有限元法的理论基础.ppt
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1、Taiyuan University of Technology 计算固体力学计算固体力学王志华王志华应用力学与生物医学工程研究所应用力学与生物医学工程研究所太原理工大学太原理工大学 E-mail:l预备知识预备知识l第一章第一章 有限单元法的理论基础有限单元法的理论基础 1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式 1.21.2加权余量法加权余量法 1.31.3变分原理变分原理主要内容主要内容l弹性力学的基本假设预备知识预备知识一、连续性假设 弹性理论同其他宏观物理学一样,不考虑实际工程材料细观粒子结构。1.物体抽象成连续密实的空间几何体,位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点
2、位置的函数定义在这个几何体上。2.物体在整个变形过程中始终保持连续,即:定义在该连续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间断外,在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数。预备知识预备知识二、弹性假设 弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值函数关系,且载荷卸去后变形完全消失。应力小于弹性极限时应力应变关系是线性的。服从虎克定律。小变形情况下,应变和位移导数间的关系是线性的。预备知识预备知识三、均匀性假设 物体在各点处的弹性性质都相同。四、自然状态假设 假设物体不受外力作用和温度的影响,物体便没有应力和变形,即不考虑由于制造工艺引起的残余应力和装配应力
3、。预备知识预备知识l弹性力学问题的矩阵表示预备知识预备知识一、基本物理量 位移:应变:应力:预备知识预备知识一、场方程 几何方程:预备知识预备知识预备知识预备知识物理方程:这里假设材料是各向同性的。预备知识预备知识注:表示工程切应变,它们与张量切应变 的关系为:预备知识预备知识在平面问题中的弹性矩阵:平面应力问题:平面应变问题:预备知识预备知识平衡方程:预备知识预备知识边界条件:力边界:位移边界:预备知识预备知识本章重点和应掌握的内容l本章重点和应掌握的内容微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法,任意函数和场函数应满足的条件。l不同形式加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤,
4、以及Galerkin法的特点。l线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质,以及自然边界条件和强制边界条件的区别。第第1 1章章 有限元法的理论基础有限元法的理论基础l经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件及其局限性l两种形式虚功原理(虚位移原理和虚应力原理)的实质和构造方法。l从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径,各自的性质以及场函数事先应满足的条件第第1 1章章 有限元法的理论基础有限元法的理论基础本章含盖三节内容:1.1 微分方程的等效积分形式 1.2 加权余量法 1.3变分原理第第1 1章章 有限元法的理论基础有限元法的理论基础1.1 1.1 微分方程的等效积分形式微分
5、方程的等效积分形式第第1 1章章 有限元法的理论基础有限元法的理论基础1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程:微分方程是联系自变量x,未知函数u(x)和它的某些阶导数 的关系式:1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式求解微分方程的方法有:解析法;半解析法;数值法;1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式数值法主要包括:有限差分法有限差分法将微分方程化为差分形式,求近似解;将微分方程化为差分形式,求近似解;加权余量法加权余量法将将 转化为加权积分形式,求近似解;转化为加权积分形式,求近似解;有限元法有限元法将将 转化为能量取驻值问题,并
6、采用分片插值;转化为能量取驻值问题,并采用分片插值;边界元法边界元法在边界上进行离散;在边界上进行离散;无网格法无网格法近似函数建立在离散点上,不需网格。近似函数建立在离散点上,不需网格。微分方程的等效积分形式一、连续介质问题微分方程的一般表达式且 满足边界条件:表示对独立变量(时间,空间)的微分算子。1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方
7、程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分
8、方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式例:图1:u为一个连续函数,满足C0连续图2:有一个一阶不连续点,但一阶导可积。图3:二阶导数在区域内趋于无穷,使积分不能进行。微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式一、构造“弱形式”目的 降低对未知函数的连续性的要求假设:微分方程中,微分算子的 最高阶导数为2m2m;微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式
9、微分方程的等效积分形式3)代价是提高对任意函数 和 的连续性要求。4)在物理上更符合实际问题对连续性的要求。5)若 和 取特定函数,则为加权余量法 的不同格式。微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式例:简支梁的弯曲问题微微分分方方程程和和边边界界条条件件微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式如下:对该等效积分形式 要求在域内,w 为三阶导数连续,很难实现。微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式等效积分弱形式:对等效积分弱形式 要求在域内,w
10、一阶导数连续即可。微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式方程的分类:1)稳态问题(平衡边值问题)场函数 解只与位置坐标有关微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式方程的分类:1)瞬态问题(传播问题,初边值问题)场函数 为空间与时间的函数、可以理解为时-空域,t为开域(0,)t=0可以认为是初值条件微分方程的等效积分的弱形式1.11.1微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式方程的分类:1)特征值问题若要有非零解 某些参数取特定值取决于问题的物理、几何特性1.2 1.2 加权余量法加权余量法第第1 1章章
11、有限元法的理论基础有限元法的理论基础1.2 1.2 加权余量法加权余量法加权余量法的基本思想加权余量法是:基于等效积分形式或等效积分弱形式的近似方法。1.2 1.2 加权余量法加权余量法设:定解问题1.2 1.2 加权余量法加权余量法1.构造近似解1.2 1.2 加权余量法加权余量法那么,当n有限时,方程存在偏差(余量)即:在域内 在边界上1.2 1.2 加权余量法加权余量法等效积分形式:1.2 1.2 加权余量法加权余量法2.以加权意义上为零,形成求解方程组(等效积分的解析式)即:或:为权函数,(预先设定)线性无关。作用:强迫余量在某种平均意义上等于零1.2 1.2 加权余量法加权余量法1.
12、2 1.2 加权余量法加权余量法3.3.加权余量法的关键加权余量法的关键(两种函数的选择两种函数的选择)1 1)与等效积分形式不同:一个是精确解,而加权余量法得)与等效积分形式不同:一个是精确解,而加权余量法得到的为是近似解。到的为是近似解。a.a.近似表达式为有限项。近似表达式为有限项。b.b.对某些特定的权函数(非任意对某些特定的权函数(非任意 )2 2)试函数:如能满足一定的域内条件或边界条件,使问题)试函数:如能满足一定的域内条件或边界条件,使问题简化,且有一定的精确度。简化,且有一定的精确度。3 3)权函数:不同的权函数,涉及不同的计算格式。)权函数:不同的权函数,涉及不同的计算格式
13、。例如:例如:1.2 1.2 加权余量法加权余量法采用使余量的加权积分为零的等效积分的采用使余量的加权积分为零的等效积分的“弱弱”形式形式 ,来求得微分方程近似解的方法称为加权余,来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法量法 。它是求微分方程近似解的一种有效方法。它是求微分方程近似解的一种有效方法。1.2 1.2 加权余量法加权余量法加权余量法常用的几种常用方案加权余量法常用的几种常用方案为了讨论方便,不失一般性,认为 已满足边界条件,因此仅剩域内积分项;为线性微分算子,可用 表示。1.2 1.2 加权余量法加权余量法1.配点法 取:则有:注:1.2 1.2 加权余量法加权余量法1.配点法1.
14、2 1.2 加权余量法加权余量法1.配点法1.2 1.2 加权余量法加权余量法1.配点法1.2 1.2 加权余量法加权余量法1.配点法1.2 1.2 加权余量法加权余量法1.配点法这种方法相当于简单地强迫若干个在 域内的点上余量等于零。说明:Kij 非对称,不用求积分。1.2 1.2 加权余量法加权余量法2.最小二乘法最小二乘法是加权余量法的一种。标准最小二乘法是:要使域 内每一点的残数(或误差)的平方和最小,或平方的积分最小。1.2 1.2 加权余量法加权余量法2.最小二乘法1.2 1.2 加权余量法加权余量法2.最小二乘法1.2 1.2 加权余量法加权余量法2.最小二乘法1.2 1.2 加
15、权余量法加权余量法2.最小二乘法1.2 1.2 加权余量法加权余量法2.最小二乘法可见:矩阵对称,但需要数值积分1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法非对称,系数矩阵含积分运算。若自伴随问题利用格林公式可以构造有限元格式1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法说明:如果要形成有限元格式,则希望得到对称系数矩阵,同时希望积分中的微分阶数降低。Galerkin加权余量法(见后)1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法如果L为二阶微分算子,则C、D
16、均为一阶。如果L为四阶微分算子,则C、D均为二阶。如果L为自伴随算子,第一项将得到对称系数矩阵。1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法例:二维稳态热传导方程(Galerkin 格式)1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法1.2 1.2 加权余量法加权余量法3.伽辽金(Galerkin)法1.2 1.2 加权余量法加权余量法利用格林公式分部积分1.2 1.2 加权余量法加权余量法不考虑温度边界条件,上式整理得:其中:1.2 1.2 加权余量法加权余量法说明:(1)由由
17、Galerkin Galerkin 法得到与变分法相一致的方程法得到与变分法相一致的方程形式,与有限元格式类似。形式,与有限元格式类似。(2 2)如离散后采用上法,即可得到有限元格式。)如离散后采用上法,即可得到有限元格式。(3 3)如果一个问题存在变分泛函,则采用加权)如果一个问题存在变分泛函,则采用加权余量法余量法 Galerlin Galerlin 格式与变分方法可得相同结果格式与变分方法可得相同结果的方程。的方程。变分原理变分原理l自然变分原理自然变分原理l修正泛函的变分原理修正泛函的变分原理有限元法的理论基础有限元法的理论基础线性、自伴随微分算子线性、自伴随微分算子如果微分方程具有线
18、性、自伴随的性质,则如果微分方程具有线性、自伴随的性质,则:l不仅可以建立它的等效积分形式,并可利不仅可以建立它的等效积分形式,并可利用加权余量法求其近似解;用加权余量法求其近似解;l 还可建立与之相等效的变分原理,基于它还可建立与之相等效的变分原理,基于它的另一种近似求解方法的另一种近似求解方法Ritz法法自然变分原理自然变分原理有限元法的理论基础有限元法的理论基础-变分原理变分原理线性、自伴随微分方程的定义:线性、自伴随微分方程的定义:微分方程:微分方程:为微分算子为微分算子若若 具有性质:具有性质:则称则称 为线性微分算子。为线性微分算子。有限元法的理论基础有限元法的理论基础-变分原理变
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