随机事件与概率(1).ppt

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1、 概率论与数理统计概率论与数理统计在终极的分析下，一切知识都是历史在终极的分析下，一切知识都是历史在抽象的意义下，一切科学都是数学在抽象的意义下，一切科学都是数学在理性的基础上，所有的判断都是统计学在理性的基础上，所有的判断都是统计学1教材：教材：概率论与数理统计（经管类），第三版概率论与数理统计（经管类），第三版吴赣昌吴赣昌 主编，中国人民大学出版社主编，中国人民大学出版社参考教材参考教材：1 1、概率论与数理统计概率论与数理统计 浙江大学浙江大学 盛骤盛骤 等主编，等主编，高等教育出版社高等教育出版社2、概率论与数理统计概率论与数理统计教程教程 魏宗舒等魏宗舒等 高等教育出版社高等教育出版

2、社3 3、统计学与计量经济学统计学与计量经济学 多米尼克多米尼克.萨尔瓦多萨尔瓦多 等，等，复旦大学出版社复旦大学出版社推荐阅读书籍推荐阅读书籍：见：见“绪论绪论”关于教材配套光盘关于教材配套光盘：作为习题集及解答使用作为习题集及解答使用2如何学好如何学好“概率统计概率统计”课程课程课前预习课前预习课堂跟进课堂跟进课后回顾课后回顾+练习练习3概率论与数理统计课程结构图概率论与数理统计课程结构图ProbabilityStatistics4第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 作业：作业：1-1：8,91-2：2,41-3：5,6,9 1-4：6,8,101-5：2,4,5,8 1.11

3、.1随机事件；1.21.2随机事件的概率；1.31.3古典概型与几何概型；1.41.4条件概率*；1.51.5事件的独立性*；5E.新生婴儿的体重新生婴儿的体重.我们的生活常遇到这些现象我们的生活常遇到这些现象.概率论研究的对象概率论研究的对象A.太阳从东方升起；太阳从东方升起；D.明天的最高温度；明天的最高温度；B.上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；C.水在摄氏水在摄氏0度一定会沸腾；度一定会沸腾；确确定定性性现现象象必定不发生现象必定不发生现象12/6/20226我我们们将偶然将偶然现现象称象称为为随机随机现现象象。概率概率论论就是研究随机就是研究随机现现象象统计规统计规律的一律的一门门

4、数学学科。数学学科。从表面上看，随机现象的每一次观察结果从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象都是随机的，但多次观察某个随机现象,便可以便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律.随机现象有其偶然性一面，也有其必然随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为为随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性.随机现象常常表现出这样或那样的统计规随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是

5、概率论所研究的对象律，这正是概率论所研究的对象.12/6/20227一、随机试验一、随机试验1.1 随机事件 12/6/20228 从观察试验开始从观察试验开始 对随机现象进行观察和所做的科学试验，对随机现象进行观察和所做的科学试验，统称为随机试验。简称试验，一般记作统称为随机试验。简称试验，一般记作E。随机试验的特点：随机试验的特点：1.在相同条件下，可以重复进行试验；在相同条件下，可以重复进行试验；(重复性重复性)2.每次试验的结果可能不止一个，并且事先能够每次试验的结果可能不止一个，并且事先能够 明确所有可能的结果；明确所有可能的结果；（结果可知性）（结果可知性）3.在试验进行之前，不能

6、确定那一种结果会出现。在试验进行之前，不能确定那一种结果会出现。（随机性）（随机性）12/6/20229：观察某储蓄所一天的营业额；：观察某储蓄所一天的营业额；E1掷一颗骰子，观察出现的点数；掷一颗骰子，观察出现的点数；E2观察新生婴儿的体重观察新生婴儿的体重.E5观察某地一天的最高温度；观察某地一天的最高温度；E4E3抛掷一枚硬币，观察出现的正反面；抛掷一枚硬币，观察出现的正反面；12/6/202210二、随机事件二、随机事件(1)(1)在一次随机在一次随机试验试验中，可能出中，可能出现现也可能不出也可能不出现现，而而在大量重复试验中具有统计规律性的事件，称为在大量重复试验中具有统计规律性的

7、事件，称为随机随机事件（或偶然事件），简称为事件事件（或偶然事件），简称为事件。掷一颗骰子试验掷一颗骰子试验:事件事件A“出现奇数点出现奇数点”（2 2）必然事件：在一次）必然事件：在一次试验试验中必然中必然发发生的事件称生的事件称为为必然事件必然事件，记记作作 .掷一颗骰子试验掷一颗骰子试验:事件事件B“出现小于出现小于7的点的点”（3 3）不可能事件：在一次）不可能事件：在一次试验试验中必然不中必然不发发生的事生的事件称件称为为不可能事件不可能事件，记记作作 .掷一颗骰子试验掷一颗骰子试验:事件事件C“出现出现8点点”12/6/202211注注注注:样本空间是古典概率的关键的概念，一定要理

8、解。样本空间是古典概率的关键的概念，一定要理解。随机随机试验试验 E 每个可能的每个可能的结结果果 ，称，称为为随机随机试验的试验的样本点样本点或基本事件或基本事件，由所有的样本点组成的集合，称，由所有的样本点组成的集合，称为试验为试验E 的的样本空间样本空间，记作，记作 。三、三、样样本空本空间间随机试验随机试验:对某种自然现象进行的一次观察（或观测）。对某种自然现象进行的一次观察（或观测）。如：如：掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数.基本事件基本事件:随机试验的每一个可能的结果随机试验的每一个可能的结果 如：如：掷一颗骰子掷一颗骰子出现的出现的 ，1,2,3,4,5,6.

9、样本空间样本空间:所有基本事件的全体所有基本事件的全体 如：如：掷一颗骰子，出现的点数掷一颗骰子，出现的点数全体全体.12/6/202212例如例如例如例如 试验试验试验试验掷掷一枚硬一枚硬币币。记录记录某商某商场场一天内接待的一天内接待的顾顾客数。客数。从一批灯管中任取一只，从一批灯管中任取一只，测试测试其寿命。其寿命。射手射击，击不中再击，直至击中为止，观察射手射击，击不中再击，直至击中为止，观察射击的情况。记射击的情况。记1表示击中，表示击中，0表示未击中表示未击中。12/6/202213（2 2）由若干个基本事件合成的事件，称）由若干个基本事件合成的事件，称为为复合事件复合事件.(1)

10、(1)仅含一个样本点的事件称为仅含一个样本点的事件称为基本事件基本事件基本事件基本事件 随机试验随机试验:掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数.基本事件基本事件:不能分解成其他事件组合的最简单的随机事件不能分解成其他事件组合的最简单的随机事件复合复合事件事件事件事件A“出现奇数点出现奇数点”事件事件B “出现小于出现小于5的点的点”注意：注意：12/6/202214注意注意注意注意:虽虽然必然事件与不可能事件不是随机事件，然必然事件与不可能事件不是随机事件，为为了了 方便，我方便，我们们把它把它们们作作为为随机事件的两随机事件的两 个端点，放在随机事件中加以个端点，放在随机事件

11、中加以讨论讨论。样本空间的两个特殊子集样本空间的两个特殊子集样本空间的两个特殊子集样本空间的两个特殊子集 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为次试验中它总是发生，称为必然事件必然事件.它不包含任何样本点，因此在每次试验中都它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生称之为不发生称之为不可能事件不可能事件.12/6/202215四、四、事件事件间间的关系与运算的关系与运算 不可能事件不可能事件独点集独点集 基本事件基本事件复合事件复合事件A、B、C集合；集合；必然事件必然事件随机事件与集合的关系：随机事件与集合的关系：12/6/20

12、2216若事件若事件A的的发发生必然生必然导导致事件致事件B的的发发生，生，则则称称事事件件B包含事件包含事件A，或称事件，或称事件A包含于事件包含于事件B，记记作作若事件若事件B包含事件包含事件A且事件且事件A包含事件包含事件B，则则称事件称事件A与与B相相等等，记记作作A=B。BA(1)(1)事件的包含关系事件的包含关系(2)(2)事件相等事件相等12/6/202217(3)(3)(3)(3)和事件和事件和事件和事件（并）（并）事件事件A与与B至少有一个事件至少有一个事件发发生，即生，即“A或或B”，这这一事件称一事件称为为事件事件A与与B的和的和，记记作作AB或或 A+B12/6/202

13、218(4)(4)事件的事件的积积（交）（交）事件事件A与与B同同时发时发生，即生，即“A且且B”，这这一事件称一事件称为为事件事件A与与B的的积积，记记作作AB。（或。（或记记作作 AB )AB12/6/202219若事件若事件A与与B不可能同不可能同时发时发生，即生，即AB=,称称事件事件A与与B互不相容互不相容（或称（或称互斥互斥）。）。(5)(5)互斥事件或互斥事件或互不相容事件互不相容事件BA12/6/202220(6)(6)(6)(6)对对对对立事件或立事件或立事件或立事件或互逆事件互逆事件互逆事件互逆事件 如果事件如果事件A与与B满满足足 ,则则称称事件事件A与事件与事件B互互为

14、对为对立事件立事件，事件，事件A的的对对立事立事件记作件记作 。A2 2.注注注注1.对对立事件一定是互立事件一定是互不相容事件，而互不不相容事件，而互不相容事件未必是相容事件未必是对对立立事件。事件。12/6/202221事件事件A发生而事件发生而事件B不发生，这一事件称为事件不发生，这一事件称为事件A与与B的差的差，记作，记作A-B。(7)(7)(7)(7)事件的差事件的差事件的差事件的差B-AA-B12/6/202222(8)(8)(8)(8)完完完完备备备备事件事件事件事件组组组组（1）A1,A2,An 两两互不相容；两两互不相容；设设A1,A2,An 是是n个个随机事件，且随机事件，

15、且满满足：足：则称则称 A1,A2,An 是一个完备事件组。是一个完备事件组。注注注注:完备事件组与互不相完备事件组与互不相容事件组是两个概念。容事件组是两个概念。例如例如 AB=，只能只能说说明明A与与B是互不相容事件，不能保是互不相容事件，不能保证证A与与B是完备事件组。这是完备事件组。这是因为是因为AB未必是未必是.12/6/202223和逆和逆=逆逆积积积积逆逆=逆和逆和德德摩根定理可推广到有限或可列个随机事件上摩根定理可推广到有限或可列个随机事件上(9)(9)(9)(9)事件运算的事件运算的事件运算的事件运算的规规规规律律律律1.交交换换律律 AB=B A；AB=BA2.结结合律合律

16、（A B）C=A（B C）；）；（AB）C=A（BC）3.分配律分配律（A B）C =AC BC；A BC=（A B）（）（A C）4.德德摩根定理摩根定理 12/6/202224例例1 射击射击3次，事件次，事件 表示第表示第i次击中次击中 目标，下列各事件表示什么意思。目标，下列各事件表示什么意思。第一次击中，第二、三次未中；第一次击中，第二、三次未中；前两次至少有一次击中且第三次未中；前两次至少有一次击中且第三次未中；第二、三次未中；第二、三次未中；第二、三次至少有一次未中；第二、三次至少有一次未中；三次中至少有一次未中三次中至少有一次未中；三次中至少有两次击中三次中至少有两次击中；12

17、/6/202225例例2 甲、乙、丙三人同时破译密码，设甲、乙、丙三人同时破译密码，设A、B、C分别表示甲、乙、丙译出密码，用事件分别表示甲、乙、丙译出密码，用事件 A、B、C表示下列事件。表示下列事件。1.三人都译出密码三人都译出密码；2.三人都未译出密码三人都未译出密码；3.甲译出，乙、丙未译出；甲译出，乙、丙未译出；4.三人至少有一人译出；三人至少有一人译出；5.三人中至多有一人译出。三人中至多有一人译出。12/6/2022261.2 随机事件的概率随机事件的概率 频率及其性质 概率的统计定义 概率的公理化定义 概率的古典定义 概率的性质*(下一讲教学）内容分布：内容分布：27尽管随机事

18、件具有随机性，但是在一次试验中发生的尽管随机事件具有随机性，但是在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的，并且是可以度量的可能性大小是客观存在的，并且是可以度量的.历史发展：历史发展：频率频率概率（频率的稳定值）概率（频率的稳定值）概率：度量事件出现的可能性大小概率：度量事件出现的可能性大小 如何求值？如何求值？28“抛硬币抛硬币”试验：抛掷试验：抛掷n次，观察出现正面次数次，观察出现正面次数.n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.50

19、2530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.49429【定义【定义1】在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验，在这在这n次试验次试验中，事件中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为事件称为事件 A 发生的发生的频数频数。比值比值nA/n 称为事件称为事件A 发生的发生的频率频率，并记成，并记成fn(A).).A出现的频率出现的频率 fn(A)A出现的次数出现的次数试验总次

20、数试验总次数一、频率及其性质 对于有限个两两互不相容（即任意两个事件互不相容），对于有限个两两互不相容（即任意两个事件互不相容），频率具有可加性。即：频率具有可加性。即：30概率概率 事件事件A发生发生的频繁程度的频繁程度事件事件A发生发生的可能性的大小的可能性的大小概率的统计定义概率的统计定义频频 率率稳稳 定定 值值p只是概率的近似值只是概率的近似值【定义定义2】概率的统计定义概率的统计定义31概率的统计定义概率的统计定义 在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动，且一般来说，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作P(A)。如：生育的性别比

21、例、彩票中奖、抽签等；32(A.H.柯尔莫哥洛夫1903-1987)20世世纪纪最最有有影影响响的的数数学学家家，是是美美国国、英英国国、法法国国等等多多国国院院士士或皇家学会会员。或皇家学会会员。他他建建立立了了在在测测度度论论基基础础上上的的概概率率论论公公理理体体系系，奠奠定定了了近近代代概概率论的基础，率论的基础，同时他也是随机过程论的奠基人之一，同时他也是随机过程论的奠基人之一，此外，他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献此外，他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献“数数学学界界的的莫莫扎扎特特”前苏联科学家前苏联科学家33设设 E,S,对于对于 赋予一个实数赋予一个实数

22、,记为记为 事件事件 A 的概率，的概率，非负性非负性完备性完备性可列可加性可列可加性二、概率的定义（公理化定义）二、概率的定义（公理化定义）要求集合函数要求集合函数 满足满足 下列三个公理下列三个公理：34二、概率的定义（二、概率的定义（古典古典定义）定义）若试验结果一共由n个基本事件 组成，并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件A由m个基本事件 组成，则事件A的概率可以用下式计算：35例：在盒子中有例：在盒子中有10个相同的球，分别标为号码个相同的球，分别标为号码1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，从中任取一个球，求此球的号码为偶数的概，从中任取一个球，求此球的号码为偶数的概率。

23、率。解：令则故基本事件总数n=10，36总结：总结：随机事件随机事件 从观察现象开始从观察现象开始，研究不确定性与统计规律性研究不确定性与统计规律性（观察的过程过程称为随机试验）（观察的过程过程称为随机试验）二、随机试验二、随机试验E1.1.可重复性可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行;2.2.可观察性可观察性:试验结果可观察试验结果可观察,所有可能的结果是明确的所有可能的结果是明确的;3.3.不确定性不确定性:每次试验出现的结果事先不能准确预知每次试验出现的结果事先不能准确预知.三、样本空间三、样本空间四、随机事件四、随机事件两个特殊的事件：两个特殊的事件：

24、不可能事件不可能事件必然事件必然事件一一.什么是随机现象什么是随机现象?37事件间的关系与运算事件间的关系与运算通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单事件的事件的“组合组合”。38事件的关系与运算的维恩图表示法事件的关系与运算的维恩图表示法注意区别互斥与对立两种关系注意区别互斥与对立两种关系注意区别互斥与对立两种关系注意区别互斥与对立两种关系A A，B B互不相容互不相容互不相容互不相容A A，B B对立对立对立对立39完备事件组完备事件组两两互不相容两两互不相容40例例1 证明证明(略）略）：12/6/202241回顾：回顾：1.1 随机事件随机事件 随机现象；随机现象的统计规律性；样本空间；随机事件；事件的集合表示；事件的关系与运算；事件的运算规律思考：“两个事件的互不相容”与“两个事件对立”有什么区别？用集合及其运算表达随机事件有什么便捷之处？42