电磁场与电磁波第5章OK.ppt

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1、第第5 5章章 静态场的解静态场的解 静态场是指场量不随时间变化的场。静态场包括：静电静态场是指场量不随时间变化的场。静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。分析场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。分析静态场，必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发，静态场，必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发，导出静态场中的麦克斯韦方程组，即描述静态场特性的基本导出静态场中的麦克斯韦方程组，即描述静态场特性的基本方程。再根据它们的特性，联合物态方程推导出位函数的泊方程。再根据它们的特性，联合物态方程推导出位函数的泊松方程和拉普拉斯方程。松方程和拉普拉斯方程。最

2、后，静态场问题可归结为求泊松方程和拉普拉斯方程最后，静态场问题可归结为求泊松方程和拉普拉斯方程解的问题。通常求解这两个方程的方法有：镜像法、分离变解的问题。通常求解这两个方程的方法有：镜像法、分离变量法和复变函数法，它们属于解析法，而在近似计算中常用量法和复变函数法，它们属于解析法，而在近似计算中常用有限差分法。有限差分法。1.1.静电场静电场、恒定电场恒定电场 、恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 4.4.镜像法镜像法 、分离变量法、分离变量法 、格林函数法、格林函数法 、有限差分法有限差分法 重点重点：3.3.求解静态场位函数方程的方法所依据的理论：对偶原理、叠加原理、唯一性定理 2.2

3、.静态场的位函数方程静态场的位函数方程 5.1 5.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 5.1.1 5.1.1 静态场中的麦克斯韦方程组静态场中的麦克斯韦方程组 对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时间而变化，即与时间间而变化，即与时间t t无关。因此无关。因此 ，静态场的麦克斯韦方，静态场的麦克斯韦方程组为：程组为：电流连续性方程为：电流连续性方程为：由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产态场的电场和磁场是彼此独立

4、存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程。和恒定磁场的基本方程。1 1、静电场的基本方程静电场的基本方程 静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为 上式表明：静电场中的旋度为上式表明：静电场中的旋度为0 0，即静电场中的电场不可，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。另外：电介质的物态方程为另外：电介质的物态方程为 静电场

5、是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即即 2 2、恒定电场的基本方程、恒定电场的基本方程 载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。源内部的电场也是恒定的。若一闭合路径经过电源，则：若一闭合路径经过电源，则：即电场强度即电场强度 的线积分等于电

6、源的电动势的线积分等于电源的电动势 若闭合路径不经过电源，则：若闭合路径不经过电源，则：这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为 从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也可用一个标量函数来描述。可用一个标量函数来描述。另外：另外：导体中的物态方程为导体中的物态方程为 3 3、恒定磁场的基本方程、恒定磁场的基本方程 这是恒定磁场的基本方程。这是恒定磁场的基本方程。从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，电

7、流线是闭合的。涡场的源，电流线是闭合的。另外：另外：磁介质中的物态方程为磁介质中的物态方程为 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为中的传导电流为I I，电流密度为，电流密度为 ,则有则有 静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数 的梯度来表示它的梯度来表示它:5.1.2 5.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 1 1、静电场的位函数分布、静电场的位函数分布 即即式中

8、的标量函数式中的标量函数 称为称为电位函数。电位函数。所以有所以有对于均匀、线性、各向同性的介质，对于均匀、线性、各向同性的介质，为常数为常数,即即静电场静电场的位函数的位函数 满足满足的方程。的方程。上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源源”的区的区域内，静电场的电位函数域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式所满足的方程，我们将这种形式的方程称为的方程称为 泊松方程。泊松方程。如果场中某处有如果场中某处有=0=0，即在无源区域，则上式变为，即在无源区域，则上式变为我们将这种形式的方程称为我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它拉普拉

9、斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。应满足的方程。拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在不同的坐标系中有不同的表达形式：在不同的坐标系中有不同的表达形式：在直角坐标系中在直角坐标系中 在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中 在球坐标系中在球坐标系中 2 2、恒定电场的位函数分布、恒定电场的位函数分布 根据电流连续性方程根据电流连续性方程 及物态方程及物态方程 并设电导率并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有为一常数（对应于均匀导电媒质），则有 则有则有在无源区域，在无源区域，恒定电场是一个位场，即有恒定电场是一个位场，即有 这时同样可以引入一个标量位

10、函数这时同样可以引入一个标量位函数 使得使得 这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。方程。3 3、恒定磁场的位函数分布、恒定磁场的位函数分布 人为规定人为规定 (1)磁场的矢量位函磁场的矢量位函数数这个规定被称为库仑规范这个规定被称为库仑规范 于是有于是有此式即为矢量磁位的泊松方程。此式即为矢量磁位的泊松方程。恒定磁场是有旋场，即恒定磁场是有旋场，即 ,但它却是无散场，但它却是无散场，即即 引入一个矢量磁位引入一个矢量磁位 后，由于后，由于 ，可得，可得 此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。在没有电流的

11、区域在没有电流的区域 ,所以有所以有 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 (2)磁场的标量位函磁场的标量位函数数这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数即标量磁位函数 注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。即令即令 以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用位函数

12、表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在无源区域均满足拉普拉斯方程。无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，和拉普拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能完全用数学方法求解。针对具体的电磁问题，不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解方程的理论依据。的基本原理，这些原理将成

13、为以后求解方程的理论依据。5.2 5.2 对偶原理对偶原理 如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。于同等地位的量称为对偶量。有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果，有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果，

14、直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。1 1、=0=0区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶 静电场静电场恒定电场恒定电场对偶量对偶量 2 2、=0=0区域的静电场与区域的静电场与 区域的恒定磁场的对偶区域的恒定磁场的对偶 静电场静电场恒定磁场恒定磁场对偶量对偶量 5.3 5.3 叠加原理和唯一性定理叠加原理和唯一性定理 在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒定电场、还是恒定磁场，都需要根据实际工程中给定的边定电场、还是恒定磁场，都需

15、要根据实际工程中给定的边界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电位函数或矢量磁位函数。位函数或矢量磁位函数。5.3.1 5.3.1 边界条件的分类边界条件的分类 给定位函数的边界条件通常有三类：给定位函数的边界条件通常有三类：第一类边界条件第一类边界条件 直接给定整个场域边界上的位直接给定整个场域边界上的位函数值函数值 为边界点为边界点S S的位函数，这类问题称为第一类边界条件。的位函数，这类问题称为第一类边界条件。因为因为 故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的法向分量，

16、这类问题称为第二类边界条件。法向分量，这类问题称为第二类边界条件。第二类边界条件第二类边界条件 只给定待求位函数在边界上的只给定待求位函数在边界上的法向导数值法向导数值 第三类边界条件第三类边界条件 给定边界上的位函数及其法向给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合导数的线性组合 这是混合边界条件，称为第三类边界条件。这是混合边界条件，称为第三类边界条件。5.3.2 5.3.2 叠加原理叠加原理 若若 和和 分别满足拉普拉斯方程，即分别满足拉普拉斯方程，即 和和 ,则则 和和 的线性组合：的线性组合：必然也满足拉普拉斯方程：必然也满足拉普拉斯方程：式中式中a a、b b均为常系数。均为常系数。

17、5.3.3 5.3.3 唯一性定理唯一性定理 唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。斯方程的解是唯一的。5.4 5.4 镜象法镜象法 镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜象电荷，然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产称为镜象电荷，然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产生的合成电场

18、，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场，这种方法称为镜象法。合成电场，这种方法称为镜象法。一般可以考虑采用标量位函数来计算这个由电荷所产一般可以考虑采用标量位函数来计算这个由电荷所产生的合成电场，这样可以避免复杂的矢量运算。当然，这生的合成电场，这样可以避免复杂的矢量运算。当然，这就需要假设镜象电荷与源电荷共同产生了一个总的电位函就需要假设镜象电荷与源电荷共同产生了一个总的电位函数，它既能满足给定的具体边界条件，又在一定区域内满数，它既能满足给定的具体边界条件，又在一定区域内满足拉普拉斯方程。那么，根据唯一性定理，所假设的位函足拉普拉斯

19、方程。那么，根据唯一性定理，所假设的位函数就是该区域上的唯一的电位函数。因此，用镜象法求解数就是该区域上的唯一的电位函数。因此，用镜象法求解静电场问题的关键是寻找合适的镜象电荷，然后再引出位静电场问题的关键是寻找合适的镜象电荷，然后再引出位函数并求解，这是分析很多电磁问题的一种有效方法。函数并求解，这是分析很多电磁问题的一种有效方法。5.4.1 5.4.1 点电荷与无限大的平面导体的合成场计算点电荷与无限大的平面导体的合成场计算 如图取直角坐标系，使如图取直角坐标系，使z=0z=0的平面与导体平面的平面与导体平面重合，并将重合，并将+q+q电荷放在电荷放在z z轴上。这时整个电场是静轴上。这时

20、整个电场是静电场，是由电荷电场，是由电荷q q和导体平面上的感应电荷产生的。和导体平面上的感应电荷产生的。点电荷点电荷q q与导体平面之间的电位必须满足下列与导体平面之间的电位必须满足下列条件：条件：1 1、在、在z=0z=0处，处，=0=0，因为无限大的导体平面电位，因为无限大的导体平面电位为零；为零；2 2、在、在z0z0的空间里，除了点电荷所在的点外，处的空间里，除了点电荷所在的点外，处处应该满足：处应该满足：用唯一性定理可以验证，这个假设的电位函数就是我们所要用唯一性定理可以验证，这个假设的电位函数就是我们所要求的合成场求的合成场 。如果设想把无限大导电平板撤去，整个空间充满同一种介如

21、果设想把无限大导电平板撤去，整个空间充满同一种介质质，并在点电荷，并在点电荷q的对称位置上，放一个点电荷的对称位置上，放一个点电荷-q来代替来代替导电平板上的感应电荷。那么在导电平板上的感应电荷。那么在z0空间里任一点空间里任一点p(x,y,z)的的电位就应等于源电荷电位就应等于源电荷q与镜象电荷与镜象电荷-q所产生的电位之和。所产生的电位之和。这时，这时，p点的电位为点的电位为1、若将源点电荷换成线电荷，让线电荷的线与平面平行，、若将源点电荷换成线电荷，让线电荷的线与平面平行，由于线电荷可以看成是由无限多个连续分布的点电荷组由于线电荷可以看成是由无限多个连续分布的点电荷组成的，用镜象法同样可

22、计算出在成的，用镜象法同样可计算出在z0的空间任一点的电位。的空间任一点的电位。推广推广2、两相交半无限大导体平面，在角区内的点电荷、线电荷、两相交半无限大导体平面，在角区内的点电荷、线电荷的场也可用镜象法求解的场也可用镜象法求解。3、无限长通电直导线在一无限大磁介质平面上方在空间中、无限长通电直导线在一无限大磁介质平面上方在空间中一点一点P的磁场由电流和镜象电流共同产生的磁场由电流和镜象电流共同产生。4、当天线架设得比较低时，通常把地面假设为无限大的理、当天线架设得比较低时，通常把地面假设为无限大的理想导电平面，地面的影响将归结为镜象天线所起的作用想导电平面，地面的影响将归结为镜象天线所起的

23、作用。5.4.2 5.4.2 电介质分界面的镜象电荷电介质分界面的镜象电荷 如图，如果分界面是介电常数为如图，如果分界面是介电常数为11和和22的的两种无限大介质的边界平面，在介质两种无限大介质的边界平面，在介质1 1中距分界面中距分界面为为h h处置有一点电荷处置有一点电荷q q，则求解介质空间中任一点则求解介质空间中任一点的电场电位分布可以用镜像法求解。的电场电位分布可以用镜像法求解。设在介质设在介质11和和22内的电位函数分别为内的电位函数分别为11和和22。在介质在介质1 1中，除中，除q q点处以外点处以外,均有均有 11是点电荷是点电荷q q与介质分界面上感应束缚电荷共同产生的电位

24、函数。与介质分界面上感应束缚电荷共同产生的电位函数。介质分界面上的感应束缚电荷在介质介质分界面上的感应束缚电荷在介质1 1中产生的电场可以用处于中产生的电场可以用处于z0z0的区的区域内的一个镜像电荷域内的一个镜像电荷 来等效。在介质来等效。在介质2 2中的电场是源电荷通过介质分中的电场是源电荷通过介质分界面上的感应束缚电荷在下半空间作用的结果界面上的感应束缚电荷在下半空间作用的结果,在上半空间用一镜象电在上半空间用一镜象电荷代替界面上的感应束缚面电荷在下半空间产生的场，则荷代替界面上的感应束缚面电荷在下半空间产生的场，则22为：为：在介质分界面上，场存在的边界条件是：在介质分界面上，场存在的

25、边界条件是：则则 为了求介质为了求介质1 1中的场，将整个空间充满中的场，将整个空间充满1 1介质，设在源电介质，设在源电荷荷q q对称位置上的镜像电荷为对称位置上的镜像电荷为 即即 在介质在介质2 2中，场是由中，场是由 产生的。将整个空间看成是充满介产生的。将整个空间看成是充满介质质2 2，则介质，则介质2 2中的场由在源点电荷上的象电荷中的场由在源点电荷上的象电荷 产生产生 在介质在介质1 1中，界面上中，界面上p p点的电场强度的切向分量点的电场强度的切向分量 在介质在介质2 2中，电场是由中，电场是由 产生的。电场强度切向分量为产生的。电场强度切向分量为 根据边界根据边界条件可得条件

26、可得 注意：注意：1 1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域中时将会改、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域中时将会改 变所放置区域的电位分布，所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯变所放置区域的电位分布，所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯 方程或泊松方程。方程或泊松方程。2 2、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。3 3、所得电位函数必须满足原来的边界条件。、所得电位函数必须满足原来的边界条件。4 4、可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场计算问题。、可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场计算

27、问题。静态场的镜像法求解n镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜象电荷，效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜象电荷，然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产生的合成电场，而得然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场。到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场。n镜像法求解注意：镜像法求解注意：q1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域中时将会改变所放置区域的

28、电位分布，所得出的电位将不满中时将会改变所放置区域的电位分布，所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。q2、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。q3、所得电位函数必须满足原来的边界条件。、所得电位函数必须满足原来的边界条件。q4、可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场、可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场计算问题。计算问题。5.4.3 5.4.3 球形边界问题球形边界问题 1 1、如图（、如图（page107,page107,图图5.95.9），接地导体球，半径为），接地导

29、体球，半径为a a，在球外与球心相，在球外与球心相 距为距为d d的的p p点处有一点电荷点处有一点电荷q q，点电荷，点电荷q q将在导体球表面产生感应负电将在导体球表面产生感应负电 荷，球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷荷，球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷q q产生的电位之产生的电位之 和。和。设想把导体球移开，用一个镜象电荷代替球面上的感应负电荷，为了设想把导体球移开，用一个镜象电荷代替球面上的感应负电荷，为了不改变球外的电荷分布，镜象电荷必须放在导体球内。又由于球对称不改变球外的电荷分布，镜象电荷必须放在导体球内。又由于球对称性，这个镜象电荷必然在点电荷性，这个镜象电

30、荷必然在点电荷q q与球心所在的同一条直线上。又由与球心所在的同一条直线上。又由于靠近点电荷于靠近点电荷q q的球面部分，感应电荷密度大些，所以镜象电荷必定的球面部分，感应电荷密度大些，所以镜象电荷必定在在OMOM线段上，设在线段上，设在b b点点,OM=b,OM=b，则位函数表达式为，则位函数表达式为 n若考虑球面一点的电位，因为是接地，则:n n现考虑边界问题目的是要由已知d,a,q确定的大小。n在M,N两个特殊点考虑边界：n在M点：n n同理在N点：n n 可求出：可求出：可知镜象电荷与源电荷总是极性相反的，确定了镜像电荷的位置和电量可知镜象电荷与源电荷总是极性相反的，确定了镜像电荷的位

31、置和电量大小，则位函数表达式就确定了。采用镜象法后，球面外区域的电位函大小，则位函数表达式就确定了。采用镜象法后，球面外区域的电位函数相对容易计算。数相对容易计算。2 2、如图（、如图（page108,page108,图图5.105.10），若导体球不接地，导体球上的静电荷为），若导体球不接地，导体球上的静电荷为0 0，并且球面电位不为并且球面电位不为0 0，但仍保持为等位面，为了满足导体球上静电荷为，但仍保持为等位面，为了满足导体球上静电荷为0 0的的条件，还需加入另一镜象电荷条件，还需加入另一镜象电荷 ,使使即：即：球面电位为：球面电位为：导体球外各点的电位由导体球外各点的电位由q,q,和

32、和 共同产生：共同产生：5.4.4 5.4.4 圆柱形边界问题圆柱形边界问题 一无限长带电线，电荷密度为一无限长带电线，电荷密度为 ,与半径为与半径为a a的无限长导电圆柱的的无限长导电圆柱的轴线平行，线与圆柱轴线的距离为轴线平行，线与圆柱轴线的距离为d d，无限长导电圆柱等效为接地。，无限长导电圆柱等效为接地。利用球形边界的分析方法：导电圆柱体上的镜象线电荷为利用球形边界的分析方法：导电圆柱体上的镜象线电荷为:镜象线电荷与圆柱轴线的偏心距离为镜象线电荷与圆柱轴线的偏心距离为:这样，用镜象线电荷取代圆柱形导电体，就把问题简化为了求两条平这样，用镜象线电荷取代圆柱形导电体，就把问题简化为了求两条

33、平行等值异号线电荷的电位和电场。行等值异号线电荷的电位和电场。5.5 5.5 分离变量法分离变量法 分离变量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，该方法把分离变量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，该方法把一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后，再一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后，再进行计算。与完全的数学求解不同，针对具体物理问题使进行计算。与完全的数学求解不同，针对具体物理问题使用该方法求解时，将要结合一些物理概念进行分析求解。用该方法求解时，将要结合一些物理概念进行分析求解。通过分离变量，它将函数的偏微分方程分解为带通过分离变量，它将函数的偏微分方程分解为带“分分离离”常数的几

34、个单变量的常微分方程。不同坐标系分解出常数的几个单变量的常微分方程。不同坐标系分解出来的单变量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。来的单变量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐标系的选择应尽量使场域边界面平行于坐标面。例如：坐标系的选择应尽量使场域边界面平行于坐标面。例如：矩形域应选直角坐标系；圆柱形域应选圆柱坐标系；球形矩形域应选直角坐标系；圆柱形域应选圆柱坐标系；球形域应选球坐标系。域应选球坐标系。5.5.1 5.5.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 如果所讨论的场域的边界面是平面，而且这些平面相互平行或相互如果所讨论的场域的边界面是平面，而且这些平面相互

35、平行或相互垂直时，应选择直角坐标系。在直角坐标系中，位函数垂直时，应选择直角坐标系。在直角坐标系中，位函数的拉普拉斯方的拉普拉斯方程为程为 令令为三个单变量函数的乘积，即为三个单变量函数的乘积，即代入上式，并在两端同除以代入上式，并在两端同除以，可得，可得上式的三项中，每一项都是一个独立变量的函数，而三项之和若要等于上式的三项中，每一项都是一个独立变量的函数，而三项之和若要等于0 0，则只有一个可能，就是每一项分别等于一个常数，而这三个常数之和为则只有一个可能，就是每一项分别等于一个常数，而这三个常数之和为0 0。并且并且 即令即令 据此，我们可将拉普拉斯方程分解成三个带分离常数的常微分方程。

36、显据此，我们可将拉普拉斯方程分解成三个带分离常数的常微分方程。显然，三个分离常数不可能全为实数，也不能全为虚数。至于将三个常数然，三个分离常数不可能全为实数，也不能全为虚数。至于将三个常数都假设为是某一个常数平方的负值，是因为要使方程的解成为一些特殊都假设为是某一个常数平方的负值，是因为要使方程的解成为一些特殊函数，以便于利用边界条件来确定常数。函数，以便于利用边界条件来确定常数。对于上面的式子，其解的形式如下：对于上面的式子，其解的形式如下：1 1、当、当 ，即，即 为实数时，为实数时，其解为其解为 2 2、当、当 ，即，即 为实数时，为实数时，其解为其解为 3 3、当、当 ，其解为其解为

37、根据根据 取值的不同组合情况，其解取值的不同组合情况，其解 的形式也有不同的组合，需要根据具体边界条件来确定解的组合形式的形式也有不同的组合，需要根据具体边界条件来确定解的组合形式和待定系数。和待定系数。例题例题l一长直金属槽的长度方向上平行轴放置，横截面如图所示，其侧壁与底面的电位均为，而顶盖电位(x,b)=(x)=100sin(x),求槽内的电位分布?解：由于槽内场域中没有电荷分布，所以电位函数应满足拉普拉斯方程。又由于场域边界为矩形，应选用直角坐标系。根据与z无关的条件，该问题满足二维拉普拉斯方程。在直角坐标下，位函数的边值为:(0 xa,0yb)x=0,xyb x=a,xyb y=0,

38、0 xa 0 x0z0）的格林函数，就是求位于上半空间）的格林函数，就是求位于上半空间 r r处处的单位点电荷以的单位点电荷以z=0z=0平面为电位零点时，在上半空间任意一点平面为电位零点时，在上半空间任意一点r r处的电处的电位。这个电位可以用平面镜像法求得，因而上半空间的格林函数为位。这个电位可以用平面镜像法求得，因而上半空间的格林函数为 式中式中3 3、球内、外空间的格林函数、球内、外空间的格林函数 我们可以由球面镜像法，求出球心在坐标原点、半径为我们可以由球面镜像法，求出球心在坐标原点、半径为a a的球外的球外空间的格林函数空间的格林函数 式中式中5.7 5.7 有限差分法有限差分法

39、有限差分法是一种近似数值计算法，在一些工程技术计算中被有限差分法是一种近似数值计算法，在一些工程技术计算中被广泛使用。这种方法是在待求场域内选取有限个离散点，在各个离广泛使用。这种方法是在待求场域内选取有限个离散点，在各个离散点上以差分方程近似代替各点上的微分方程，从而把以连续变量散点上以差分方程近似代替各点上的微分方程，从而把以连续变量形式表示的位函数方程，转化为以离散点位函数值表示的方程组。形式表示的位函数方程，转化为以离散点位函数值表示的方程组。结合具体边界条件，求解差分方程组，即得到所选的各个离散点上结合具体边界条件，求解差分方程组，即得到所选的各个离散点上的位函数值。的位函数值。有限

40、差分法不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题；不仅有限差分法不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题；不仅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不仅能求解任意静态场能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不仅能求解任意静态场的问题，也能求解时变场的问题；而且这种方法不受边界形状的限的问题，也能求解时变场的问题；而且这种方法不受边界形状的限制。制。n 函数函数f(xf(x)的一阶差分定义为的一阶差分定义为f(xf(x)=)=f(x+h)-f(xf(x+h)-f(x)式中式中h h是自变量是自变量x x的增量，即的增量，即xx=h,=h,将下面的式子称为将下面的式子称为f(xf(x)的一阶的一阶差商：

41、差商：当当h h很小时，差分很小时，差分ff也很小，因此在近似计算中可用一阶差商近也很小，因此在近似计算中可用一阶差商近似等于一阶微分，即似等于一阶微分，即 二阶二阶差商为差商为同样可以定义二阶差分为同样可以定义二阶差分为 2 2f(x)=f(x)=f(x+hf(x+h)-)-f(xf(x)令二阶差商近似等于二阶微商令二阶差商近似等于二阶微商 差分方程就是在各离散点上，用差分方程就是在各离散点上，用 和和 近似替代偏近似替代偏微分方程中的微分方程中的 和和 ，从而将拉普拉斯方程或泊，从而将拉普拉斯方程或泊松方程这样的偏微分方程化为一组代数方程，即差分方程。松方程这样的偏微分方程化为一组代数方程，即差分方程。(见见Page 118 Page 118 例例5.2 5.2 和例和例5.3)5.3)例题