圆心角、弧弦、弦心距间关系剖析.ppt

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1、九（1）是我家，我爱我家！（1课时）圆的性质圆的性质 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的圆是以圆心为对称中心的中心对称图形中心对称图形。圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆心旋转任，即圆绕圆心旋转任意一个角度意一个角度，都能与原来的图形重合。，都能与原来的图形重合。.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转把圆绕圆心旋转任

2、意一个角度后，仍与原来的圆重合。把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。NO把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，圆心角圆心角 所对所对的弧为的弧为 AB，过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线,垂垂足足为为M,OABM 顶点在圆心的角顶点在圆心的角,叫叫圆心角圆心角，如如 ,所对的弦为所对的弦为AB；图图1 OM是唯一的。是唯一的。则垂线段则垂线段OM的长度的长度,即圆即圆心到弦的距离，叫心到弦的距离，叫弦心距弦心距,图图1中，中，OM为为AB弦的弦心距。弦的弦心距。1圆心角圆心角1弧弧CDn圆心角圆心角n弧弧 把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周

3、角等分成把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360360360份时，每一份的圆份时，每一份的圆份时，每一份的圆份时，每一份的圆心角是心角是心角是心角是1111的角。的角。的角。的角。1111的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做1111的弧。的弧。的弧。的弧。圆心角的度数圆心角的度数和它所对的弧和它所对的弧的度数相等。的度数相等。一般地，一般地，一般地，一般地，nnnn的圆心角的圆心角的圆心角的圆心角对着对着对着对着nnnn的弧。的弧。的弧。的弧。弧的度数：弧的度数：1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并、判别下列各图中的角是不是圆心

4、角，并说明理由。说明理由。2、下列图中弦心距做对了的是（、下列图中弦心距做对了的是（）ABCDo下面我们一起来观察一下：在下面我们一起来观察一下：在 O中有哪些圆心角？中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=CO

5、DABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？有什么关系？如果：如果：AOB=CO

6、DABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=CO

7、DABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？弧有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？有什么关系？如果：如果：AOB=CODABCDo 证明证明:OA=OC，OB=OD，AOB=COD,当点当点A与点与点C重合时，重合时，点点B与点与点D也重合。也重合。AB=CD，圆心角

8、定理圆心角定理：在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。AB =CD。已知已知:如图如图AOB=COD,求证求证:AB=CD，AB =CD。如图，如图，O 和和 O 是等圆，是等圆，如果如果 AOB=AOB 那么那么 AB=AB、AB=AB、OM=OM,为什么？为什么？?圆心角定理圆心角定理:在同圆或等圆中，相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。的弦心距相等。图图 5 对于等圆的情况对于等圆的情况 ，因为两个等圆，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化可叠合成同圆，所

9、以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。为同圆问题，命题成立。条件条件结论结论在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果圆心角相等如果圆心角相等那么那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的弦心距相等圆心角所对的弦的弦心距相等圆心角圆心角,弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的圆心角所对的弧相等所相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等对的弦相等,所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等.OABDABDOO由条件由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出可推出ABDABD在同圆或等圆中在同圆

10、或等圆中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所对的圆心角相等弦所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所对的圆心角相等弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等推论：推论：(圆心角定理的逆定理圆心角定理的逆定理)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、在同圆或等圆

11、中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。余的各组量都分别相等。1、已知：如图，、已知：如图，AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，OE、OF为为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：的弦心距，根据本节定理及推论填空：（1）如果）如果AB=CD，那么，那么 _,_,_。（2）如果）如果OE=OF，那么，那么 _,_,_。（3）如果）如果AB=CD 那么那么 _,_,_。（4）如果）如果AOB=COD，那么，那么 _,_,_。AOB=COD OE=OF AB=CD

12、AOB=COD AB=CD AB=CDAOB=COD AB=CD OE=OFOE=OF AB=CD AB=CD巩固练习：巩固练习：例例例例1 1 1 1：如图，等边三角形：如图，等边三角形：如图，等边三角形：如图，等边三角形ABCABCABCABC的三个顶点都在的三个顶点都在的三个顶点都在的三个顶点都在OOOO上上上上,连结连结连结连结OA,OB,OCOA,OB,OCOA,OB,OCOA,OB,OC。求证：求证：求证：求证：AOB=COB=AOCAOB=COB=AOCAOB=COB=AOCAOB=COB=AOC证明：连接证明：连接OA,OB,OCOA,OB,OCAB=BC=ACAB=BC=AC

13、 AOB=COB=AOCAOB=COB=AOCAOB=COB=AOCAOB=COB=AOC =120 =120 =120 =120.AB BC CO 例例1 如图，已知点如图，已知点O是是EPF 的平分线上一点，的平分线上一点，P点在圆外，点在圆外，以以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。求证：求证：AB=CD分析：分析：联想到联想到“角平分线的性质角平分线的性质”，作弦心距，作弦心距OM、ON，证明证明:作作 ,垂足分别为垂足分别为M、N。OM=ONAB=CD.PABECMNDF要证要证AB=CD，只需证，只需证OM=ONO.PBEDFOAC.如图，如图，P点在圆上，点在圆上，PB=PD吗？吗？P点在圆内，点在圆内，AB=CD吗？吗？思考：思考：PBEMNDFOMN练练 习习课本课本17页页同步练习第同步练习第3题题作业布置作业布置课本习题课本习题24.2第第4题题 教学反思