有限元的力学基础已排.ppt

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1、第第7章有限元法的力学基础简介章有限元法的力学基础简介1结构力学有限元法中弹性力学是重要基础结构力学有限元法中弹性力学是重要基础弹性力学弹性力学区别与联系区别与联系材料力学材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：、研究的对象：变形体变形体 但也有区别。但也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力

2、学虽然也研究杆状构件，度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。7.1材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学23、研究的方法：有较大的区别。、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来

3、建立这些条件的，因而要常常引用一些截对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学

4、解答的精确程度，并确定它们的适用范围精确程度，并确定它们的适用范围。3x xq qy yxs图 2-1ax xq qy yxs0 0图 2-1b材料力学解答结果弹性力学解答结果4图 2-3a图 2-3b材料力学解答结果弹性力学解答结果5弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象

5、的变但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：6弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一

6、些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物物体体是是完完全全弹弹性性的的，亦亦即即当当使使物物体体产产生生变变形形的的外外力力被被除除去去以以后后，物物体体能能够够完完全全恢恢复复原原形形，而而不不留留任任何何残残余余变变形形。这这样样，当当温温度度不不变变时时，物物体体在在任任一一瞬瞬时时的的形形状状完完全全决决定定于于它它在在这这一一瞬瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物物体体是是均均匀匀的的，也也就就是是说说整整个个物物体体是是由由同同一一种种材材料料组组成成的的

7、。这这样样，整整个个物物体体的的所所有有各各部部分分才才具具有有相相同同的的物物理理性性质质，因因而而物物体的弹性常数体的弹性常数(弹性模量和波桑系数弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。才不随位置座标而变。7(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物物体体的的变变形形是是微微小小的的，亦亦即即当当物物体体受受力力以以后后，整整个个物物体体所所有有各各点点的的位位移移都都远远小小于于物物体体的的原原有有尺尺寸寸，因因而而应应变变和和转转角角都都远远小小于于1

8、，这这样样，在在考考虑虑物物体体变变形形以以后后的的平平衡衡状状态态时时，可可以以用用变变形形前前的的尺尺寸寸来来代代替替变变形形后后的的尺尺寸寸，而而不不致致有有显显著著的的误误差差；并并且且，在在考考虑虑物物体体的的变变形形时时，应应变变和和转转角角的的平平方方项项或或乘乘积积项项都都可可以以略略去去不不计计，这这就就使使得得弹弹性性力力学学中中的的微分方程都成为线性方程。微分方程都成为线性方程。87.2弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念(1)描述变形体的基本变量描述变形体的基本变量9描述变形体的基本方程描述变形体的基本方程基本变量、基本方程及边界条件基本变量、基本方程及边界条件

9、10 作用于弹性体的外力作用于弹性体的外力(或称荷载或称荷载)可能有两种：可能有两种：表面力表面力：是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体：是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号分解为平行于座标轴的三个成分，用记号X、Y、Z 来表示。来表示。体力体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。

10、弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。(2)外力的概念外力的概念11弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC，称为微元体称为微元体PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力正应力剪应力剪应力每一个面上的应力每一个面上的应力分解为一个正应力分解为一个正应力和两个剪应力，分和两个剪应力，分别与三个坐标轴平别与三个坐标轴平行行(3)应力的概念应力的概念12 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力例如，正应力 是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着轴的面上同时也沿着X

11、轴轴方向作用的。方向作用的。(a）正应力）正应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力应力 是作用在垂直于是作用在垂直于X轴的面上而沿着轴的面上而沿着y轴方向作用的。轴方向作用的。（b）剪应力）剪应力应力的概念应力的概念13应力的正负应力的正负:如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。面上的应力就以沿坐标轴正方向为正

12、，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。向为负。应力的概念应力的概念14剪应力互等定律剪应力互等定律:作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。力是互等的。(大小相等，正负号也相同大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号。因此剪应力记号的两个角码可以对调。的两个角码可以对调。由力矩平衡得出由力矩平衡得出简化得简化得剪应力互等剪应力互等

13、应力的概念应力的概念15应力分量应力分量 可可以以证证明明：如如果果 这这六六个个量量在在P点点是是已已知知的的，就就可可以以求求得得经经过过该该点点的的任任何何面面上上的的正正应应力力和和剪剪应应力力，因因此此，这这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该该点点的的应应力力状状态态，它们就称为在该点的它们就称为在该点的应力分量应力分量。一一般般说说来来，弹弹性性体体内内各各点点的的应应力力状状态态都都不不相相同同，因因此此，描描述述弹弹性性体体内内应应力力状状态态的的上上述述六六个个应应力力分分量量并并不不是是常常量量，而是坐标而是坐标x、y、z的函数。的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列

14、矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示：16 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：一般有两种方式来描述：1、给出、给出各点的位移各点的位移；2、给出、给出各微元各微元体的变形体的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴三个坐标轴上的投影上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后

15、，各点的位移并不是常值，而是坐标的函数。受力以后，各点的位移并不是常值，而是坐标的函数。(4)位移、应变、刚体位移位移、应变、刚体位移17微元微元体的变形可以分为两类：体的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。一类是长度的变化，一类是角度的变化。任任一一线线素素的的长长度度的的变变化化与与原原有有长长度度的的比比值值称称为为线线应应变变(或或称称正正应应变变)，用用符符号号 来来表表示示。沿沿坐坐标标轴轴的的线线应应变变，则则加加上上相相应应的的角角码码，分分别别用用 来来表表示示。当当线线素素伸伸长长时时，其其线线应应变变为为正正。反反之之，线线素素缩缩短短时时，其其线线应应

16、变变为为负负。这这与与正应力的正负号规定相对应。正应力的正负号规定相对应。任任意意两两个个原原来来彼彼此此正正交交的的线线素素，在在变变形形后后其其夹夹角角的的变变化化值值称称为为角角应应变变或或剪剪应应变变，用用符符号号 来来表表示示。两两坐坐标标轴轴之之间间的的角角应应变变，则则加加上上相相应应的的角角码码，分分别别用用 来来表表示示。规规定定当当夹夹角角变变小小时时为为正正，变变大大时时为为负负，与与剪剪应应力力的的正负号规定相对应正负号规定相对应(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。187.3弹性力学基本方程弹性力学基本方程(1)平衡方程平衡方程考虑微元体各个面上的法向应力和剪

17、应力与其体力考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程（受力状态的描述）：平衡方程（受力状态的描述）：19（2）几何方程）几何方程-应变与位移的关应变与位移的关系系A点在点在X方向的位移方向的位移分量为分量为u；B点在点在X方向的位移方向的位移：微元体由微元体由ABCD变形为变形为ABCD求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：线素线素AB的正应变为：的正

18、应变为：同理，同理，AD的正应变为：的正应变为：20几何方程几何方程-应变与位移的关应变与位移的关系系X向线素向线素AB的转角的转角 ，Y向线素向线素AD的转角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变线素线素AB的转角为：的转角为：A点在点在Y方向的位移方向的位移分量为分量为v；B点在点在Y方向的位移方向的位移分量分量：21几何方程几何方程-应变与位移的关应变与位移的关系系X向线素向线素AB的转角的转角 ，Y向线素向线素AD的转角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变同理，同理，Y向线素向

19、线素AD的的转角转角由于变形是微小由于变形是微小的，所以上式可将比的，所以上式可将比单位值小得多的单位值小得多的 略去，得略去，得因此，剪应变为：因此，剪应变为：vudxdyA AB BC CD Ddxxuu+dxxvv+dyyuu+dyyvv+A BCDDBbax xy y0 0图 2-522几何方程几何方程-应变与位移的关系应变与位移的关系以上是考察了体素在以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况，一个平面内的变形情况，同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在xoz和和yoz平面内的变形情况，平面内的变形情况，可得：可得：联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间联立得到几何方程，表

20、明应变分量与位移分量之间的关系。的关系。23（3）几何方程的矩阵表示）几何方程的矩阵表示可可以以证证明明，如如果果弹弹性性体体内内任任一一点点，已已知知这这三三个个垂垂直直方方向向的的正正应应变变及及其其相相应应的的三三个个剪剪应应变变，则则该该点点任任意意方方向向的的正正应应变变和和任任意意二二垂垂直直线线间间的的剪剪应应变变均均可可求求出出，当当然然也也可可求求出出它它的的最最大大和和最最小小正正应应变变。因因此此，这这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该该点点的的应应变变分分量量，它它们们就就称称为为该该点点的的应应变变分分量量。六六个个应应变变分分量的总体，可以用一个列矩阵量的总体，

21、可以用一个列矩阵 来表示：来表示：24（4）刚体位移）刚体位移由几何方程由几何方程(2-3)可见，当弹性体的位移分量完全确可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在试在(2-3)中令：中令：有：有：积分后，得积分后，得式中式中:是积分常数是积分常数25积分常数的几何意义积分常数的几何意义 代代表表弹弹性性体

22、体沿沿x方方向向的的刚刚体体移移动动。及及 分分别别代代表表弹弹性性体体沿沿y方方向向及及Z方方向向的的刚体移动。刚体移动。代代表表弹弹性性体体绕绕Z轴轴的的刚刚体体转转动动。同同样样，及及 分分别别代代表表弹弹性性体体绕绕x轴轴及及y轴轴的刚体位移。的刚体位移。为为了了完完全全确确定定弹弹性性体体的的位位移移，必必须须有有六六个个适适当当的的约约束束条条件件来确定来确定 这六个刚体位移。这六个刚体位移。r rx xy yozozx xy yP Pxzwyzwaq图 2-626当沿当沿X轴方向的两个对轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质在满

23、足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在度的任何改变，而其在X方方向的单位伸长则为向的单位伸长则为式中式中E为弹性模量。为弹性模量。弹弹性性体体在在X方方向向的的伸伸长长还还伴伴随随有有侧侧向向收收缩缩，即即在在y和和Z方方向向的的单单位位缩缩短短可可表表示示为：为：式中式中 为泊松系数。为泊松系数。应力分量与应变分量之间的关系应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律虎克定律（5）物理方程）物理方程-应力应变关系应力应变关系27单单位位伸伸长长与与应应力力之之间间的的关关系系完完全全由由两两个个物物理理常常数数E及及 所所确确定定。两两个个常常数数

24、也也可可用用来来确确定定剪剪应应力与剪应变之间的关系。力与剪应变之间的关系。设设图图中中的的弹弹性性体体在在各各面面上上都都受受有有均均匀匀分分布布的的正正应应力力，则则合合成成应应变变的的分分量量前前述述两两式式求求得得。实实验验证证明明，只只须须将将三三个个应应力力中中的的每每一一应应力力所所引引起起的的应应变变分分量量叠叠加加，就就得得到到合合成成应应变的分量。变的分量。物理方程物理方程-应力应变关系应力应变关系28 如如果果弹弹性性体体的的各各面面有有剪剪应应力力作作用用，如如图图所所示示，任任何何两两坐坐标标轴轴的的夹夹角角的的改改变变仅仅与与平平行行于于这这两两轴轴的的剪剪应应力力

25、分分量有关，即得到：量有关，即得到：式式中中G称称为为剪剪切切模模量量，它它与与弹弹性性模模量量E，波桑系数，波桑系数 存在如下的关系：存在如下的关系：因因此此，由由三三个个正正应应力力分分量量与与三三个个剪剪应应力力分分量量引引起起的的一一般般情情形形的的应应变变，可可用用叠叠加加法法求求得得；即即将将六六个个关关系系式式写写在在一一起起，得得右右式式，称称为为弹弹性性方方程程或或物物理理方方程程，这这种种空空间间状状态态的的应应力力应应变变关系称为广义虎克定律关系称为广义虎克定律。物理方程物理方程-应力应变关系应力应变关系29将将应应变变分分量量表表示示为为应应力力分分量量的的函函数数，可

26、可称称为为物物理理方方程程的的第第一一种种形形式式。若若将将式式改改写写成成应应力力分分量量表表为为应应变变分分量量的的函函数数的的形式，可得物理方程的第二种形式：形式，可得物理方程的第二种形式：物理方程物理方程-应力应变关系应力应变关系30物理方程物理方程矩阵的形式表示如下：矩阵的形式表示如下：可简写为：可简写为：31D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和和327.4两种平面问题两种平面问题弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，何一个弹性体都是空间物体，

27、一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。应变分量和应力分量即可。（1）平面应力问题）平面应力问题 （2）平面应变问题）平面应变问题33厚厚度度为为t的的很很薄薄的的均均匀匀木木板板。只只在在边

28、边缘缘上上受受到到平平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变变化化的的面面力力，同同时时，体体力力也也平平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变变化。化。以以薄薄板板的的中中面面为为xy面面，以以垂垂直直于于中中面面的的任任一一直直线线为为Z轴轴。由由于于薄薄板板两两表表面面上上没没有有垂垂直直和和平平行行于于板板面面的的外外力力，所所以以板板面面上上各点均有：各点均有：另另外外由由于于平平板板很很薄薄，外外力力又又不不沿沿厚厚度度变变化化，可可认认为为在在整整个个薄板内各点均有：薄板内各点均有：于于是是，在在六六个个应应力力分分量量中中，只只需需要要研研究究剩剩下下的的平平行行于于XOY平平

29、面面的的三三个个应应力力分分量量，即即 ，所所以以称称为为平平面面应应力力问题。问题。(1)平面应力问题平面应力问题34平面应力问题平面应力问题35一般应力状态一般应力状态可以简化为：可以简化为：平面应力问题平面应力问题36物物理理方方程程中中后后两两式式可可见见，这这时时的的剪剪应变：应变：由物理方程中的第三式可见：由物理方程中的第三式可见：一一般般 ，并并不不一一定定等等于于零零，但但可可由由 及及 求求得得，在在分分析析问问题题时不必考虑。于是只需要考虑时不必考虑。于是只需要考虑 三三个个应应变变分分量量即即可可，于于是是应变矩阵简化为：应变矩阵简化为：平面应力问题平面应力问题37物理方

30、程简化为：物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：平面应力问题平面应力问题38将上式用矩阵方程表示：将上式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为：平面应力问题平面应力问题39只有只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程：三个应变分量需要考虑，所以几何方程：平面应力问题平面应力问题可简化为：可简化为：40一一纵纵向向(即即Z向向)很很长长，且且沿沿横横截截面面不不变变的的物物体体，受受有有平平行行于于横横截截面面而而且且不不沿沿长长度度变变化化的的面面力力和和体体力力，如图右所示。如图右所示。由由于

31、于物物体体的的纵纵向向可可近近似似地地作作为为无无限限长长考考虑虑，截截面面尺尺寸寸与与外外力力又又不不沿沿长长度度变变化化；当当以以任任一一横横截截面面为为xy面面，任任一一纵纵线线为为Z轴轴时时，则则所所有有一一切切应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都不不沿沿Z方方向向变变化化，它它们们都都只只是是x和和y的的函函数数。此此外外，由由于于对对称称(任任一一横横截截面面都都可可以以看看作作对对称称面面)，所所有有各各点点都都只只会会有有x和和y方方向向的的位位移移而而不不会有会有Z方向的位移，即方向的位移，即 w=0。这种问题称为平面应变问题。这种问题称为平面应变问题。

32、（2）平面应变问题平面应变问题41既然既然w=0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由几何方程：的函数，由几何方程：可见可见 。于是只剩下三个应变分量。于是只剩下三个应变分量 ，平面应变时几何方程仍然简化为：平面应变时几何方程仍然简化为：平面应变问题平面应变问题42因为因为由物理方程中后两式可见由物理方程中后两式可见又由物理方程中的第三式可见：又由物理方程中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然在平面应变问题中，虽然 ，但但 一般并不等于零，不过它可以由一般并不等于零，不过它可以由 及及 求得，在分析问题时不必考求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量虑，于是也就只有三个

33、应力分量 需要考虑。即需要考虑。即平面应变问题平面应变问题43物理方程简化为：物理方程简化为：平面应变问题平面应变问题44将上式用矩阵方程表示：将上式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则为：则为：平面应变问题平面应变问题457.5轴对称问题轴对称问题1）几何形状关于轴线对称；）几何形状关于轴线对称；2）作用于其上的载荷关于轴线对称。）作用于其上的载荷关于轴线对称。3）约束条件关于轴线对称。）约束条件关于轴线对称。zrxp柱坐标系柱坐标系（1）轴对称问题特点）轴对称问题特点因过因过z z轴的任一子午面都是对称面，其轴的任一子午面都是对称面，其上任一点上任一点p

34、 p只在该平面上发生位移，即弹性只在该平面上发生位移，即弹性体内任一点的位移、应力与应变只与坐标体内任一点的位移、应力与应变只与坐标r r、z z有关，与有关，与 无关。从而，轴对称问题可转无关。从而，轴对称问题可转化为二维问题，但因与平面问题有区别，常化为二维问题，但因与平面问题有区别，常称为二维半问题。称为二维半问题。46位移分量位移分量应力分量应力分量应变分量应变分量（2）轴对称问题轴对称问题基本变量基本变量47 基本方程：基本方程：几何方程：几何方程：物理方程：物理方程：（3）轴对称问题基本方程轴对称问题基本方程487.6 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图示示一一平平衡衡的的杠

35、杠杆杆，对对C点点写写力力矩矩平衡方程：平衡方程：图图2-8b表表示示杠杠杆杆绕绕支支点点C转转动动时时的的刚体位移图：刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：式式是是以以功功的的形形式式表表述述的的。表表明明：图图a的的平平衡衡力力系系在在图图b的的位位移移上上作作功功时时，功功的的总总和和必必须须等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚功原理。功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBDADCBA B A图 2-849 进进一一步步分分析析。当当杠杠杆杆处处于于平平衡衡状状态态时时，和和 这这两两个个位位移移是是不不存存在在的的，但但是是如如果果某某种种原原因因，例例如如人人为为地地振振一一下

36、下让让它它倾斜，一定满足该式的关系。倾斜，一定满足该式的关系。将将这这个个客客观观存存在在的的关关系系抽抽象象成成一一个个普普遍遍的的原原理理:对对于于在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的任任何何物物体体，不不用用考考虑虑它它是是否否真真正正发发生生了了位位移移，而而假假想想它它发发生生了了位位移移，(由由于于是是假假想想，故故称称为为虚虚位位移移)，那那么么，物物体体上上所所有有的的力力在在这这个个虚虚位位移移上上的的总总功功必必定定等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚位位移移原原理理，也也称称虚虚功功原原理理。在在图图2-8a中中的的 和和 所所作作的的功功就就不不是是发发生

37、生在在它它本本身身(状状态态a)的的位位移移上上，(因因为为它它本本身身是是平平衡衡的的，不不存存在在位位移移)，而而是是在在状状态态(b)的的位位移移上上作作的的功功。可可见见，这这个个位位移移对对于于状状态态(a)来来说说就就是是虚虚位位移移，亦即是状态亦即是状态(a)假象的位移。假象的位移。（1）虚功原理）虚功原理50必必须须指指出出，虚虚功功原原理理的的应应用用范范围围是是有有条条件件的的，它它所所涉涉及及到到的的两两个个方方面面，力力和和位位移移并并不不是是随随意意的的。对对于于力力来来讲讲，它它必必须须是是在在位位移移过过程程中中处处于于平平衡衡的的力力系系；对对于于位位移移来来讲

38、讲，虽虽然然是是虚虚位位移移，但但并并不不是是可可以以任任意意发发生生的的。它它必必须须是是和和约约束束条条件件相相符合的微小的刚体位移。符合的微小的刚体位移。还还要要注注意意，当当位位移移是是在在某某个个约约束束条条件件下下发发生生时时，则则在在该该约约束束力力方方向向的的位位移移应应为为零零，因因而而该该约约束束力力所所作作的的虚虚功功也也应应为为零零。这这时时该该约约束束力力叫叫做做被被动动力力。(如如图图中中的的反反力力 ，由由于于支支点点C没有位移，故没有位移，故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零)。反之，如图中的。反之，如图中的 和和是是在在位位移移过过程程中中作作功功的的力力，称

39、称为为主主动动力力。因因此此，在在平平衡衡力力系系中中应应当当分分清清楚楚哪哪些些是是主主动动力力，哪哪些些是是被被动动力力，而而在在写写虚虚功功方方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功原理虚功原理51虚功原理表述如下：虚功原理表述如下：在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的体体系系，当当发发生生与与约约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的虚虚刚刚体体位位移移时时，体体系系上上所所有有的的主主动动力力在在虚位移上所作的总功虚位移上所作的总功(各力所作的功的代数和各力所作的功的代数和)恒对于零。恒对于零。虚功原

40、理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中这就是虚功方程，其中P P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程52弹性变形体情况l 虚功原理虚功原理-用于弹用于弹性体的情况性体的情况外力功：应变能系统变形能系统总势能53由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功；外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功；内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称

41、虚应变能。表内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能。表示如下：示如下：虚虚应应变变能能外力虚功外力虚功虚位移分量虚位移分量虚应变分量虚应变分量（2）弹性力学虚功方程及最小势能原理弹性力学虚功方程及最小势能原理54最小势能原理：最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所有表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。最小势能原

42、理最小势能原理T为外力功，即外力势能；为外力功，即外力势能；U为弹性体变形势能；为弹性体变形势能；W为弹性为弹性体的总势能体的总势能55i点外力分量点外力分量j点外力分量点外力分量外外力力分分量量用用 表表示示；引引起起的的应应力力分分量量用用 表表示示y yz zx x0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况用于弹性体的情况56假设发生了虚位移假设发生了虚位移虚位移分量为虚位移分量为用用 表表示示；引引起起的的虚应变分量用虚应变分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj图

43、2-9虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况用于弹性体的情况57在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中式中 是是 的转置矩阵。的转置矩阵。同同样样，在在虚虚位位移移发发生生时时，在在弹弹性性体体单单位位体体积积内内，应应力力在在虚应变上的虚功是：虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：根据虚功原理得到：这这就就是是弹弹性性变变形形体体的的虚虚功功方方程程矩矩阵阵表表示示，它它通通过过虚虚位位移移和和虚虚应应变变表表明明外外力力与与应应力力之之间间

44、的的关关系系。这这是是以以后后推推导导有有限限元元方程的基础。方程的基础。虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况用于弹性体的情况58弹性体的虚功方程：弹性体的虚功方程：简化为：简化为：其中：其中：（3）平面应力问题虚功方程平面应力问题虚功方程59平平面面应应变变问问题题，由由于于在在Z方方向向没没有有外外力力，应应力力和和应应变变也也不不沿沿Z方方向向变变化化，所所以以虚虚功功方方程程仍仍然然适适用用，其其中中的的t可可以以取取为为任任意数值，但意数值，但F必须是这个必须是这个t范围内的外力。范围内的外力。需需要要说说明明一一下下，工工程程中中有有许许多多问问题题很很接接近近于

45、于平平面面应应变变问问题题，如如受受内内压压力力的的圆圆管管、滚滚柱柱轴轴承承中中的的滚滚柱柱等等等等，但但它它们们的的沿沿Z向向长长度度都都不不是是无无限限长长的的。故故在在靠靠近近两两端端的的部部分分，其其应应力力应应变变状状态态比比较较复复杂杂，并并不不符符合合平平面面应应变变问问题题的的条条件件；因因此此将将这这类类问问题题当当作作平平面面应应变变问问题题来来考考虑虑时时，对对于于离离开开两两端端有有一一定定距距离离的的地地方方，得得出出的的结结果果还还是是相相当当满满意意的的；但但对对靠靠近近两两端端的的部部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。位，却有较大的出入，往往需要加以处理。（4）平面应变问题）平面应变问题60有限元法实质上是变分法的一种发展和具体应用有限元法实质上是变分法的一种发展和具体应用虚功原理虚功原理变分原理变分原理有有限限元元计计算算格格式式用于结构问题，如用于结构问题，如弹性力学等弹性力学等具有普遍性，如温具有普遍性，如温度场、流体场等度场、流体场等有限元法的数学基础有限元法的数学基础61