电磁场与电磁波(2).ppt

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1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波代代 秋秋 芳芳150 1301 9319 郭辉萍郭辉萍 刘学观刘学观 编编电磁场与电磁波电磁场与电磁波第二版第二版 谢处方谢处方 饶克谨饶克谨 编编电磁场与电磁波电磁场与电磁波 焦其详焦其详 王道东王道东 编编电磁场理论电磁场理论 毕德显毕德显 编编电磁场理论电磁场理论 杨儒贵杨儒贵 编编电磁场与波电磁场与波参考教材参考教材应用教材应用教材王家礼王家礼 朱满座朱满座 路宏敏路宏敏 编编电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三版第三版 教 材参考网站参考网站 http:/ http:/ 600年左右2.1745年，荷兰莱顿大学教授马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，

2、供电学实验使用，为电学研究打下了基础。3.1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，发明了避雷针，从此拉开了人们研究电学的序幕。电磁学发展史4.1638年，在我国的某些建筑学的书籍中就有关于避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。5.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。6.17711773年间，英国科学家卡文迪什进行了大量的静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分

3、布在导体表面上。电磁学发展史7.1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。8.1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起。9.1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯特的发现上升为理论。10.1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。11.1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律。并设计了世界上第一台感应发电机。电磁学发展史12、1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。13、1848年，德国科学家基尔霍夫提出

4、了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基础。14、电磁学理论的完成者英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容。麦克斯韦从理论上预言了电磁波的存在。15.1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。16.1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。17.1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。18.1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了电磁波。19.随之，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利用电磁波通信获得成功，开创了人类

5、无线通信的新时代。本课程的应用本课程的应用静电场：利用静电场对带电粒子具有力的作用。静电场：利用静电场对带电粒子具有力的作用。如：如：静电复印、静电除尘以及静电喷漆静电复印、静电除尘以及静电喷漆静磁场：利用磁场力的作用。静磁场：利用磁场力的作用。如：电磁铁、磁悬浮如：电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等轴承以及磁悬浮列车等时变电磁场：利用电磁波作为媒介传输信息。时变电磁场：利用电磁波作为媒介传输信息。如：如：无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术信息技

6、术应用的三个主要方面应用的三个主要方面应用的各个领域应用的各个领域电磁理论电子对抗电子对抗无线通信无线通信广播、电视广播、电视雷达、导航、遥感雷达、导航、遥感工业无损探伤工业无损探伤射电天文射电天文强电（变压器、电机）等强电（变压器、电机）等电磁兼容等电磁兼容等电磁医疗仪器、电磁医疗电磁医疗仪器、电磁医疗探地雷达探地雷达磁悬浮技术磁悬浮技术微波烘干、杀菌微波烘干、杀菌静态场应用静态场应用时变场应用时变场应用阴极射线示波器阴极射线示波器喷墨打印机喷墨打印机磁分离器磁分离器磁悬浮列车磁悬浮列车矿物的分选矿物的分选.变压器变压器蓝牙技术蓝牙技术卫星通信卫星通信微波炉微波炉/电磁炉电磁炉隐形飞机隐形飞

7、机.应用实例应用实例带电粒子偏转：静电场最常见的应用带电粒子偏转：静电场最常见的应用所有带电粒子偏转都是通过两平行板间的电位差实现所有带电粒子偏转都是通过两平行板间的电位差实现原理应用：原理应用：阴极射线示波器阴极射线示波器回旋加速器回旋加速器喷墨打印机喷墨打印机速度选择器等速度选择器等原理：通过控制带电粒子（电子或是质子）的轨迹。原理：通过控制带电粒子（电子或是质子）的轨迹。阴极射线示波器阴极射线示波器http:/ 中国上海磁悬浮列车中国上海磁悬浮列车 卫星通信卫星通信基本原理：基本原理：卫星通信就是地球上（包括地球、水面和卫星通信就是地球上（包括地球、水面和低层大气中）的无线电通信站之间利

8、用人造卫星做中低层大气中）的无线电通信站之间利用人造卫星做中继站而进行的通信。继站而进行的通信。通信地球站：通信地球站：可以是地面站、车载站、机载站可以是地面站、车载站、机载站地球站的天线地球站的天线要始终对准卫星才能利用卫星进行通信，要始终对准卫星才能利用卫星进行通信，所以我们通常使用静止卫星，也即同步卫星。所以我们通常使用静止卫星，也即同步卫星。同步卫星：同步卫星：卫星处在距地面卫星处在距地面35600公里左右时，周期公里左右时，周期T=24小时，时间与地球自转时间一致。小时，时间与地球自转时间一致。卫星通信卫星通信是二战之后发展起来的是二战之后发展起来的一种先进的无线通信技术。一种先进的

9、无线通信技术。我国卫星发展状况我国卫星发展状况1、1970年年4月月24日成功发射日成功发射“东方红一号东方红一号”第一第一颗卫星。颗卫星。2、1984年年4月月 成功发射第一颗同步卫星成功发射第一颗同步卫星“东方红东方红二号二号”。3、1990年年4月月27日成功发射日成功发射“亚州一号亚州一号”通信卫通信卫星。星。电磁炉电磁炉加热原理：加热原理：采用磁场感应电流采用磁场感应电流(涡流涡流)加热，利用电流通加热，利用电流通过线圈产生磁场，当磁场内的磁力线通过金属器皿的过线圈产生磁场，当磁场内的磁力线通过金属器皿的底部时即会产生无数小涡流，使器皿本身自行高速发底部时即会产生无数小涡流，使器皿本

10、身自行高速发热，然后再加热于器皿内的食物。热，然后再加热于器皿内的食物。特点：特点：锅具自行发热，并煮食锅内食物。锅具自行发热，并煮食锅内食物。炉面不发热，当磁场内的磁力线通过非金属物休，不炉面不发热，当磁场内的磁力线通过非金属物休，不会产生涡流，故不会产生热力。炉面和人都是非金属会产生涡流，故不会产生热力。炉面和人都是非金属物体，本身不会发热，因此没有被电磁炉烧伤的危险，物体，本身不会发热，因此没有被电磁炉烧伤的危险，安全可靠。安全可靠。电磁炉的热效率极高，煮食时安全、洁净、无火、无电磁炉的热效率极高，煮食时安全、洁净、无火、无烟、无废气、不怕风吹、不会爆炸或引致气体中毒。烟、无废气、不怕风

11、吹、不会爆炸或引致气体中毒。微波炉微波炉内加热：内加热：微波炉中极性分子接受微波辐射的能量微波炉中极性分子接受微波辐射的能量后，通过分子偶极的每秒数十亿次的高速旋转产后，通过分子偶极的每秒数十亿次的高速旋转产生热效应，这种加热方式称为内加热生热效应，这种加热方式称为内加热外加热：外加热：把普通热传导和热对流的加热过程称为把普通热传导和热对流的加热过程称为外加热。外加热。内加热特点：内加热特点：加热速度快、受热体系温度均匀等加热速度快、受热体系温度均匀等特点。特点。隐形飞机隐形飞机雷达工作原理：雷达工作原理：雷达发出高频电磁波射到物体上。雷达发出高频电磁波射到物体上。物体把这个电磁波向各个方向反

12、射，当然也有一部物体把这个电磁波向各个方向反射，当然也有一部分反射回发射点（雷达），在雷达处再设一个接收分反射回发射点（雷达），在雷达处再设一个接收装置就可接收到回波。根据回波可发现物体。装置就可接收到回波。根据回波可发现物体。隐形飞机原理：隐形飞机原理：使雷达无法探测到。飞机达到隐形使雷达无法探测到。飞机达到隐形效果的关键，在于采用隐形材料和隐形设计，尽量效果的关键，在于采用隐形材料和隐形设计，尽量把雷达波束吸收掉，或者向偏离原雷达的方向反射。把雷达波束吸收掉，或者向偏离原雷达的方向反射。这样飞机就不容易被雷达探测到。这样飞机就不容易被雷达探测到。隐形飞机决不是指飞机将自隐形飞机决不是指飞机

13、将自己的形体隐藏起来，让我们己的形体隐藏起来，让我们看不见它，而是说它可以使看不见它，而是说它可以使雷达雷达“看不到看不到”它。它。F-117AF-117A (第第1 1种可正式作战的隐形飞机种可正式作战的隐形飞机)第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 1.1 场的概念场的概念1.2 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.3 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.4 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.5 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理本章要点本章要点标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度

14、矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.1 1.1 场的概念场的概念本节要点本节要点标量和矢量的概念标量和矢量的概念 标量场和矢量场的概念标量场和矢量场的概念 矢量代数运算矢量代数运算 等值面和矢量线等值面和矢量线1.1 1.1 场的概念场的概念标量：标量：只有大小而没有方向的量。如电压只有大小而没有方向的量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q 等。等。矢量：矢量：具有大小和方向特征的量。如具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强电场强度矢量、磁场强度矢量度矢量、作用力矢量、速度矢量等。、作用力矢量、速度矢量等。常矢：常矢：

15、若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力 变矢：变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如速度若模和方向二者至少一个发生变化，如速度矢量描述：矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量单位矢量、分量表示等多种方式来描述。表示等多种方式来描述。矢性函数：矢性函数：设设t t是数性变量，是数性变量，为变矢，对于某区间为变矢，对于某区间GGa,ba,b 内的每一个数值内的每一个数值t t，都有一确定的矢量都有一确定的矢量 与之对应，则与之对应，则称称 为数性变量为数性变量t t的矢性函数，记为：的矢性函数，记为：物理量：物理量：被赋

16、予物理单位并具有一定物理意义的矢被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压量和标量。如电压U、电荷量、电荷量Q等。等。场：场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。如温度场，电位场等。标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。温度、密度等。矢量场：矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如量唯一地

17、描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。电场、磁场、流速场等。1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念场的属性：场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续有限个点和表面外，其物理量处处连续场的分类场的分类按与时间的关系分：按与时间的关系分：静态场静态场/时变场，各处物理量是时变场，各处物理量是否随时间变化否随时间变化按与方向关系分：按与方向关系分：标量场标量场/矢量场，各处物理量是标矢量场，各处物理量是标量还是矢量量还是矢量 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念矢量代数矢量代数空矢或零矢

18、：空矢或零矢：一个大小为零的矢量一个大小为零的矢量 单位矢量：单位矢量：一个大小为一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿用单位矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。轴分量的方向。如：如：矢量的表示方法矢量的表示方法矢量一般表示：矢量一般表示：，A为矢量为矢量 的大小，的大小，为方向为方向 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念任一矢量可以表示为：任一矢量可以表示为：位置矢量：位置矢量：从原点指向空间任一点从原点指向空间任一点P的矢量的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地

19、被确定。唯一地被确定。直角坐标系中点直角坐标系中点P(x,y,z)的位置矢量表达式为：的位置矢量表达式为：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念P(x,y,z)结论：结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直数学知识补充数学知识补充矢量的代数运算矢量的代数运算求和差求和差作图法：作图法：平行四边形法则平行四边形法则分量法：分量法：求点积求点积（标量积、内积）（标量积、内积）公式：公式：特点：特点：直角坐标系中：直角坐标系中：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念求叉积求叉积（矢量积、外积）（矢量积、外积）结论：结论：若两不为零

20、矢量的叉积为零，则两矢量互相平行若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行公式：公式：其中：其中：右手螺旋法则右手螺旋法则特点：特点：直角坐标系中：直角坐标系中：右手螺右手螺旋法则旋法则 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念数学知识补充数学知识补充矩阵和行列式的计算矩阵和行列式的计算代数余子式：代数余子式：的余子式前添加符号的余子式前添加符号 ，称，称 的代数余子式，记为的代数余子式，记为 ，例：求例：求 中元素中元素 的余子式和代数余子式的余子式和代数余子式余子式：余子式：在在 n 阶行列式阶行列式 中去掉元素中去掉元素 所在所在的行和列，剩下的的行和列，剩下的 n-1 阶行列式

21、称为元素阶行列式称为元素 的余子的余子式。记为式。记为 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念n n阶行列式的计算：阶行列式的计算：等于它的任意一行（列）等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即例：例：求求 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念矩阵的乘法：矩阵的乘法：设设A=(aij)是是ms矩阵，矩阵，B=(bij)是是sn矩矩阵，作阵，作A的第的第i行与行与B的第的第j列的对应元素的乘积之和列的对应元素的乘积之和 ,则矩阵为矩阵则矩阵为矩阵A与与B的乘积的乘积例：例：已知：已知：求求AB解：解：1.1 1.1

22、场的概念场的概念场的概念场的概念方程组的矩阵表示方程组的矩阵表示设矩阵设矩阵可记为可记为Y=AX 则则 X=A-1Y，A-1为为A的逆矩阵，的逆矩阵，要求要求X，只需求只需求A-1，即求，即求A的逆矩阵的逆矩阵 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念逆矩阵的求法逆矩阵的求法其中其中为为A的的伴随矩阵伴随矩阵n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0,且当且当A可逆时，可逆时，有有Aij是是|A|的元素的元素aij的代数余子式的代数余子式注意此矩阵行和注意此矩阵行和列的排列，转置矩阵列的排列，转置矩阵 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念例：例：已知：

23、已知：求求A-1解：解：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念1、计计算算 2、已知已知 求：求：作业作业 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念标量场的等值面和矢量场的矢量线标量场的等值面和矢量场的矢量线场的场的 场图场图 表示表示 研究标量场和矢量场时，用研究标量场和矢量场时，用“场图场图”表示场变量在表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。空间逐点演变的情况具有很大的意义。对标量场对标量场 等值面图表示：等值面图表示：空间内标量值相等的点集合形成的空间内标量值相等的点集合形成的曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：等值线图表

24、示：等值线图表示：等值面在二维空间称为等值线。如等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。等值线方程：等高线等。等值线方程：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念等值面和等值线作用：等值面和等值线作用：帮助了解标量场在空间中的分帮助了解标量场在空间中的分布情况。布情况。等高线作用等高线作用1 1根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度2 2根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度地势的陡度A点高点高300B点高点高300A点比点比B点陡点陡越密就越陡越密就越陡 1.1 1.1 场的概念

25、场的概念场的概念场的概念对矢量场对矢量场矢量线表示：矢量线表示：用一些有向矢量线来形象表示矢量在用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。特点：特点：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同量方向相同矢量线方程（直角坐标系）：矢量线方程（直角坐标系）：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念矢量线的作用矢量线的作用1 1根据矢量线确定矢量场中各点矢量的根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向方向2 2根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的根据各处矢量线的疏密程度，

26、判别出各处矢量的大大小及变化趋势小及变化趋势。A A点受到向下电场力点受到向下电场力B B点受到向下电场力点受到向下电场力A A点比点比B B点受到的力大点受到的力大越密矢量越大越密矢量越大 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念例例1-1 求求数数量量场场=(x+y)2-z 通通过过点点 M(1,0,1)的的等等值值面面方方程。程。解解：点点M的的坐坐标标是是x0=1,y0=0,z0=1，则则该该点点的的数数量量场场值值为为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为其等值面方程为 或或：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念例例1-2 求矢量场求矢量场 的矢量线方程的矢

27、量线方程解：解：矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念1.2 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数(标量标量)Directional Derivative 设设M0是是标标量量场场=(M)中中的的一一个个已已知知点点，从从M0出出发发沿沿某某一一方方向向引引一一条条射射线线l,在在l上上M0的的邻邻近近取取一一点点M，MM0=，若当若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时)的极限存在，称此极限为函数的极限存在，称此极限为函数(

28、M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，方向的方向导数，记为记为 结论：结论：方向导数方向导数 是函数是函数 在点在点 处沿方向处沿方向 对对距离的变化率距离的变化率表明表明M0处函数处函数 沿沿l方向增加，反之减小方向增加，反之减小若函数若函数=(x,y,z)在点在点M0(x0,y0,z0)处可微，处可微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数必定存在，且为方向的方向导数必定存在，且为1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数证明：证明：M点的坐标为点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函，由于函数数在在M0处

29、可微，故处可微，故 两边除以两边除以，可得可得 当当趋于零时对上式取极限，可得趋于零时对上式取极限，可得 1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为而而 数量场在数量场在 l 方向的方向导数为方向的方向导数为 点点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 例例1-3 求数量场求数量场 在点在点M(1,1,2)处沿处沿 方向的方向导数方向的方向导数1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数1.2.2 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度(矢量矢量)gradient)gradient在直角坐标系中在直角坐标系中梯梯度度的的定定义义：在在标标量量场场 中中的的一

30、一点点M处处，其其方方向向为为函函数数 在在M点点处处变变化化率率最最大大的的方方向向，其其模模又又恰恰好好等等于于最最大大变变化化率率的的矢矢量量 ，称称为为标标量量场场 在在M点点处处的的梯度，用梯度，用 表示。表示。方向：方向：函数函数 在在M点处变化率最大的方向点处变化率最大的方向大小：大小：最大变化率的矢量的模最大变化率的矢量的模在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 已知：已知：证明：证明：标量场标量场 在任意方向在任意方向l上的方向导数为上的方向导数为 证明沿证明沿 方向的方向导数方向的方向导数 最大，且最大，且已知：已知：与与 方向一致，且方向一致，且1.2.2 标量场的梯度标量

31、场的梯度梯度的性梯度的性质质：标标量量场场 中每一点中每一点M处处的梯度垂直于的梯度垂直于过该过该点的等点的等值值面，且指向函数面，且指向函数 的增大方向。即梯度的增大方向。即梯度为该为该等等值值面的法向矢量。面的法向矢量。在某点在某点M处处沿任意方向的方向沿任意方向的方向导导数等于数等于该该点点处处的梯的梯度在此方向上的投影。度在此方向上的投影。任一点梯度的模等于任一点梯度的模等于该该点各方向上方向点各方向上方向导导数最大数最大值值1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度梯度运算法梯度运算法则则1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度点点M处的坐标为处的坐标为 x=1,y=0,z=1,且且r在在M点

32、沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 解：解：r的梯度为的梯度为例例1-5 求求r在在M(1,0,1)处沿处沿 的方向导数的方向导数而而 所以所以 所以所以r在在M点的梯度为点的梯度为1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度证明见例证明见例1-41-4矢量单位化方法矢量单位化方法1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.3.1 1.3.1 矢量场的通量（矢量场的通量（fluxflux）一、面元矢量：一、面元矢量：面积很小的有向曲面面积很小的有向曲面方向：方向：1 1、开曲面上的面元、开曲面上的面元 2 2、闭合面上的面元、闭合面上的面元确定绕行确定绕行l的方向后，的方向后，沿绕行方向按右

33、手沿绕行方向按右手螺旋螺旋拇指方向拇指方向闭合曲面的闭合曲面的外法线方向外法线方向二、通量（标量）二、通量（标量）1、穿穿过过面元面元的通量的通量 2、穿穿过过整个曲面整个曲面S的通量的通量3、穿穿过闭过闭合曲面合曲面S的通量的通量通量特性：通量特性：反映某一空间内场源总的特性反映某一空间内场源总的特性净流量净流量通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义的通量的物理意义（流出正，流入负）（流出正，流入负）0，穿出多于穿入，穿出多于穿入，S S内有发出矢量线的内有发出矢量线的正源正源0 0，穿出穿出少于穿入，少于穿入，S S内有内有汇集矢量线的汇集矢量线的负源负源=0 0，穿出穿出等于穿入，等

34、于穿入，S S内内无源无源，或，或正源负源代数和为正源负源代数和为0 01.3.1 矢量场的通量矢量场的通量1.3.2 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度(标量标量)()(divergence)divergence)散度的定散度的定义义：极限存在，此极限极限存在，此极限为为矢量矢量场场在某点的散度在某点的散度散度的定散度的定义义式：式：散度的物理意散度的物理意义义：散度表征矢量散度表征矢量场场的通量源的分布特性。的通量源的分布特性。散度值表征空间中通量源的密度散度值表征空间中通量源的密度通量密度通量密度有源点有源点汇点汇点无源点无源点若若矢量场为无散场矢量场为无散场散度的计算：散度的计算：在

35、直角坐在直角坐标标系下：系下：哈密尔顿算子哈密尔顿算子散度符合散度符合规则规则：1.3.2 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量恒等式矢量恒等式例例1-9 原点处点电荷原点处点电荷q产生电位移矢量产生电位移矢量试求电位移矢量试求电位移矢量 的散度。的散度。解：解：静电场的性质：静电场的性质：r=0=0以以外空间均为无源场外空间均为无源场1.3.2 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度思考：思考：r=0=0的空间呢？的空间呢？有散度源有散度源1.3.3 1.3.3 散度定理（高斯散度定理）散度定理（高斯散度定理）散度定理：散度定理：矢量矢量场场

36、散度的体散度的体积积分等于分等于该该矢量穿矢量穿过过包包围该围该体体积积的封的封闭闭曲面的曲面的总总通量。通量。应用：应用：将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分将一个体积分变成等价的封闭面积分证证明：明：散度定理散度定理证证：将将闭闭合曲面合曲面S包包围围的体的体积积V分成分成许许多小体多小体积积元元dVi(i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面，计算每个体积元的小封闭曲面Si上的通量，上的通量，再叠加。由散度定义有：再叠加。由散度定义有：可得：可得：由于相由于相邻邻体体积积元有一个公共表面，两体元有一个公共表面，两体积积元在公共元在

37、公共表面上的通量表面上的通量等等值值异号异号，求和，求和时时互相抵消。有部分表面互相抵消。有部分表面在在S面上，面上，这这部分表面的通量没有被抵消，其部分表面的通量没有被抵消，其总总和和刚刚好好等于从封等于从封闭闭面面S穿出的通量。因此有：穿出的通量。因此有：1.3.3 1.3.3 散度定理散度定理散度定理散度定理例例 1-10 球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为求求 解：解：根据散度定理知根据散度定理知 而散度为而散度为 所以所以 R为球面半径为球面半径1.3.3 1.3.3 散度定理散度定理散度定理散度定理1.41.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.4.1 1.4

38、.1 矢量矢量场场的的环环量（量（标标量）量）(circulation)(circulation)环环量的定量的定义义：结论结论：矢量的矢量的环环量也是一个量也是一个标标量量矢量的矢量的环环量不等于零，量不等于零，则闭则闭合曲合曲线线内必有旋内必有旋涡涡源源矢量的矢量的环环量等于零，量等于零，则闭则闭合曲合曲线线内没有旋内没有旋涡涡源源例如：例如：在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源环量的性质：环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性积分量，反映旋涡源总的分布特性解：解：由于在曲线

39、由于在曲线l上上z=0，所以所以dz=0。例例1-11 求矢量求矢量 (c是常数是常数)沿沿曲线曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量的环量 1.4.1 矢量场的环量矢量场的环量1.4.21.4.2 矢量场的旋度（矢量）矢量场的旋度（矢量）(rotation)(rotation)一、一、环环量面密度的定量面密度的定义义（标标量）量）若若极限存在极限存在此极限即为该点的环量面密度。此极限即为该点的环量面密度。面元的方向：面元的方向：面元的方向与面元的方向与闭闭合曲合曲线线c的的绕绕行方向成右手螺旋关系。行方向成右手螺旋关系。说说明：明：由于面元是有方向的，它与闭合曲线由于面元是有方向的，它与

40、闭合曲线l l的绕行方向成的绕行方向成右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对于不右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对于不同的面元是不同的。同的面元是不同的。二、旋度的定二、旋度的定义义（矢量）（矢量）旋度大小：旋度大小：最大最大环环量面密度的数量面密度的数值值旋度方向：旋度方向：环环量面密度最大量面密度最大时时的面元的方向的面元的方向引入哈密引入哈密尔尔顿顿算子算子在直角坐标系中在直角坐标系中1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度结论结论：旋度描述矢量旋度描述矢量 在在该该点的旋点的旋涡涡源源强强度。度。矢量矢量场场在在P点点处处沿任一方向沿任一方向 的的环环量面密度量面密度为为旋度旋度在

41、在 方向上的投影。方向上的投影。若若 ，则为无旋场，反之为有旋场，则为无旋场，反之为有旋场1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度旋度的运算旋度的运算规则规则直角坐直角坐标标系中系中2 2为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度解：解：矢量场的旋度矢量场的旋度 例例1-12 求矢量场求矢量场 在点在点M(1，0，1)处的旋度以及沿处的旋度以及沿 方向的方向的环量面密度。环量面密度。在点在点M(1，0，1)处的处的旋度旋度 环量面密度环量面密度 方向的单位矢量方向的单位矢量 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度例例1-13 在坐标原点处放置一点电荷在坐标原点处放置一点电荷q，

42、在自由，在自由空间产生空间产生的电场强度为的电场强度为 求自由空间任意点求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度电场强度的旋度解：解：静电场的性质：静电场的性质：说明点电荷产生说明点电荷产生的场为无旋场的场为无旋场（包括（包括r=0=0的点）的点）1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度1.4.3 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上上的环量等于闭合曲线的环量等于闭合曲线c所包围曲所包围曲面面S上旋度的总和，上旋度的总和，即即 式中：式中：S S是闭合路径是闭合路径l l所围成的面积。所围成的面积。的方向与

43、的方向与 的方向成右手螺旋关系。的方向成右手螺旋关系。应用：应用：将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。例例1-111-11的另一种解法的另一种解法1.5 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系1.5.1 1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系理解理解直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系直角坐标系直角坐标系1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系了解了解对任意增量对任意增量d、d、d dz

44、，P点位点位置沿置沿、z方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数拉梅系数（各方向的长度增量（各方向的长度增量与各自坐标增量之比）为：与各自坐标增量之比）为：面积元与体积元为：面积元与体积元为：1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系了解了解直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系直角坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系了解了解P点沿点沿r、方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数为：拉梅系数为：面积元与体积元为：

45、面积元与体积元为：1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理一一、亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理：若若矢矢量量场场F在在无无限限空空间间中中处处处处单单值值，且且其其导导数数连连续续有有界界，而而源源分分布布在在有有限限空空间间区区域域中中，则则矢矢量量场场由由其其散散度度和和旋旋度度唯唯一一确确定定，并并且且可可以以表表示示为为一一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即即 二、亥姆霍兹定理的意义：总结了矢量场的共同性质二、亥姆霍兹定理的意义：总结了矢量场的共同性质n矢量场的散度和旋度各对应矢量场中的一种源矢量

46、场的散度和旋度各对应矢量场中的一种源n矢量场可由它的散度和旋度唯一确定；矢量场可由它的散度和旋度唯一确定；n因因此此研研究究矢矢量量场场都都应应该该从从散散度度和和旋旋度度两两个个方方面面进进行行，或者从矢量场的通量和环量两个方面去研究。或者从矢量场的通量和环量两个方面去研究。1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理三、矢量场的基本方程：三、矢量场的基本方程：1 1、基本微分方程：散度方程和旋度方程、基本微分方程：散度方程和旋度方程2 2、基本积分方程：通量方程和环量方程、基本积分方程：通量方程和环量方程第一章总结第一章总结主要公式主要公式一、直角坐标系中一、直角坐标系中 散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：二、圆柱坐标系中二、圆柱坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：三、球坐标系中三、球坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：公式归纳公式归纳直角坐标系：直角坐标系：圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：P P点用点用u1，u2，u3坐标表示，沿坐标增量方向的单位坐标表示，沿坐标增量方向的单位矢量为矢量为 ，拉梅系数为，拉梅系数为h1，h2，h3曲线正交坐标系中，统一公式：曲线正交坐标系中，统一公式：散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：作业习题一习题一 1-6 1-7 1-11