二次曲线动弦中点轨迹问题精选课件.ppt

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1、关于二次曲线动弦中点轨迹问题第一页，本课件共有13页q实系数方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根x1,x2(x1x2)则有=b2-4ac0q q 曲线的参数方程 x=f(k)y=g(k)消参消参F(x,y)=0abx1+x2=-cax1x2=第二页，本课件共有13页q q解法一解法一解法一解法一:(点差法点差法)设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)AB)AB中点中点P(x,y)P(x,y)则有则有x x1 12 2+y+y1 12=2=4 x4 x2 22 2+y+y2 22=2=4 4 两式两式相减得：相减得：例1：直线y=x+b与圆x2+y2=

2、4 相交于不同两点A、B,求弦中点P的轨迹方程。（普通方程）x1-x2y1-y2k=k=y1+y2x1+x2-=xy-又又k=1 k=1 所以所以y=-x,y=-x,又由直线与圆相交得又由直线与圆相交得22-x x 所以所以y=-x()y=-x()为所求轨迹方程为所求轨迹方程22-x x 0022-2-2b2b2 2x1+x22b又又x=x=-=-2y1+y22by=y=消去消去消去消去b b得：得：得：得：y=-x()y=-x()22-x x 所以所以所以所以y=-x()y=-x()22-x x 为所求轨迹方程。为所求轨迹方程。为所求轨迹方程。为所求轨迹方程。第四页，本课件共有13页 解法三

3、：设弦中点为P(x,y),由题可得OPAB，当x0时有KOPKAB=-1,所以 1=-1即y=-x 又x=0也适合,所以y=-x(-x )为所求轨迹方程。22yx解法四：(向量法)设弦中点P(x,y),直线AB的方向向量为 =(1,1)又 即 =0 所以x+y=0即y=-x(-x )为所求轨迹方程。nopopABABopopn22第五页，本课件共有13页2yxy=x+by=-x第六页，本课件共有13页例2:过点M(-1,-1)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B,求弦AB中点P的轨迹方程。x2+y2+x+y=0MM（-1-1，-1-1）y yx x2 2 第七页，本课件共有13页q问题

4、问题1:所求的两个方程各表示什么轨迹？3.y=2x3.y=2x2 2-3,-3,抛物线型抛物线型4.x4.x2 2+2y+2y2 2+x+2y=0,+x+2y=0,椭圆型椭圆型q q问题问题问题问题3 3:比较上面四题结论的异同，请猜测哪些条件对结论起比较上面四题结论的异同，请猜测哪些条件对结论起了决定性的作用？了决定性的作用？1.1.构成动弦的直线形式构成动弦的直线形式2.2.二次曲线的形状二次曲线的形状q q问题问题问题问题4 4:你能否从上面的问题中探索出规律性结论吗？你能否从上面的问题中探索出规律性结论吗？平行直线系所构成的动弦中点轨迹为直线型，过定点的直平行直线系所构成的动弦中点轨迹

5、为直线型，过定点的直线系所构成的动弦中点轨迹与原二次曲线同型。线系所构成的动弦中点轨迹与原二次曲线同型。q q 问题问题问题问题2 2:将例将例1 1、例、例2 2中的圆换为抛物线：中的圆换为抛物线：y=xy=x2 2-2x+2-2x+2或者椭圆或者椭圆x x2 2+2y+2y2 2=1,=1,所求轨迹又如何？所求轨迹又如何？例例1 1为直线的一部份，例为直线的一部份，例2 2为圆。为圆。1.x=,1.x=,直线型直线型322.y=,2.y=,直线型直线型x2-第八页，本课件共有13页q问题5：直线y=kx+m(k为常数）与曲线ax2+by2=1(ab0)相交于不同两点相交于不同两点A、B则弦

6、则弦AB中点轨迹是什么类型？中点轨迹是什么类型？q q问题6:过点过点M(a、b)(a、b b为常数)的直线与双曲线x2-4y2=1相交于不同两点相交于不同两点A、B，求弦，求弦AB中点的轨迹方程？轨迹方程为x2-4y-4y2 2-ax+4by=0轨迹方程为y=-,轨迹为直线型bkax第九页，本课件共有13页q问题7：判断问题6中所求的轨迹是什么曲线？q q问题问题8：根据问题：根据问题6 6、问题、问题7修正问题4 4中所探索的规律性结论，并给予证明(课外完成)。(x-)2-4(y-)2=-b2a2b2a241)-b2=0即b=时为两直线a2a242)-b2 0即b 时为双曲线型a2a24第十页，本课件共有13页小结：n n二次曲线动弦中点轨迹的求法n n一个结论(特殊到一般，简单到复杂，先猜后证)第十一页，本课件共有13页作业：q q已知椭圆x2+2y2=2,(1)求被点P（,）平分的弦所在直线方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹。1212q q抛物线抛物线y=xy=x2-2x+2与直线y=mx交于P1 1、P2两点(1)求线段P1 1P2中点中点Q的轨迹方程；的轨迹方程；(2)0 x2求线段P1P2 2中点Q的最高点和最低点坐标。第十二页，本课件共有13页感感谢谢大大家家观观看看第十三页，本课件共有13页