量子力学小结优秀PPT.ppt

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1、量子力学小结第一页，本课件共有48 页第一章 绪论（小结）1、经典物理的困难 黑体辐射，光电效应，原子光谱线系2、旧量子论普朗克能量子论爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；光电效应的规律；爱因斯坦公式：光子能量动量关系：第二页，本课件共有48 页玻尔的原子理论量子化条件：定态的假设、频率条件：3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。4、量子力学的建立物质波 薛定谔方程 非相对论量子力学 相对论量子力学 量子场论 第三页，本课件共有48 页第二章 波函数和薛定谔方程（小结）1量子力学中用波函数描写微观体系的状态。2波函数统计解释：若粒子的状态

2、用 描写，表示在t时刻，空间 处 体积元内找到粒子的几率（设 是归一化的）。3态叠加原理：设 是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加：也是体系的一个可能状态。第四页，本课件共有48 页若体系处于 态，我们讲体系部分处于 态。4波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：当势场 不显含 时，其解是定态解：满足定态薛定谔方程：其中定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。第五页，本课件共有48 页5波函数的归一化条件：相对几率分布：波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。6波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。7几率流密度 与几率密度 满足连续性方程：第六页，本课件共有4

3、8 页8一维无限深方势阱 本征值 本征函数 若 则本征值 第七页，本课件共有48 页本征函数 9三维无限深方势阱 可以用分离变量法求解得到本征值 本征函数第八页，本课件共有48 页10一维谐振子 本征值 本征函数 11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。第九页，本课件共有48 页12、势垒贯穿隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。第十页，本课件共有48 页第三章 量子力学中的力学量（小结）1量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。2.厄米算符A的定义：厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属

4、于不同本征值的本征函数一定正交。力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备等条件。第十一页，本课件共有48 页3力学量的测量值：在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值；在非的本征态中测量F，可能值是F的本征值。将用算符F的正交归一的本征函数展开：则在态中测量力学量F得到结果为的几率为，得到结果在范围内的几率为:。第十二页，本课件共有48 页力学量的平均值是:或第十三页，本课件共有48 页4连续谱的本征函数可以归一化为函数。5简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。简并度：算符的属于本征值的线性无关的本征函数有f个，我们称的第n个本征值是f度简并的

5、。6 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数)正交归一性 第十四页，本课件共有48 页7 角动量 分量 本征函数 的本征值 8 平面转子（设绕 轴旋转）哈密顿量 能量本征态 能量本征值 第十五页，本课件共有48 页9 有共同的本征函数球谐函数：中心力场中，势场，角动量 为守恒量。1第十六页，本课件共有48 页10中心力场中，定态薛定谔方程 选 为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为 11氢原子第十七页，本课件共有48 页类氢离子 12 守恒力学量的定义：若（即力学量的平均值不随时间变化），则称 为守恒量。力学量 的平均值随时间的变化满足因而力学量 为守恒量的条件为：且 第十八页，本课件共有48

6、 页13宇称算符宇称算符的定义：，本征值，本征函数。14 对易式定义：15 对易式满足的基本恒等式：（Jacobi恒等式）第十九页，本课件共有48 页16 一些重要的对易关系：第二十页，本课件共有48 页17若算符 对易，即，则 和 有共同的本征函数系。在 和 的共同的本征函数表示的态中测量，都有确定值。若算符 不对易，即，则必有简记为 特别地，第二十一页，本课件共有48 页第四章态和力学量的表象小结 1 表象是以 的本征函数系 为基底的表象，在这个表象中，有第二十二页，本课件共有48 页算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是:选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。平均值公式是：归一化条件是：本

7、征值方程是：2 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足；态的变换是；算符的变换是。幺正变换不改变算符的本征值。3 量子态可用狄拉克符号右矢或左矢表示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且运算简洁。第二十三页，本课件共有48 页基矢的封闭性：坐标表象 狄拉克符号第二十四页，本课件共有48 页4粒子占有数表象以线性谐振子的粒子数算符N 或者哈密顿的本征态为基矢的表象。粒子数算符：湮灭算符：产生算符：第二十五页，本课件共有48 页第五章微扰理论小结 1定态微扰理论 适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求的本征值和本征函数已知或较易计算，另

8、一方面又要求把的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰比较小，以保证微扰计算收敛较快，即（1）非简并情况：第二十六页，本课件共有48 页其中，能量的一级修正等于态中的平均值。（2）简并情况 能级的一级修正由久期方程即给出。有个实根，记为第二十七页，本课件共有48 页分别把每一个根代入方程，即可求得相应的解，记为，于是得出新的零级波函数2变分法选择尝试波函数，计算的平均值，它是变分参量的函数，由极值条件定出，求出，它表示基态能量的上限。相应能量为第二十八页，本课件共有48 页3.与时间有关的微扰理论（1）由的跃迁几率是（在一级近似下）此公式适用的条件是 对于（2）能量和时间的测不准关系：（3）偶极

9、跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则第二十九页，本课件共有48 页例题1、设在H0表象中，的矩阵为：试用微扰论求能量的二级修正。解：本题的意义在于：并不知道无微扰算符，微扰和总的（一级近似）哈氏算符的形式，也不知道零阶近似波函数的形式，知道的是在表象中的矩阵。但仅仅根据这矩阵的具体形式，按习惯用代表字母的涵义，可以知道几点：第三十页，本课件共有48 页（1）能量本征值是分立的（因为用分立矩阵表示，若是连续能量本征值，不能用此表示法），无微扰能量本征值有三个，本征函数。因（2）微扰算符的的矩阵是 根据无简并微扰论，一级能量修正量是：从（2）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量：第三十一页

10、，本课件共有48 页又二级能量公式是：所需的矩阵元已经直接由式（2）表示出，毋需再加计算，因而有：第三十二页，本课件共有48 页例2、设在H0表象中用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。解：直接判断法：题给矩阵进行分解，有第三十三页，本课件共有48 页从矩阵（3）知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量）严格求解法：这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。我们设算符H（1）具有本征矢，本征值是，列矩阵方程式：第三十四页，本课件共有48

11、页展开后成两式 又假设本征矢是归一化的：（5）式有 非平凡解的条件是：第三十五页，本课件共有48 页（7）后一式可展开（8）第三十六页，本课件共有48 页（7）是正确本征值解，共有二个，以符号 来区别。（8）的级数展开式可分写为中断在第三项的时侯便是二阶近似值，这由对比便能知道两个能级近似值的绝对误差是有下述上限的。第三十七页，本课件共有48 页第七章自旋与全同粒子1电子自旋电子自旋假设的两个要点：（1）（2）内禀磁矩的值即玻尔磁子的值：斯特恩盖拉赫实验证明了原子具有磁矩和电子自旋。2.自旋算符和自旋波函数（1）自旋算符与Pauli 矩阵：第三十八页，本课件共有48 页对易关系：（单位算符）第

12、三十九页，本课件共有48 页（2）自旋波函数（200-203页）考虑电子的自旋后，电子的波函数是二行一列矩阵：当电子的自旋与轨道相互作用可以忽略时，电子的波函数可以写为：第四十页，本课件共有48 页的本征函数：（3）两电子体系的自旋波函数：第四十一页，本课件共有48 页算符3、两个角动量的耦合若 是两个独立的角动量，则 也是角动量。C-G系数的性质：，j的取值 第四十二页，本课件共有48 页4、全同粒子（1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的

13、改变。全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性 或者交换反对称性。第四十三页，本课件共有48 页（3）全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。玻色子：自旋为整数倍（）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如介子（），光子（）。它们遵守Bose统计，称为Bose子。费米子：自旋为 半奇数倍（）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的，例如电子，质子，中子等。它们遵守Fermi 统计，称为Fermi子。由“基本粒子”组成的复杂粒子，

14、例如粒子（氦核）或其它原子核，如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同性概念仍然适用，也可以当成一类全同粒子来处理。如果它们是由Bose 子组成，则仍为Bose子。如它们由奇数个Fermi 子组成，则仍为Fermi子；但如由偶数个Fermi子组成，则构成Bose子。第四十四页，本课件共有48 页（4）Pauli不相容原理：不容许有两个或两个以上的全同Fermi子处于同一个单粒子态。第四十五页，本课件共有48 页例题1.设自由粒子的动能为，粒子的速度远小于光速，求其德布罗意波长。例题2.如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，即：求阱中粒子的波函数和能级的表达式。例题3.（2.1）.证明在定态中，几率流密度与时间无关。第四十六页，本课件共有48 页例题4.（2.5）求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。例题5.指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。例题6.下列函数哪些是算符 的本征函数，其本征值是什么？第四十七页，本课件共有48 页例题7试求算符 的本征函数。例题8.试证明厄密算符的本征值为实数。例题9.证明：属于不同本征值的两个本征函数相互正交。第四十八页，本课件共有48 页