2023年数学分析在高等代数中的某些应用_数学分析和高等代数是数学几.docx

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1、2023年数学分析在高等代数中的某些应用_数学分析和高等代数是数学几 第卷第期 河南教化学院学报（自然科学版） 年月 （） 数学分析在高等代数中的某些应用 王莲花，鞠红梅，李战国 （北京物资学院信息学院，北京；河南农业高校信息管理学院，河南郑州） 摘要：高等代数中的某些问题，若用代教学的方法解决起来可能相当繁琐，但若结合数学分析的方法，则问题往往会迎刃而解该文运用数学分析中的函数连续性和无穷区间的广义积分学问解决某些矩阵问题和二次型问题 关键词：连续函数；广义积分；矩阵；二次型中圈分类号：； 文献标识码： 文章编号：（） 函数连续性在解决矩阵问题中的应用当为奇异矩阵时，对一切充分小的。矩阵命题

2、设是一个儿，矩阵，则 坦为非奇异矩阵，由上述已证结论有 （）除有限个值外，堪为非奇异矩阵（为数 （） （）， 域中的元素）； 上式矩阵中的每个元素均为的连续函数。所以令 （）肯定存在，使得对一切（，得 堀为非奇异矩阵 （）” 证明 （）记八）腰垣一（一）， 例 设，曰是儿矩阵，为的伴随矩则，（）是关于一元次多项式由代数基本定理阵，贝（） 知，矩阵（一）在数域中至多有厅个特征根，证明 当，均为非奇异矩阵时，则也是 ：，。，因此。除有限个特征根外，堀为非奇非奇异矩阵。于是有 异矩阵 （）（）“ （）取为矩阵（一）非零特征根的肯定值或（曰日“）（ “） 模的最小值，则对于随意（，），坦是非奇异当，至

3、少有一个为奇异矩阵时，由命题知，矩阵 对一切充分小的，矩阵堀和曰均为非例 证明：（） ”，其中是 奇异矩阵，由上述已证结论有 矩阵（） （）（曰）（曰）（），证明当为非奇异矩阵时，由 一 上式矩阵中的每个元素均为的连续函数，所以令知 一。得 （）（）卅 （） （ ） 例设，都是，矩阵，且 。 击（。）。 证明： 曰：曰 “一 ：； 该题是文献中补充题的进一步扩充，即 收稿日期： 基金项目：北京物资学院教化教学改革资助项目 作者简介：王莲花（“一），女。河南宁陵人，北京物资学院副教授主要从事代数教学与探讨 去掉条件 证明 当 时，由于 一三一。：三三】【三一：】 【三。一飘】， 两边取行列式，得

4、 ：三。：三三三，一：曰 。一飘 因一三一。：，和三一：日， 。则 曰： 。： 曰 当 时，由命题，存在，使得 腰为非奇异矩阵，又，则（）（），由已证的结论知 日：（）曰 由于上式两端是的连续函数，所以令，则有 曰： 趴 ， 口例设 ： ： 。是的代数 口肝 口 余子式求证： 口 髫 ： 一 口 口茗 。 鬈乃 ， 。 证明 设（口），（善一，算。）， （”，。），则 口 菇 ： 口口茗 匕 。 （）当为非奇异矩阵时， ：三。一；二一 ，一， （一箫） 一户。乃 （）当为奇异矩阵时，依据命题知，存在常数，使得对随意（，鳓，有。为非奇异矩阵，则 ；一粪。（）互；乃， 其中，代表中元素的代数余子式

5、而上式两端均为的连续函数，所以令，得 二： 一；粪。龙。乃 例 证明 戈 名 以茗，茗） 一茗 口口： 一石口口 是一个二次型 证明 设（口），（石一，舅。）则 删上孙 （）当为非奇异矩阵时，由 以）： ： （肌。）： 肌卅（等（等）， 可知 等（譬）是一个对称矩阵，所以八）是 一个二次型 当为奇异矩阵时，依据命题知，存在常数 艿，使得对随意（，），有。为非奇 异矩阵，则由已证的结论，有 删上孙隆（钏， 而上式两端均为的连续函数，所以令，得 ）叫（等（等）卜 因此，八）是二次型 例若。是阶方阵，则与的特征多项式相同 证明 当为非奇异矩阵时，与相像，故 其特征多项式相同 当为奇异矩阵时，依据命题

6、知，存在常数艿，使得对随意（，艿），有为非奇异矩阵，由上述结论得（）与（）有相同的 特征多项式，即 一（） （），命题设口；（，），且互不相 而上式两端均为的连续函数，所以令一，得 等证明： （）方阵（一）为正定矩阵； 口十口； 无穷区间上的广义积分在解决有关二次型问题 中的应用 命题 设二次型八），其中 （）。是正定矩阵 “ （）若矩阵（口）是正定矩阵，则 （口。）。为实对称矩阵，（茗，”，茗。）证明： 叶 证明（）明显是实对称矩阵 （）若口南，则 定矩阵 ； （）若为正定矩阵，则曰（三与）也是正 分析：利用数学分析中的一个无穷广义积分 （）艏荟争一去 。荟；嘶。一。（；（即）；（） 互：一

7、 证明 。（荟（即） （）已知口。，则十， 对随意（省，髫，聋。），因口，口，口。互不相同，则 （”，石”，一），由于上式被积函数大于，所以“）正定，即正定 （）对于二次型 删蠢；筹 荟荟碣。一州出 ； 。萎荟（）出。荟叩；一。（善叩础）以 （）馏荟争巧煮 ；川，。叫吒叶山 。（；荔口“（髫）（ 由此知，对于一切，被积函数都大于，所以积分值大于，即对于任何都有二次型八），则灭）为正定二次型，于是正定矩 阵。所以 令，茗。一），当（石，毒，茗。）时，因口，口，口。互不相同，则因是正定矩阵，则被积函数即二次型，所以积分值大于，因此曰是正定矩阵 注：命题明显是命题的推广下面给出命题 的个应用 例 试

8、证 （）设 （） 静省 ， ；蚤。叫 虿 。善；搿一州”出；口“）（和） 令（石，。，茹。“），则对随意，有，而为正定矩阵，故二次型 是正定矩阵 证明 口“（茗。）（勺叫）正定，即对于随意，总 有，因此，对随意。上式的被积函数总大于，其积分值大于，所以（）为正定 二次型因此为正定矩阵 明显是对称矩阵，令口。，口： （），由命题（）知，是定矩阵 口十口 丢，口，虿，口。（一），则 例设，日为阶矩阵，且曰为正定矩阵，若 定矩阵，又的特征值为互不相等的负数，所以一（，），由命题（）知，矩阵（） 矩阵方程一有唯一解，且的特征值为互不相等的负数，求证为正定矩阵 证明 先证是对称矩阵由一曰知， （）是正定

9、矩阵，从而也是正 。 一。即一，则也是方程 定矩阵 一的解，由解的唯一性知 再证正定矩阵因为是实对称矩阵，肯定存在正交矩阵，使得 （，。）， 其中（，）为的不同的特征值 令（），（口），则由 一。得 由上探讨可知。高等代数与数学分析虽然属于不同的学科，但是二者在解决问题时却相互渗透，彼此相通因此，老师在教学过程中，要强调不同学科的交融性，培育学生融合学问的实力，进而达到培育其创新思维实力的效果 参考文献 一 且 （，）（。）。（）。（， 北京高校数学系几何与代数教研室高等代数王萼芳， 石明生修订北京：高等教化出版社，】 李师正，张玉芳李桂荣等高等代数解题方法与技巧北京：高等教化出版社，】 王品

10、超高等代数新方法徐州：中国矿业高校出版社， ，。）一（。）。， 计算得一口 “口，所以之 因曰是正定矩阵，所以（）也是正 ，。，“ （。，； 。 ， ，） ： ， ：； 数学分析在高等代数中的某些应用 作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数： 王莲花， 鞠红梅， 李战国， WANG Lianhua， JV Hongmei， LI Zhanguo 王莲花,鞠红梅,WANG Lianhua,JV Hongmei(北京物资学院信息学院,北京,101149)， 李战国,LI Zhanguo(河南农业高校信息管理学院,河南郑州,450002)河南教化学院学报（自然科学版） JOURNA

11、L OF HENAN INSTITUTE OF EDUCATION(NATURAL SCIENCE)2023，17(3)0次 参考文献(3条) 1. 北京高校数学系几何与代数教研室. 王萼芳. 石明生 高等代数 20232. 李师正. 张玉芳. 李桂荣 高等代数解题方法与技巧 20233. 王品超 高等代数新方法 2023 相像文献(3条) 1.期刊论文 郎建. 王金花. LANG Jian. WANG Jin-hua 函数与其反函数积分之间的关系 -沧州师范专科学校学报2023,18(3) 本文揭示了严格单调连续函数的积分、广义积分与其反函数积分之间的关系.利用这一关系,可给某些积分的计算带

12、来便利. 2.期刊论文 郁国瑞. 韦宁 试证广义积分的一组命题 -高等数学探讨2023,9(4) 探讨无穷积分收敛时被积函数极限为零的条件.对于a,+)上的连续函数,若+af(x)dx收敛,则limx+f(x)=0的充分必要条件是f(x)在a,+)上一样连续. 3.期刊论文 骆汝九 牛顿-莱布尼茨公式的推广形式 -高等数学探讨2023,9(6) 牛顿-莱布尼茨公式的一个推广形式,可用于计算区间a,b上连续函数f(x)的定积分ba f(x)dx,也适用于f(x)在a,b上有有限个间断点(含无穷间断点,此时ba f(x)dx是广义积分)的情形. 本文链接：.cn/Periodical_hnjyxyxb-zrkxb202303005.aspx授权运用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7b932ab9-7fa1-4dc5-98b5-9dcd0085ce6b 下载时间：2023年8月9日