概率论与数理统计JA48,.ppt

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1、3）Poisson 分布分布如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为 则称随机变量则称随机变量 X 服从服从参数为参数为的的Poisson 分布分布,第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量分布律的验证分布律的验证 由于由于可知对任意的自然数可知对任意的自然数 k，有，有第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量 又由幂级数的展开式，可知又由幂级数的展开式，可知所以所以是分布律是分布律0 l l第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量l l=0,5l l=2l l=5l l=10Poisson 分布的应用分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一分布是概率论中重要的分布之一自然

2、界及工程技术中的许多随机指标都服从自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布分布例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从是服从Poisson分布的分布的第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布2离散型随机

3、变量如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为试确定未知常数试确定未知常数c.例例8由分布律的性质有由分布律的性质有解：解：例例 9 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson分布，分布，且已知且已知解：解：随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为由已知由已知第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量得得由此得方程由此得方程得解得解所以，所以，第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 10第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量解：解：设设 B=此人在一年中得此人在一年中得3次感冒次感冒 则由则由Bayes公式，得公式，得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量

4、_=例例11 11 实验器皿中产生甲乙两种细菌的机会是相等的实验器皿中产生甲乙两种细菌的机会是相等的,且产生的细菌数且产生的细菌数X 服从服从参数为参数为的的泊松分布泊松分布,试求试求：(1)产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；(2)在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。有两个乙类细菌的概率。解解（1）第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量表示产生了表示产生了k个细菌，个细菌，k=0，1，2，,设设B表示产生了甲类细菌但没有乙类细菌，表示产生了甲类细菌但没有乙类细菌，则它们构成了样本空间的可

5、列划分则它们构成了样本空间的可列划分.由全概率公式有由全概率公式有第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量（2）设）设C表示产生了细菌而没有甲类细菌，由（表示产生了细菌而没有甲类细菌，由（1）知）知设设D表示有两个乙类细菌，则表示有两个乙类细菌，则Poisson 定理定理证明：证明：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量对于固定的对于固定的 k，有，有第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量所以，所以，应用应用Poisson定理定理：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 12 设每次射击命中目标的概率为设每次射击命中目标的概率为0.02，现射击，现射击400次，求至少命中次，求至少命

6、中2次目标的概率（用次目标的概率（用Poisson分布近似分布近似计算）计算）第二章 随机变量及其分布解：解：此例再一次说明此例再一次说明,小概率事件迟早会发生小概率事件迟早会发生.第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 13 某车间有某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的台车床独立地工作着，发生故障的概率都是概率都是 0.01.在通常情况下，一台车床的故障可由一个在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过故障但不能及时维修的概率不超过 0.05？解：解：设需

7、配备设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台人，记同一时刻发生故障的设备台 数为数为 X，则则 X B(100，0.01），取值，使得：取值，使得：需要确定最小的需要确定最小的 N 的的满足上式的最小的满足上式的最小的 N 是是 3,因此至少需配备因此至少需配备 3个工人。个工人。第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 14 保险公司售出某种寿险（一年）保单保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份份.每每单交保费单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得保险公司获得2万元的赔偿万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡若此类被保人一年内死

8、亡的概率为的概率为0.001，求，求 （1）保险公司亏本的概率；）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利多于）保险公司获利多于10万元的概率万元的概率.解：解：设此类被保人一年内死亡的人数为设此类被保人一年内死亡的人数为 X，则则 X B(2500，0.001）.第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 14（续）（续）（1）P(保险公司亏本保险公司亏本)（2）P(保险公司获利多于保险公司获利多于10万元万元)4 4）几）几 何何 分分 布布若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量分 布 律 的 验 证 由条件由条件 由条件可知由条件可知综上所

9、述，可知综上所述，可知是一分布律是一分布律第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量几何分布的概率背景在在Bernoulli试验中，试验中，试验进行到试验进行到 A 首次出现为止首次出现为止第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量即即例例 15 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，射击进行到击中目标时为止，X表示所需射击次表示所需射击次数。试求数。试求(1)随机变量随机变量 X 的分布律；（的分布律；（2）X 取偶数的取偶数的概率；（概率；（3）至少进行）至少进行2次射击才能击中目标的概率次射击才能击中目标的概率

10、解：解：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量5 5）超）超 几几 何何 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量超几何分布的概率背景 一批产品有一批产品有 N 件，其中有件，其中有 M 件次品，其余件次品，其余 N-M 件为正品现从中取出件为正品现从中取出 n 件件 令令 X：取出：取出 n 件产品中的次品数件产品中的次品数 则则 X 的分的分 布律为布律为2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布思考题：思考题：若商店里某一时间段里来的顾客人数服从泊松分若商店里某一时间段里来的顾客人数服从泊松分布，参数为，

11、而每个顾客买电视的概率为，布，参数为，而每个顾客买电视的概率为，且各顾客之间是否买电视彼此间没有关系，求这且各顾客之间是否买电视彼此间没有关系，求这一时间段卖出一时间段卖出k台电视的概率。台电视的概率。()2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布本节小结：本节小结：1）离散型随机变量的分布律及其性质；）离散型随机变量的分布律及其性质；2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；要求：要求：1）掌握分布律的性质；）掌握分布律的性质；2）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。

12、特别是二项分布。布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布分布函数的定义分布函数的定义分布函数的性质分布函数的性质一、一、分布函数的定义分布函数的定义 1）定义）定义 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，是任意实数，函数函数称为称为 X 的分布函数的分布函数对于任意的实数对于任意的实数 x1,x2(x1 x2)，有：，有：x1 x2 xXo0 xxX 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布例例 1 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为:求求 X 的分布函数的分布函数.Xpk -2 1 2

13、解：解：01xX2-2x2）例例 子子 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布当当 x-2 时，时，满足满足 Xx 的的 X 取值为取值为 X=-2,x1X2-2x满足满足 Xx 的的 X 取值为取值为 X=-2,或或 1，Xpk-2 1 2 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布同理当同理当-2 0 1 2 x1 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布分布函数分布函数 F(x)在在 x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其跳处有跳跃，其跳跃值为跃值为 pk=PX=xk.3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布说说 明：明：Xpk-2 1 2-2 0 1 2 x1 例

14、例 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比，并成正比，并设射击都能中靶，以设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试试求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解：解：（1）若若 x 0,则则（2）X 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布是不可能事件，是不可能事件，（3）若若 ,则则 是必然事件，于是是必然事件，于是 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布0 1 2 31F(x)x 3 随机变量的分布函数第二章 随机

15、变量及其分布二、二、分分 布布 函函 数数 的的 性性 质质1）性质：）性质：分别观察离散型、连续型分布函数的图象，分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以可以 看出，分布函数看出，分布函数 F(x)具有以下基本性质：具有以下基本性质：（1）F(x)是一个是一个单调单调不减的函数不减的函数 0 1 2 31F(x)x 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布（2）（3）-1 0 1 2 3 x1 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布2）用分布函数计算某些事件的概率用分布函数计算某些事件的概率 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布 aXP 1limnaXPn-=)0(

16、)1(lim-=-=aFnaFn aXP=aXPaXP-=bXaP =aXP=+的分布函数，则的分布函数，则是随机变量是随机变量设设X用分布函数计算某些事件的概率（续）用分布函数计算某些事件的概率（续）3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布 bXPbXP-=1()01-=bF例例 3 3 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布的分布函数为的分布函数为设随机变量设随机变量X()=xxxxxxxF31321211213210200 3 XP试求：试求：3 XP 1=XP(4)(4)(5)(5)(6)(6)3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布解：解：()0-=aFaXP()

17、()0-=aFaFaXP 3 XP()3F=1=3 21XP43411=-=()()204FF-=12112111=-=()()0103-=FF125211211=-=(5)(5)(6)(6)例例4 4 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为解：解：由分布函数的性质，我们有由分布函数的性质，我们有 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布()()+-+=xBarctgxAxF、试求常数试求常数BA()()BarctgxAxFxx+=-limlim0BA2p p-=()()BarctgxAxFxx+=+limlim1BA2p p+=例例 4 4（续）（续）解方程组解方程组得解得解 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布例例5 设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度1，另半圆，另半圆周上均匀刻周上均匀刻0，1）诸数字，求陀螺旋转后停下时触）诸数字，求陀螺旋转后停下时触及桌面上的点的刻度及桌面上的点的刻度 X 的分布函数。的分布函数。解：解：3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布本节小结：本节小结：1）分布函数的定义及性质；）分布函数的定义及性质；2）用分布函数计算某些事件的概率，特别是）用分布函数计算某些事件的概率，特别是()()0-=aFaF aXP=