引言及欧拉法.ppt

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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第1 1章章 常微分方程初值问题的常微分方程初值问题的数值解法数值解法 1.11.1 引言引言 1.2 1.2 欧拉法欧拉法(Euler方法方法)1.1 1.1 引言引言 目标在于给出解在一些离散点上的近似值。目标在于给出解在一些离散点上的近似值。本章研究常微分方程初值问题的主要数值本章研究常微分方程初值问题的主要数值解法，包括基本方法和基本理论问题。解法，包括基本方法和基本理论问题。1.2 1.2 欧拉法欧拉法(Euler方法方法)1.2.1 1.2.1 欧拉方法欧拉方法 考虑常微分方程初值问题注：在后面的讨论中，我们总认为这个初值问题的解存在、唯一且连

2、续依赖于初值条件，即初值问题(1.1)，(1.2)是适定的。将解的存在区间 等分，得到 个小区间。任取一个小区间，由原方程 得在区间 上，用 在点 上的值来 代替，得到为步长。其中图图1.1 0在上式中分别用和来代替和并由n 的任意性，得到(1.3)这就是欧拉公式。欧拉公式亦可由Taylor 展式得到0图图1.2几何意义几何意义在上式中分别用和来代替和则得一般而言，并不要求步长相等，则有(1.4)例例 1.11.1 以的数值解，并与精确解为步长，用欧拉法求初值问题比较。先编写右端函数：先编写右端函数：function dy=Euler_fun1(x,y)dy=x.*exp(-x)-y;再采用再

3、采用Euler公式编写如下主程序求数值解，并与精公式编写如下主程序求数值解，并与精确解比较，所得图形如下确解比较，所得图形如下 例例 1.11.1 以的数值解，并与精确解 例例 1.11.1 以的数值解，并与精确解 例例 1.11.1 以比较。的数值解，并与精确解 例例 1.11.1 以Clear;h=0.1;xend=2;N=2/h;x(1)=0;y(1)=1;x=h.*(0:N);for n=1:N y(n+1)=y(n)+h*Euler_fun1(x(n),y(n);endy_real=1/2*(x.2+2).*exp(-x);plot(x,y,*,x,y_real,r)xlabel(x

4、,FontSize,16);ylabel(y,FontSize,16);1.2.2 收敛性研究收敛性研究 所谓收敛性问题,就是研究时,要求,。整体截断误差整体截断误差这里(1.6)即ThTh局部截断误差局部截断误差(1)、计算格式本身不能准确描述原来的方程 误差的产生：误差的产生：(2)、计算机本身引入的误差(舍入误差)注：不考虑计算机引入的舍入误差 为保证Euler公式是一个好的数值计算格式，需研究Euler公式的收敛性和稳定性问题。定理定理 1.11.1(1.12)其中h。为步长，的局部截断误差，则欧拉方法满足 假定Back其中 R 为局部截断误差的上界。定理定理 1.21.2 设 f(t

5、,u)关于 u 满足Lipschitz 条件，L为相应的Lipschitz常数，则欧拉方法的整体截断满足(1.13)误差Th1.4由定理1.1，1.2，可得 定理定理 1.31.3 设 f(t,u)关于 u 满足Lipschitz 条件，L为相应的Lipschitz常数，(1.14)且当h0，并有估计式，则欧拉方法的解一致收敛到初值问题(1.1)，(1.2)的解如果，即，由此有(1.15)即 欧拉方法的整体截断误差与欧拉方法的整体截断误差与h h 同阶，由同阶，由 的表的表达式可知，达式可知，这说明局部截断误差比整体，这说明局部截断误差比整体截断误差高一阶。截断误差高一阶。我们称欧拉方法为一阶

6、格式。我们称欧拉方法为一阶格式。1.2.3 1.2.3 稳定性研究稳定性研究 前已指出欧拉方法的稳定性问题是决定欧拉法在利用计算机能否得到精确解的关键问题，只有稳定的算法才可能是有用的算法。定理定理1.4 1.4 在定理在定理1.21.2的条件下，欧拉方法是稳的条件下，欧拉方法是稳定的。定的。Th1.2 由定理1.2，我们看到如初始误差 ，则整体截断误差的阶完全由局部截断误差的阶决定，事实上，若局部截断误差阶为 ，则整体截断误差阶为 。因此为了提高数值算法的精度，往往从提高局部截断误差的阶入手，这也时构造高精度差分方程数值方法的主要依据。定义1.1 如果存在正常数 c 及 ，使对任意初始值与，由计算所得之解满足估计式则称欧拉方法稳定欧拉方法稳定。注意注意:这里 分别是以 为初值得到的精确值，毫无舍入误差，因此这里稳定性定义式对初值的稳定性，即研究初值误差在计算过程中的传递问题。谢谢 谢谢P10P10习题习题1 1，用，用EulerEuler法，并与精确解比较法，并与精确解比较作业：作业：作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并给出图或表所说明的结果给出图或表所说明的结果