最优化理论与方法习题.ppt

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1、第一章习题课第一章习题课二次型n个变量的二次齐次多项式称为一个n元二次型,简称二次型三元二次型二次型的矩阵表示 令 因为 二次型可以写成系数排列成一个矩阵二次型矩阵因为 A是一个对称矩阵.二次型矩阵都是对称矩阵令二次型就可以用矩阵的乘积表示出来即为 二次型 如果对于任意一组不全为零的实数 都有 就称为正定的正定的.A是一个实对称矩阵,如果 实二次型 是正定的,则A称为正定矩阵.设 是一个实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数 ,都有 就称 是负定的.如果对于任意一组实数 ,都有 ,就称 是半正定的.如果对于任意一组实数 ,都有 ,就称 是半负定的.如果 即不是半正定的,也不是半负定的,就称它

2、是不定的.设A是实对称矩阵,如果二次型 是负定的,就称A是负定的；如果 是半正定的或半负定的,就称A是半正定的或半负定的.二次函数二次函数其中在代数学中将特殊的二次函数 称为二次型Hesse矩阵 设 所有的二阶导数都存在,那么f 的Hesse矩阵即 例求目标函数例求目标函数的梯度和的梯度和Hesse矩阵矩阵解解:因为因为又因为又因为所以所以即为即为Hesse矩阵矩阵无约束函数极值的充分条件无约束函数极值的充分条件 若点若点x*满足满足 以及以及 是正定是正定(负定负定)的，的，则则x*是是f(x)的一个严格的局部最小的一个严格的局部最小(大大)点。点。例例 求求f(x1,x2)=2x128x1+2x224x2+20的极值点及极值的极值点及极值解：解：先求平稳点先求平稳点平稳点为平稳点为 x*2,1T Hesse矩阵为矩阵为x*2,1T是是f(x)的严格极小点，的严格极小点，f(x*)=10 例：利用极值条件解下列问题利用极值条件解下列问题：设取点 ,验证 是f(x)在点 处的一个下降方向证明：所以 是f(x)在 处的一个下降方向 例 考虑下列非线性规划问题检验以下各点是否为局部最优解记目标函数和约束函数分别为f(x),g(x),h(x),他们在点x处的梯度分别是Lagrange函数是Lagrange函数关于x的Hessian矩阵是