算流体力学中科院力学所第讲双曲型方程组.ppt

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1、算流体力学中科院力学所第讲双曲型方程组 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第第2 讲讲 双曲型方程组及其间断解双曲型方程组及其间断解2.4 双曲型方程及其数学性质双曲型方程及其数学性质 考虑方程组：考虑方程组：令：令：1.双曲方程边界条件的提法双曲方程边界条件的提法如果矩阵如果矩阵A 能通过相似变换对角化能通过相似变换对角化双曲型双曲型Copyright by Li Xinliang21)一阶常系数偏微方程组一阶常系数偏微方程组如果矩阵如果矩阵A 可以

2、被对角化：可以被对角化：令：有即：m个方程完全个方程完全解耦，解耦，可独立求解可独立求解有有m 条特征线：条特征线：m个特征相容关系式：个特征相容关系式：如果矩阵如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型双曲型的的Copyright by Li Xinliang3双曲方程边界条件提法双曲方程边界条件提法变换成为了变换成为了彼此独立彼此独立的的n个单波方程个单波方程方法：方法：独立独立给定给定j个方程的边界条件个方程的边界条件 如果如果 l lj0,则则在在左左端端给给定定vj的的边边界条件界条件 如果如果 l lj 难点难点:间断间断 20世纪世纪 7

3、0年代年代(人工粘性，人工粘性，Steger-Warming,Roe)80 年代年代TVD,NND 90年代年代 ENO,WENO,AUSM,GVC 21世纪世纪 WENO,AUSM+，DG b)精确解：利用空气动力学精确解：利用空气动力学 （积分关系式）（积分关系式）激波：激波：R-H 关系式关系式膨胀波：膨胀波：特征相容关系（特征相容关系（Riemann不变量）不变量）接触间断：接触间断：随流体传播，仅密度突变随流体传播，仅密度突变 间断条件：质量、动量、能量守恒初始值不满足间断关系，会分解成三个波独立传播初始值不满足间断关系，会分解成三个波独立传播Copyright by Li Xinl

4、iang18膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波xtSod 激波管起动后气流演化过程示意图激波管起动后气流演化过程示意图膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波示意图一般情况：五种可能一般情况：五种可能xt激波激波 接触间断接触间断 激波激波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波激波激波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波（1）（2）（3）（4）（5）分析分析Copyright by Li Xinliang19动画演示：动画演示：密度的演化密度的演化 2.求解方法求解方法 针对每种情况分别考虑；针对每种情况分别考虑；利用

5、积分关系，将微分方程化成代数方程计算利用积分关系，将微分方程化成代数方程计算xt激波激波 接触间断接触间断 激波激波Zone:1 3 4 2积分关系式：积分关系式：1-3 两区两区2-4 两区3-4 两区8个方程，个方程，8个未知数。可解！个未知数。可解！其中：1)对于情况（对于情况（1）Copyright by Li Xinliang20Z1,Z2:以向右运动为正以向右运动为正1-3 两区两区 积分关系式积分关系式同样，由同样，由2-4 两区关系式，可解出两区关系式，可解出其中：具体求解方法具体求解方法 Copyright by Li Xinliang21激波激波 接触间断接触间断 激波激波

6、Zone:1 3 4 23个方程，个方程，4个未知数个未知数将压力设为已知，解出速度将压力设为已知，解出速度x（1）（2）（3）（4）利用（利用（3）(4)两式，有两式，有1个方程、1个未知数 ，可解（例如Netwon迭代法）思路：消元法思路：消元法 利用激波关系式，解出速利用激波关系式，解出速度对压力的依赖关系度对压力的依赖关系代入（代入（3）解出）解出再代入原式解出解出解出OK膨胀波内部物理量的计算膨胀波内部物理量的计算波尾原则：原则：先计算（先计算（4）（5）区区,再计算稀疏波内部再计算稀疏波内部Copyright by Li Xinliang222)对于情况对于情况2 Sod 激波管问

7、题属于该情况激波管问题属于该情况膨胀波区膨胀波区 接触间断接触间断 激波激波（1）（2）（3）（4）（5）未知数7个：方程：方程：2-5 两区关系式：两区关系式：4-5两区关系式两区关系式补充一个：补充一个：1-4两区关系（两区关系（Riemann不变量）不变量）：xt波头（1）（2）（3）(4)(5)x=07 个方程，个方程，7个未知数，可解个未知数，可解！具体解法与前面类似具体解法与前面类似再补充一个：再补充一个：膨胀波内等熵膨胀波内等熵仍然是消元法，利用仍然是消元法，利用1-4区关系区关系给出速度对压力的依赖关系给出速度对压力的依赖关系?为什么未知数比情况1少1个？Copyright b

8、y Li Xinliang23xt波头（1）（2）（3）(4)(5)x=0 x（1）（2）（4）（5）激波、膨胀波前后速度激波、膨胀波前后速度-压力的依赖关压力的依赖关系可写成统一的形式：系可写成统一的形式：左波左波（激波或膨胀波）：（激波或膨胀波）：右波（激波或膨胀波）右波（激波或膨胀波）（表示（表示（4）（）（5）区的速度和压力）区的速度和压力）其中：其中：激波稀疏波得到方程得到方程：（8）1 个方程，个方程，1个未知数，可解个未知数，可解求解求解(8)得到得到4,5两区的两区的压力压力然后，解出速度和密度然后，解出速度和密度膨胀波内部物理量的计算膨胀波内部物理量的计算xtxt波头波尾处理

9、方法：处理方法：1）计算膨胀波的范围计算膨胀波的范围 波头传播速度波头传播速度 波尾传播速度波尾传播速度（1）（2）（3）(4)(5)2）在膨胀波区内，利用特征相容关系计算）在膨胀波区内，利用特征相容关系计算 利用简单波的特性，简化计算利用简单波的特性，简化计算简单波简单波x=0特征线由特征线由x=0发出发出再利用另一条特征线的信息：再利用另一条特征线的信息：解出再利用等熵关系，计算Copyright by Li Xinliang24膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波Copyright by Li Xinliang25求解步骤求解步骤 针对情况针对情况1，2x（1）（2）（4）（5）xt

10、（1）（2）（3）(4)(5)x=0step1.求解方程求解方程(8)，解出解出 4，5区的压力区的压力 单未知数代数方程；数值方法求解单未知数代数方程；数值方法求解其中：step 2.求出求出4，5区的速度、密度、激波移动速度区的速度、密度、激波移动速度 step 3.计算出稀疏波区的量计算出稀疏波区的量 针对情况1，求解完成；对于情况2 继续step 3其中各区的范围如下（以情况2 讨论）：1 区：3 区：4 区：5 区：2 区：以上步骤完全适用于以上步骤完全适用于 情况情况3，4，5 （因为（因为8式同时适用于激式同时适用于激波和稀疏波）！波和稀疏波）！Riemann 问题五种可能情况问

11、题五种可能情况xt激波激波 接触间断接触间断 激波激波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波激波激波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波（1）（2）（3）（4）（5）如何区分这如何区分这5种情况？种情况？Copyright by Li Xinliang26假设准则如下：情况1情况3情况4利用函数 （由 8式定义）函数性质很好函数性质很好 单调连续单调连续情况5 思考题?为什么没有出现情况 2 情况5情况4情况3情况1Riemann 求解总步骤：1）根据上述判决区分情况 2）按照上一页的步骤求解 真空区真空区Copyright

12、 by Li Xinliang27Riemann问题的具体计算步骤问题的具体计算步骤1.判断可能会出现的情况（五种情形之一）判断可能会出现的情况（五种情形之一）a.定义函数定义函数 b.进行判断进行判断情况5情况4情况3情况1情况5情况4情况2情况1单调增函数，性质很好计算出计算出 ，根据根据 的大小进行的大小进行判断，具体见下图判断，具体见下图：Copyright by Li Xinliang282.求解求解中心区中心区的压力和速度的压力和速度单未知数的代数方程，迭代求解（例如单未知数的代数方程，迭代求解（例如Newton法，法，F(p)性质好，求解不困难）性质好，求解不困难）3.确定确定中

13、心区中心区接触间断两侧的密度接触间断两侧的密度 以及左、右波传播的速度以及左、右波传播的速度 a.左波为激波的情况（情况左波为激波的情况（情况1,3）b.左波为稀疏波的情况左波为稀疏波的情况（情况（情况2，4，5）中中心心区区接接触触间间断断左左侧侧的的物物理理量量膨胀波的波头及波尾速度膨胀波的波头及波尾速度激波的传播速度激波的传播速度对于情况（对于情况（5），波尾速度为：），波尾速度为：中心区为真空，音中心区为真空，音速速 无定义，改由无定义，改由该式计算该式计算Copyright by Li Xinliang29c.右波为激波的情况（情况右波为激波的情况（情况1，2）中中心心区区接接触触间

14、间断断右右侧侧的的物物理理量量 b.右波为稀疏波的情况右波为稀疏波的情况（情况（情况2，4，5）4.计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）a.左稀疏波左稀疏波 b.右稀疏波右稀疏波情况2，4情况5：Copyright by Li Xinliang30思考题：思考题：上述求解方法要求间断两侧流场分布为常数，如果初上述求解方法要求间断两侧流场分布为常数，如果初始时刻流场分布是始时刻流场分布是x的函数，怎样利用该理论解计算的函数，怎样利用该理论解计算？提示：提示：把曲线离散化，看成折线把曲线离散化，看成折线作业：作业：如下如下Sod 激波管问题激波管问题:求出理论解，求出理论解，并分别画出并分别画出t=0.14时刻时刻 的分布曲线。的分布曲线。Copyright by Li Xinliang31知识点，知识点，重要练习，熟练掌握！重要练习，熟练掌握！