高等数学方明亮 曲面及其方程优秀PPT.ppt

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1、高高等数等数学学方明方明亮亮 曲曲面及其方程面及其方程2022/12/71第一页，本课件共有27页一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解:设轨迹上的动点为轨迹方程.（Equations for a Surface)Equations for a Surface)2022/12/72第二页，本课件共有27页如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标

2、都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义定义1 12022/12/73第三页，本课件共有27页故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.例例1 1 求动点到定点2022/12/74第四页，本课件共有27页解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程

3、(A A 0)0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.（课本（课本 例例3 3）表示怎样半径为的球面.球心为 例例2 2 研究方程2022/12/75第五页，本课件共有27页定义定义2 2 一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴,旋转曲线叫做旋转曲面旋转曲线叫做旋转曲面的的母线母线.例如例如:(Surface of Revolution)(Surface of Revolution)2022/12/76第六页，本课件共有27页故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点

4、转到建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:2022/12/77第七页，本课件共有27页求旋转曲面方程时求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐则该坐标轴标轴对应的变量不变对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？2022/12/78第八页，本课件共有27页的圆锥面方程.（课本（课本 例例4 4）解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例例3 3 试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,

5、半顶角为2022/12/79第九页，本课件共有27页分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例例4 4 求坐标面 xoz 上的双曲线(旋转双叶双曲面）旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）旋转单叶双曲面）（习题（习题6-3 6-3 5 5）2022/12/710第十页，本课件共有27页三、柱面三、柱面引例引例 分析方程表示怎样的坐标也满足方程解解:在 xoy 面上表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表

6、示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,(Cylinder;Cylindrical Surface)(Cylinder;Cylindrical Surface)的曲面?2022/12/711第十一页，本课件共有27页平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.定义定义3 3 2022/12/712第十二页，本课件共有27页柱面,柱面,平行于 x 轴;平行

7、于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3:H(z,x)=0.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1:F(x,y)=0.母线准线 yoz 面上的曲线 l2:G(y,z)=0.母线一般地,在三维空间2022/12/713第十三页，本课件共有27页四四、二次曲面、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)(Quadric Surface;Surface of Second Order)(

8、Quadric Surface;Surface of Second Order)2022/12/714第十四页，本课件共有27页椭圆椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换伸缩变换得到,见书 P202)1.1.椭圆锥面椭圆锥面(Elliptic Cone)(Elliptic Cone)2022/12/715第十五页，本课件共有27页(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆2.2.椭球面椭球面(Ellipsoid)(Ellipsoid)2022/12/716第十六页，本课件共有27页与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同

9、样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)2022/12/717第十七页，本课件共有27页3.3.抛物面抛物面(Paraboloid)(Paraboloid)(1)(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(2)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=b时为绕 z 轴的旋转抛物面.xyzxyz2022/12/718第十八页，本课件共有27页(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面(Hyperboloid ofHyperboloid of One Sheet)One Sheet)椭圆椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线双曲线:4.4.双

10、曲面双曲面(Hyperboloid)(Hyperboloid)2022/12/719第十九页，本课件共有27页虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线:双曲线:2022/12/720第二十页，本课件共有27页双曲线双曲线椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线单叶双曲面:系数二项正,一项为负.双叶双曲面:系数一项正,二项负.图形图形(2)(2)双叶双曲面双叶双曲面(Hyperboloid of(Hyperboloid of TwTwo Sheets)o Sheets)（a、b、c 是正数）2022/12/721第二十一页，

11、本课件共有27页内容小结内容小结1.1.空间曲面空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2022/12/722第二十二页，本课件共有27页三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:2.2.二次曲面二次曲面2022/12/723第二十三页，本课件共有27页课外练习课外练习P204 P204 习题习题6 63 3 1 1；3(2)(4);4;63(2)(4);4;6（奇数题）；（奇数题）；7 7；8 8（2 2）（）（3 3）；）；9 92022/12/724第二十四页，本课件共有27页斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考思考与练习与练习1.1.指出下列方程的图形:2022/12/725第二十五页，本课件共有27页2022/12/726第二十六页，本课件共有27页3.3.习题习题6-3 6-3 8 8题8答案:在 xoy 面上(2)(2)双曲线双曲线绕绕y y轴旋转一周；轴旋转一周；2022/12/727第二十七页，本课件共有27页