概率论(随机变量的分布函数).ppt

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1、第三节 随机变量的分布函数一、概念的一、概念的引入引入需要知道需要知道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a,b)内取值的概内取值的概率率.分布分布函数函数 例如例如|x二、定义二、定义设设X 是随机变量，是随机变量，x为任意实数，称函数为任意实数，称函数为为X 的分布函数的分布函数(distribution function)记作记作 X F(x)或或 FX(x)如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间的概率的概率.三、分布函数的性质三、分布函数的性质1 1 单调不减单调不减即即 若若 x1

2、1 x2 2，则则F(F(x1 1)F()F(x2 2)；2.非负有界非负有界F(x+0)=F(x)3.右连续右连续性质性质1-3是鉴别一个函数是否是某随机变量的是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的分布函数的充分必要条件充分必要条件.例例1 1 一袋中有一袋中有6 6个球，其中个球，其中2 2个标号为个标号为1 1，3 3个标号为个标号为2 2，1 1个标号为个标号为3,3,任取任取1 1个球，以个球，以X X表示取出的球的表示取出的球的标号，求标号，求X X的分布函数；并求的分布函数；并求 P P2 X 32 X 3解：解：由已知由已知X X的可能值为的可能值为1,2,31,2,3 P

3、X=1=2/6,PX=2=3/6,PX=3=1/6.PX=1=2/6,PX=2=3/6,PX=3=1/6.所以所以X X的分布律为的分布律为 X X 1 2 3 1 2 3 p pk k2/6 3/6 1/62/6 3/6 1/6它的图形是一条右连续的阶梯型曲线它的图形是一条右连续的阶梯型曲线在随机变量的每一个可能取值点在随机变量的每一个可能取值点 x=xk(k=1,2,),该图形都有一个跳跃，跳跃高度为该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk 一般地，对于离散型随机变量一般地，对于离散型随机变量X 来讲，如果其概来讲，如果其概率分布律为率分布律为 ,k=1,2,其中其中x1x2则则X的分布函数为的

4、分布函数为例例2 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2 2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任一同心圆设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的半径平方成正比盘上的点的概率与该圆盘的半径平方成正比,并设射击都并设射击都能中靶能中靶,以以X X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求试求（1 1）随机变量随机变量X X的分布函数的分布函数解解(1)(1)求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数F(x)当当00 x22时，时，P0X x=c cx2 2(c(c为待定常数为待定常数)又因为又因为0X20X2为必然事件为必然事件,故故 1=P0X2 1=P0X2 故故 于是于是 当当x022

5、时时,X,X x为必然事件为必然事件,于是于是 F(F(x)=PX)=PX x=1=1综上所述综上所述 x0 1 2 3F(x)的图形的图形F(x)11/2第四节第四节 连续型随机变量及其连续型随机变量及其 概率密度概率密度一、一、定义定义probability density.注：注：(1)(1)由定义知道，改变概率密度由定义知道，改变概率密度f(x)在个别点的函数值在个别点的函数值不影响分布函数不影响分布函数F(x)的取值，因此的取值，因此概率密度不是唯一的概率密度不是唯一的.(2)(2)连续型随机变量的连续型随机变量的分布函数是连续函数分布函数是连续函数.二、二、性质性质(1),(2)用

6、于验证一个用于验证一个函数是否为概率密度函数是否为概率密度注注 (4)(4)式及连续性随机变量分布函数的定义式及连续性随机变量分布函数的定义表示表示了分布函数与概率密度间的两个关系利用这些了分布函数与概率密度间的两个关系利用这些关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个出另一个(4)(4)若若f(x)在点在点 x 处处连续，则有连续，则有连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：3.性质性质(3)表示表示Px10.1。解解:(1):(1)由于由于 于是于是X的概率密度的概率密度为，解得，解得k=

7、3.(2)(2)从而从而 例例2:2:连续型随机型随机变量量X X的分布函数的分布函数（1 1）求）求A A，B B（2 2）求）求X X的概率密度（的概率密度（3 3）P-1X2P-1X0,t0有有则称则称X的分布具有无记忆性的分布具有无记忆性.指数分布具有无记忆性指数分布具有无记忆性 2.指数分布有着重要应用指数分布有着重要应用.如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述布来描述.其中其中 ,(0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 ,的的正态分布，记为正态分布，

8、记为 .显然，显然，f(x)0，且可以证明且可以证明参数参数 的意义将在后面的章节中给出的意义将在后面的章节中给出(三三三三)正态分布正态分布正态分布正态分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为u 正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数f(x)的性质的性质(1)曲线关于直线曲线关于直线 x=对称对称.(2)当当 x=时，时，f(x)取得最大值取得最大值;(3)在在 x=处曲线有拐点，且以处曲线有拐点，且以x轴为渐近线轴为渐近线;Of(x)x(4)对固定的对固定的,改变改变 的值的值,图形沿图形沿Ox轴平移轴平移;(5)对固定的对固定的,改变改变,越小越小,图形越尖图形越尖.正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为:F标准正态分布标准正态分布当当=0,=1时时,称称X服从服从标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布,记作记作XN(0,1).其概率密度与分布函数分别用其概率密度与分布函数分别用 (x),(x)表示表示.即即xOxO-11