圆锥曲线存在性问题的探究 专题讲义--高三数学一轮复习备考.docx

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1、圆锥曲线存在性问题的探究【方法技巧与总结】 解决存在性问题的技巧：(1) 特殊值 (点) 法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立(2) 假设法：先假设存在，推证满足条件的结论若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在 【题型归纳目录】 题型一：存在点使向量数量积为定值 题型二：存在点使斜率之和或之积为定值 题型三：存在点使两角度相等 题型四：存在点使等式恒成立 题型五：存在点使线段关系式为定值【典例例题】 题型一：存在点使向量数量积为定值 例1. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个

2、焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为 (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点(1,0)作直线l交C于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M ，使 为定值？若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由例2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为点P在椭圆C上，且满足PF1F2的周长为6 () 求椭圆C的方程；() 设过点(-1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M ，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点 M 的坐标；若不存在，请说明理由例3.已知椭圆 C:的离心率为，椭圆经过点 A (1) 求椭圆 C

3、的方程；(2) 过点(1,0)作直线l交C于M ，N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点 P，使 为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由变式1.已知椭圆C:的离心率e =，过右焦点F(c,0)的直线y=x-c与椭圆交于A、B 两点，A在第一象限，且|AF|= (1) 求椭圆C的方程；(2) 在x轴上是否存在点 M ，满足对于过点 F 的任一直线 l 与椭圆 C 的两个交点 P，Q，都有为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由变式2.已知F1(-2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E， (1) 求轨迹 E 的方程；(2)

4、若直线l过点 F2且法向量为n= (a,1)，直线与轨迹E交于P、Q两点过P、Q作y轴的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记|PQ| =|AB|，试确定的取值范围；在x 轴上是否存在定点 M ，无论直线 l 绕点 F2怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由变式3.已知双曲线 E:的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切() 求双曲线 E 的方程；() 已知点F为双曲线E的左焦点，试问在 x 轴上是否存在一定点 M ，过点 M 任意作一条直线l交双曲线 E 于P，Q两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点 M 的坐标；若不存在，请说明理

5、由题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例4.已知椭圆 C:的离心率为，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且PF1F2的周长是6，Q(4,0) () 求椭圆 C 的方程；() 设直线l经过椭圆的左焦点 F1且与椭圆C交于不同的两点M，N，试问：直线QM与直线QN的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由例5. 已知椭圆 C:的离心率为，设直线l过椭圆C的上顶点和右顶点，坐标原点O到直线l的距离为 () 求椭圆C的方程() 过点D(3,0)且斜率不为零的直线交椭圆C于A，B两点，在x轴的正半轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零的常数？若存在，求出

6、定点Q的坐标；若不存在，请说明理由例6. 已知椭圆 C:的离心率为，设直线l过椭圆C的上顶点和右焦点，坐标原点O到直线l的距离为2 (1) 求椭圆 C 的方程(2) 过点 P(8,0)且斜率不为零的直线交椭圆C于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点Q，使得直线 MQ，NQ的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由变式4. 已知椭圆 C:，四点，P2(0,1)， 中恰有三点在椭圆C上(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点(1,0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于 B，D 两点，在x轴上是否存在定点A，使得直线AB的斜率与直线AD的斜率之积为定值？若存在，求出点A的

7、坐标；若不存在，请说明理由变式5. 设椭圆 C:的离心率是，过点P(0,1)的动直线L于椭圆相交于A，B两点，当直线L平行于x轴时，直线 L被椭圆C截得弦长为() 求C的方程；() 在y上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由题型三：存在点使两角度相等例7. 已知F1(-2,0)，F2(2,0)是椭圆 C: 的两个焦点，M是椭圆 C上一点，当 MF1F1F2时，有 |MF2| = 3|MF1| (1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设过椭圆右焦点F2的动直线l与椭圆交于A，B 两点，试问在 x 轴上是否存在与 F2不重合的定点T，

8、使得ATF2=BTF2恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由例8. 在平面直角坐标系 xOy 内，椭圆 E:，离心率为，右焦点 F 到右准线的距离为2，直线 l 过右焦点 F 且与椭圆 E 交于 A、B 两点(1) 求椭圆 E 的标准方程；(2) 若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求 CA2+ CB2的取值范围；(3) 若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分APB？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由例9.已知椭圆 C:的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P（1,）满足：|PF1|+|PF2| = 2a，且 (1) 求椭圆 C 的标

9、准方程；(2) 过点M(4,0)的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)不同的两点，且y1y20，问在 x 轴上是否存在定点N ，使得直线 NA，NB 与 y 轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形若存在，求定点N的坐标；若不存在，请说明理由变式6. 已知椭圆 C:的离心率为，左、右焦点分别为 F1，F2，O为坐标原点，点 P在椭圆 C 上，且满足， () 求椭圆 C 的方程；() 已知过点(2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M ，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得MQO =NQO若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由题型四：存在点使等式恒成立例10. 已知椭圆

10、C:的右焦点为 F2( 3,0),A1(-a,0),A2(a,0)，椭圆 C 上异于顶点的动点P 满足直线 PA1与 PA2的斜率之积为(1) 求椭圆C的方程(2) 过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中 y1y2 0，点Q(Q 与M不重合)在x轴上，直线QA，QB分别与y轴交于S，T，是否存在定点 Q，使得|QS| = |QT| 恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由例11. 已知椭圆 C: 的右顶点为(2,0)，离心率为(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过椭圆C的左焦点F且斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原

11、点，问椭圆C上是否存在点P，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由例12.设F1、F2分别是椭圆C:的左、右焦点，|F1F2|= 2，直线l过F1且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、F2，所组成的三角形为等边三角形() 求椭圆 C 的方程；() 过右焦点 F2的直线m与椭圆C相交于 M、N 两点，试问：椭圆C上是否存在点 P，使成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由变式7. 已知椭圆 C: 过点 ，且椭圆的短轴长为 () 求椭圆 C 的方程；() 已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M ，N两点试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在求出点 Q

12、 的坐标；若不存在，说明理由变式8.已知椭圆 C:的右焦点为F(1,0)，且点（-1,）在椭圆C上(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 已知动直线l过点 F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由变式9. 已知椭圆 C:的右焦点为F(1,0)，离心率e=(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 已知动直线 l 过点 F，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，试问x轴上是否存在定点 M ，使得 恒成立？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由变式10. 已知椭圆，过右焦点 F2的直线l交椭圆于 M ，N 两点(1) 若

13、，求直线l的方程；(2) 若直线l的斜率存在，在线段 OF2上是否存在点P(a,0)，使得，若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由变式11. 设椭圆 C: 的右焦点为 F，右顶点为 A，已知，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率(1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由变式12. 设椭圆 C: 的右焦点为 F，右顶点为 A，已知，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率(1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭

14、圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由题型五：存在点使线段关系式为定值例13.已知椭圆 C:的焦距为2，且经过点P（1,） (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 经过椭圆右焦点F且斜率为k(k0)的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点 T，使 |AF|BT| = |BF|AT| 恒成立？若存在，求出 T 点坐标，若不存在，说明理由例14. 椭圆E经过两点（1,），（，），过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 若椭圆 E 的右焦点是P，其右准线与 x

15、 轴交于点Q，直线 AQ 的斜率为 k1，直线BQ 的斜率为k2，求证：k1+ k2= 0； (3) 设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点 (不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明例15. 椭圆E:的焦点到直线x-3y=0的距离为，离心率为抛物线G:y2 = 2px(p0)的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与 E 交于 A，B，与G交于 C，D(1) 求椭圆 E 及抛物线 G 的方程；(2) 是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由变式13.椭圆E:的焦点到直线x-3y=0的距离为，离心率为抛物线G:y2 = 2px(p0)的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与 E 交于 A，B，与G交于 C，D(1) 求椭圆 E 及抛物线 G 的方程；(2) 是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21学科网（北京）股份有限公司