近世代数课件置换群优秀PPT.ppt
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1、近世代数课件置换群近世代数课件置换群2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1 1第一页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2 2其中 是1n中的某一数字.(1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来式所示的置换可以用一个更简洁的方式来表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之积来表示，如其中(5)称为单循环单循环，它代表5变为5.即5不变不变.(1 4)为二循环，它代表1变为4，而4又变为1.(2 3 6)为三循环三循环，代表2变为3 3，3变为6，6又变为2.一般用记号第二页，本课件共有66页2022/1
2、2/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院3 3代表一个代表一个k k循环，并称k为循环的长度，两个数字的循环(即循环长度k=2)k=2)又称为对换.显然，两没有显然，两没有公共数字的独立循环之间是相互对易的，如而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结果，如 单循环往往省去不写，如(2)式可写成式可写成第三页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院4 4任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之积积，如而一般情况下可以证明：而一般情况下可以证明：第四页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院
3、数学与计算科学学院5 5当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易的，如由此可见，由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相同数字的对换之积同数字的对换之积.因此，一个置换可分解为若干个因此，一个置换可分解为若干个含有相同数字的对换之积含有相同数字的对换之积.由于一个循环分解为对换乘积的形式不是唯一的，如(3)(3)式示式示,所以一个置换可所以一个置换可分解为对换之积的形式不是唯一的.一个置换若能分解为奇数个对换之积，则称为奇置换.反之反之,一个置换若能分解为偶数个对换之积，则称为能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换.一个置换可分解为对换乘
4、积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性第五页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院6 6却是唯一的.因为任一置换可分解为形式一定的循环乘积，而每一循环长度k k的奇偶性一定，若循环长度长度k k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积,如 .反之，若长度k为奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 .任一置换任一置换 和它的逆和它的逆 具具有相同的奇偶性有相同的奇偶性.如 显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与置换之积为偶置换，一个奇置换与一个偶置换之积为奇置换.记所有偶置换的全体为记所有偶置换的全体为 ，则，则 的数目正好的数目正好第六页
5、，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院7 7等于个 .并且由于偶偶=偶满足封闭,单位元(恒等置换零个对换)，另 ，故构成 的一个子群，且是一个不变子群.因为对于任意的 ，有显然商群 是二阶群,它有两个一维表示与 ,而任何一商群的表示也一定是其大群的表示，所以 群一定有两个不等价的一维表示,其中一个是其中一个是 ，即，即 中的所有置换都对应于单中的所有置换都对应于单位元1，此为恒等表示.另一个一维表示是 ,在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换第七页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院
6、8 8都对应于1.2.的共轭类的共轭类 现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类.设有两个置换 与 ，它们都是 的群元素，其中则 的共轭元素为：第八页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院9 9这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 ，只需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 ,例如对 的上下两行数字同时施行置换 得：若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求共轭元素的规则又可表述为：共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共轭置换 ,先将 与 写成独立的循环之积的形第九页，本课件共有66页2022/12/720
7、22/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1010式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行置换.如在上例中，我们有对 中的每个数字分别施行置换 得：与前面所得结果相同.由上面的讨论可见，与它的共轭元素与它的共轭元素 有有相同的循环结构.反之，有相同的循环结构的元素第十页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1111一定是相互共轭的一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组成一个共轭类，为了确定 群中共轭类的数目,人人们引入了配分的概念的概念:约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次序，而包括
8、在n n次循环中的循环总长度等于n，这样n可分解为一些不增加的整数之和，称为可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一的一个配分,且每一个n n次置换都对应于一个n的配分，如置换 其配分为：6=3+2+1或简记为3 2 1.由于相互共轭的元素具有相同的由于相互共轭的元素具有相同的第十一页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1212循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的.也就是说 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同一个配分，所以一个配分，所以置换群 的共轭类数目等于n的不的不同的配分数.例例1:1:有两个类有两个类 配分 1 1=,有一个元
9、素:(1)(2)=.配分配分 2,有一个元素有一个元素:(1 2).有三个类 配分 1 1 1=,有一个元素:(1)(2)(3)=.配分 2 1,有三个元素:(1 2)、(1 3)、(2 3).配分 3,有两个元素有两个元素:(1 2 3)、(1 3 2).第十二页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1313 有五个类 配分 1 1 1 1=,1 1 1 1=,有一个元素:(1)(2)(3)(4)=.配分配分 2 1 1=2 ,2 1 1=2 ,有六个元素:(1 2)、(1 3)、(1 4)、(2 3)、(2 4)(2 4)、(3 4).配
10、分 2 2=,有三个元素:(1 2)(3 4):(1 2)(3 4)、(1 3)(2 4)(1 3)(2 4)、(1 4)(2 3).配分 3 1，有八个元素:(1 2 3)、(1 3 2)、(1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3).配分4，有，有6 6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2).由1.31.3节的讨论知，与 群同构，所以 也有两个一维与一个二维不可约表示.第十三页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算
11、科学学院数学与计算科学学院1414 有不变子群其商群为：其中 第十四页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1515显然 与 群同构，因此，群的三个不可约表示还是 的表示.由于 有5 5个类(=5(=5个不可个不可约表示)，它的阶数为4！=24.所以由2.6节(6)式知，各不可约表示维数的平方和满足关系亦即所以故：第十五页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1616所以 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、一个二维表示及两个三维表示一个二维表示及两个三维表示.第十六页，本课件共有66页2
12、022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院17173.2 杨图与杨盘杨图与杨盘 由上节的讨论可以看出，群的类是和n的配分联系在一起的，n的各种配分可以形象地用杨图的各种配分可以形象地用杨图表示出来.1.杨图杨图 设n n的某种配分为 ，其中 ,且 ，该配分是由n n个格子组成的方格图，其中第一行为 个格子，第二行为 个格子等等.如图所示如图所示.上面一行的方格数大于等于下面一行的上面一行的方格数大于等于下面一行的方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格子数合起来总共有n n个方格个方格.此方格图即称为此方格图即称为n n次杨次杨图图.第十七页，本课件共有66页2
13、022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1818 例1:群的杨图由两个格子组成，各配分的杨图为:第十八页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院1919 群的杨图由三个格子组成，各配分的杨图为群的杨图由三个格子组成，各配分的杨图为:群的杨图由四个格子组成，各配分的杨图为:第十九页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2020 显然杨图数=配分数配分数=共轭类数=不等价不可约表示数.假设在n的配分中，单循环有 个，2循环有个，个，n循环有循环有 个等等，则个等等，则
14、 对于 中一个确定的类，n的配分 是一定的，所以可以用数组 来标记 的共轭类，这种标记方法的好处之一是可以用数组数组 方便地求出各类中所包含的方便地求出各类中所包含的元素数，其结果是果是第二十页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2121 证证:设设 中某置换的循环结构为中某置换的循环结构为在括号中点子的总数为n个，现在有个，现在有n个不同的数个不同的数字放入上述括号中的点子处，若不考虑其它限制条字放入上述括号中的点子处，若不考虑其它限制条件，总共有种 放法.但 中有许多是属于相同的置换，一是各独立循环的对易不给出新置换，所以 个i循环中有
15、 种置换是属于同一种置换，因此此 中必须除去中必须除去 ，再就是各循环中数，再就是各循环中数字的轮换不给出新置换，如(123)=(231)=(312).所以一个一个i循环中将重复置换循环中将重复置换i i次，个i循环要重复置循环要重复置第二十一页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2222换 次，所以 中必须除去 ，因此得结果(1)式.例例2:对于群对于群 ，在类，在类 中，中，故 ,故按(1)式，在类中包含的元素数为中包含的元素数为在类 中，则 ,故故第二十二页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与
16、计算科学学院2323在类在类 中，中，则，则故在类 中，则故在类 中，则故第二十三页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2424这些结果与这些结果与3.1节例1 1的结果是一致的.2.杨盘杨盘 置换群的不可约表示的个数与杨图的个数联系起来起来(二者相等二者相等)，再引入杨盘的概念，就可以确定出出各不可约表示的维数.在 的杨图 上，将n个数字无重复地填满n n个格子，并且每一行自左向右是按增加顺序排列个格子，并且每一行自左向右是按增加顺序排列的，而每一列由上往下，数字也是增加的，由此得到的填了数字的杨图，称之为杨盘杨盘(或杨表).例3:,n=
17、1,2,3,4 时的杨盘如下图示第二十四页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2525 杨盘第二十五页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2626 定理：定理：群中不可约表示群中不可约表示 的维数的维数 等于等于杨图 上杨盘的个数.例4:4:对于 群 杨图杨图 ,杨盘1 1个,.杨图杨图 ,杨盘2个,.杨图，杨盘1个，.故在故在 群的三个不可约表示中，两个是一维群的三个不可约表示中，两个是一维的，另一个是二维的，这与3.1节例节例1 1得到的结论是一致的.对于 群 杨图 ，杨盘1 1个，
18、.第二十六页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2727 杨图 ，杨盘2个，个，.杨图杨图 ，杨盘，杨盘3个，.杨图 ，杨盘3个，.杨图 ，杨盘1个，.所以在群 的5个不可约表示中，其中有两个是一维的，一个是二维的，另两个是三维的.这与与3.1节例1 1得到的结论是一致的.群不可约表示的维数，亦可通过如下简单的公式求得：的公式求得：第二十七页，本课件共有66页2022/12/72022/12/7数学与计算科学学院数学与计算科学学院2828其中一个方格的曲距定义为该方格右面和下面的方格数之和加格数之和加1.例如，对于杨图 ，由上式可得其不可约
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