统，第4章中讨论了三种参考输入的引入方式，利用误差进行控制，相当于方式2。对于方式1和方式3，控制器的设计中引入了前馈控制环节，前馈环节的引入，可以进一步改善系统的性能，同时使系统设计更具有一般性。本章主要针对方式1参考输入的引入方式，基于传递函数模型，利用极点配置的设计方法进行跟踪系统控制器的设计。第一节 设计问题D1(z)G(z)+r(k)y(k)图 1 控制系统结构图u(k)D2(z)控制器

2、控制对象：（1）其中B(z)、A(z)互质，。一、设计问题描述闭环系统传递函数：（2）其中Bm(z)、Am(z)互质，。由图1，得到：（3）上式中，（4）为前馈控制传递函数（5）为反馈控制传递函数 设D1(z)和D2(z)具有同样的分母（可通过通分求最小公分母实现），同时，设R(z)、T(z)和S(z)无公因子，R(z)为首一多项式（z的最高项系数为1）。保证控制器可实现，有（6）（7）若控制器的计算时间远小于采样周期，可选（8）相当于现时观测器的情况。若控制器的计算时间远接近一个采样周期，可选（9）相当于预报观测器的情况。二、问题求解 给定模型传递函数G(z)，要求设计控制规律，使闭环系统的

3、传递函数等于要求的Hm(z)，同时使系统的观测器特征多项式为A0(z)。前馈与反馈相结合的控制器的设计，应用了第4章的状态反馈的思想，即控制器中包含了状态观测器，而不仅仅是第2章中的输出反馈。因此，闭环系统的极点不仅包含了控制极点，也包含了状态观测器的极点。优点：状态反馈在对象完全可控的条件下，控制极点可以任意配置；而输出反馈则受到限制，因此，第二章的解析设计方法中，闭环系统的极点配置受到限制。由图1及（1）（4）（5）式，得到闭环系统传递函数为：（10）由式（2），得到（11）分析：B有可能被R抵消，而A不需考虑抵消问题。闭环系统的特征方程（式（10）为：（12）考虑对象的零点：其中 是位于

4、单位圆内的零点多项式，为首一多项式；（13）是位于单位圆上或圆外的零点多项式。不能被R所抵消，否则控制器不稳定，因此它必须是Bm的一个因子，即（14）而 可以被R抵消掉，即（15）于是，式（10）变为：（16）即（17）可见，Am是 的因子。考虑控制器中包含观测器，从而有（18）于是，闭环系统的特征方程为：（19）可见，闭环系统的极点由三部分组成：（1）控制对象中D域内的零点 B+；（2）观测器的极点 A0；（3）闭环模型传递函数的极点Am。三、设计步骤：给定A，B，Am，Bm，A0及D域，要求解出容许的R，S，T，求解步骤如下：（1）将B分解为 ，其中 在D域内，且是首一多 项式；（2）取

5、；（3）求解线性多项式 ，求出多项式 和 S。（4）计算 ，。第（3）步中，求解方程 非常重要，该方程称为Diophantine方程（丢芬图方程）。一、Diophantine方程的一般解一般形式的 Diophantine方程：（1）第二节 Diophantine方程 为给定的关于z的多项式，求满足上式的多项式x和y。解的存在性的一般定理：定理1 方程（1）有解的充分必要条件是 和 b 的最大公因子也是 c 的因子。证明：必要性 假设x0和y0式方程（1）的解，并设g是 和 b 的最大公因子，即（2）于是有（3）可见，g也必定是c的因子。必要性得证。充分性设g是 和b的最大公因子，同时它也是c的

6、因子，即（4）根据 和b的最大公因子的假设，一定存在互质的多项式p和q，使得（5）两边同乘c0，得到（6）可见，。从而充分性得到证明。定理2 如果x0和y0是方程（1）的特解，则也是该方程的解，其中 的意义同式（2），t是任意的实系数多项式。证明：（7）Diophantine方程的一般解也可以写成：（8）设 l 为 的最小公倍数，意义同前，为互质的多项式，其中（9）（10）于是有（11）推导：取 ，于是Diophantine方程的一般解为：二、Diophantine方程的求解算法（12）（1）利用求 的最大公因子和最小公倍数的算法，得到 和 。（2）计算 。（3）将 和 代入式（12）而得到一

7、般解。求 和 的矩阵变换算法：（一）算法（1）令 。（2）对F进行一系列初等变换，若 和b中有一个多项式为零，则另一个 不为零的多项式即为最大公因子g；否则用阶数高的多项式减去阶数 低的多项式乘以某个因子，使阶数高的多项式的阶数降低。（3）重复步骤（2），直到 为止。将式（5）和（9）写到一起用矩阵表示，有（14）（15）对比（13）式与（15）式，有（16）设V为所有对F进行初等变换的变换矩阵，显然有：（13）（二）具体步骤：（1）输入多项式 和 b(z)并组成矩阵F，同时置 V=I2（单位矩阵）；（2）判断F中是否有一个多项式为零，若有则转（6），否则转（3）；（3）用F中的高阶多项式的首

8、项系数除以低阶多项式的首项系数（若两个 多项式同阶，则认为F中左边的多项式为高阶多项式），结果记为 。用高阶多项式的阶数减去低阶多项式的阶数，结果记为 n；（4）高阶多项式减去 乘以低阶多项式，在 V 中相应的列进行同样的 运算；（5）转（2）；（6）如果非零多项式出现在F的第二列，则同时将F和V的两列进行交换；（7）输出结果（p、q、r、s 在 V 中，g 在 F 中）。例：设解：（1）组成 F 和 V 如下：（2）第1列减去第2列乘以z，得到（3）第1列乘以z加到第2列，得到（4）（5）由式 （定理1），得到若不能被 g 整除，则 Diophantine 方程无解。（6）由式（12），得到

9、三、Diophantine方程的最小阶解（一）求 x 的最小阶解 由定理2，若x0和y0是 的一个特解，则方程的一般解形式如式（7），即（1）若 ，则关于x的最小阶解为：（2）若 ，则x0除以b0，得到（3）其中 式余式，是商式，显然 。将（3）式代入（1）式，有（4）令 ，得到 x 的最小阶解为：（5）其中 。（二）求 y 的最小阶解若 ，则关于y的最小阶解为：（6）若 ，则关于y的最小阶解为：（7）其中（8）例：求关于 x 和关于 y 的最小阶解。解：（1）由上例可知，方程的一般解为：可见，（2）求关于 x 的最小阶解：用x0除以b0，得到商式余式由式（5），得到（2）求关于 y 的最小阶

10、解：用y0除以 ，得到商式余式由式（7），得到（三）求解Diophantine方程最小阶解的待定系数法（1）将 方程两边同除以 和 b 的最大公因子 g：（1）（2）对于 x 的最小阶解，必有 。对于上例，有（2）从而可取 ，于是所以，有设（3）将（2）（3）式代入（1）式，令两边同次幂系数相等，得到（四）控制系统中求解 Diophantine 方程已知 ，求 。解决方法：（1）由假设条件，A和 互质，由定理1，可知方程有解。（2）限定 ，求出方程的唯一解。若限定 ，则得到的解常常不满足 及 的条件。（3）简单情况下用待定系数法求解。（4）复杂情况下用求解最大公因子的方法，借助于计算机求解。第

11、三节 设计方法一、设计参数的给定设计参数：闭环模型传递函数的参数Am(z)和Bm(z)，观测器特征多项式A0(z)。（一）设计参数阶次的给定给定设计参数时，为使物理上可实现，有如下定理：定理3 对于用传递函数模型的极点配置设计问题，如果要求得到物理上 可实现的唯一解，则在给定设计参数Am、Bm及A0时，必须满足如 下条件：（1）（2）证明：闭环系统的特征方程为：（3）由假设从而有（4）由 ，有（6）由于 ，从而得到即（7）（8）即（5）由于 和 ，（8）式可以化为：（9）上式即为定理3中（1）式的证明。该式说明：在给定设计参数Am、Bm时，模型传递函数中延时的拍数应大于或等于控制对象中固有的延

12、时拍数，则控制器可以实现。控制系统的 Diophantine 为：（10）由上节可知，为得到物理上可实现的唯一解，必须使（11）即（12）由，得到：即（13）（14）从而定理3中（2）式得证。从而定理3得到证明。式（12）给出了得到唯一解的条件，而式（14）说明，为了得到物理上可实现的解，给定观测器特征多项式时必须有足够的阶数。干扰问题的解决：克服低频干扰：要求系统在低频时有较高的增益。此时可令：（15）即在控制器中加入适当的积分环节，它可以较好地抑制低频干扰，对于常值干扰可以做到无稳态误差。式（15）中 l 表示积分环节的个数，则 Diophantine 方程变为：（16）其中仿照前面的推导

13、，为了得到物理上可实现的唯一解，有（17）即观测器增加了 l 阶。（18）（二）设计参数的给定（Am、Bm）（1）有限拍系统特性（19）其中（2）一阶闭环系统特性（20）其中 d、r 意义同前，为一阶系统主导极点，可取：（3）二阶闭环系统特性（21）给定阻尼系数 和无阻尼震荡频率 时，可以求得：（22）（三）的设定作用：主要用来满足静态精度的要求。（1）要求闭环系统对于阶跃输入无稳态误差，可选使得从而求得 b0。（25）（26）（2）要求闭环系统对于阶跃输入无稳态误差，且速度品质系数为 ，可选：（27）使得从而求出 b0 和 b1。（28）（3）要求闭环系统对于恒速度输入无稳态误差，即（29）

14、（四）观测器特征多项式 A0 的选取。（1）由式（14）或（18）确定A0的阶次，为简单计，可用等式来计 算 A0 的阶次，并设其为 q。（2）观测器极点所决定的状态跟随速度应远大于控制极点所决定的 系统的响应速度，因此可简单选取：（30）（3）为防止系统的抗干扰能力变差，可使观测器跟随速度比控制器 响应速度快 45 倍。二、设计步骤（1）适当给定 D 域，分解 ，其中 是首一多项式，它的零点 均在 D 域内，的零点均在 D 域外；（2）给定设计参数 Am 和 Bm；（3）确定需要引入的积分环节的个数 l，并令：（31）（4）给定设计参数 A0；（5）求解如下的 Diophantine 方程：

15、（32）求出关于 S 的最小阶解。若用待定系数法求解时，可取 S 和 的阶次分别为：（33）推导：所以有：（34）（6）计算控制器参数 R，S 和 T，其中 S 即为第（5）步求得的 Diophantine 方程的解，R和T由下列式子算出：其中 是第（5）步求得的 Diophantine 方程的解。（35）（36）三、设计举例对象传递函数为：性能指标为：（1）速度品质系数（2）阶跃响应的超调量（3）过渡过程时间 秒要求设计前馈控制传递函数D1(z)和反馈控制传递函数D2(z)，即设计R(z)、T(z)和S(z)。采样周期 T=1s，解：（1）利用零阶保持器法，化G(s)为G(z)：（2）分解

16、，取（z=-0.967非常靠近单位圆）（3）采用二阶主导极点模型，为满足 的要求，取故由于，于是有b0、b1 的选择需要满足如下条件：联立求得：最后得到：（4）由于控制对象中包含一个积分环节，因此控制器中不再引入积分 环节，故可选（5）求解 Diophantine 方程：其中（a）求最大公因子法对于 ，有利用求最大公因子的矩阵法，得到由于 ，于是要求出关于 y 的最小阶解。于是有于是，Diophantine 方程的一组特解为：关于 y 的最小阶解为：其中，得到于是（b）待定系数法由于从而设（为首一多项式）代入 Diophantine 方程 ，有展开并比较两边系数，得到亦即 最后得到：即第五章结束