状态空间表达式的解精选课件.ppt

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1、关于状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第一页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解(见第三章和第四章见第三章和第四章)第二页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解第三页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解第四页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解第五页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解 2-1 线线性定常性定常齐齐次状次状态态方程的解方程的解-自由解自由解 所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运

2、动，其状态方程为：其状态方程为：其唯一确定的解为其唯一确定的解为:若若t0=0,则有则有 eAt 为一矩阵指数函数，为一矩阵指数函数，它是一个它是一个nn的方阵的方阵 第六页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解矩阵指数函数矩阵指数函数:2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数-状状态转态转移矩移矩阵阵从从可看出可看出:形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间素随时间t变化的变化的nn矩阵。但本质上，它的作用是将矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量时刻的系统状态矢量转移到转移到t时刻的状态矢量时刻的状态矢量 也就是说它起到了系统状态转移的

3、作用，所以我们称之为也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：，并记：由此若已知状态转移矩阵和初始状态由此若已知状态转移矩阵和初始状态,即可求的任意时刻的状态即可求的任意时刻的状态.第七页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解*状态转移矩阵的基本性质状态转移矩阵的基本性质*性质性质1：组合性质：组合性质性质性质2：性质性质3：转移矩阵的逆意味着时间的逆转转移矩阵的逆意味着时间的逆转第八页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解性质性质4：性质性质5：对于对于n阶方阵阶方阵A和和B,当当

4、且仅当且仅当AB=BA:即即A,B可交可交换时换时,有有:、证明过程见现代2-P6证明过程见现代2-P6可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A第九页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解*几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵*1.若若A为对角阵为对角阵2.若若A能够通过非奇异变换对角化能够通过非奇异变换对角化,即即:存在存在T使使则则则则证明过程见现代2P8证明过程见现代2P9第十页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解3.若若A为为Jordan矩阵矩阵.即即:则则证明过程见现代2P9第十一页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解*状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算*1

5、.根据定义直接计算根据定义直接计算:2.利用拉普拉斯反变换利用拉普拉斯反变换对对两边取拉氏变换，得：两边取拉氏变换，得：拉氏反变换，得：拉氏反变换，得：第十二页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解3.变换变换A为为Jordan标准型标准型(1)A的特征根互异的特征根互异:存在非奇异变换阵存在非奇异变换阵T使使A成为对角阵成为对角阵第十三页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解(2)A的特征根有重根的特征根有重根:存在非奇异变换阵存在非奇异变换阵T使使A成为成为Jordan型型第十四页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解4.应用凯莱应用凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理(Cay

6、leyHamilton)求求eAT考虑考虑nXn维矩阵维矩阵A及其特征方程及其特征方程:凯莱凯莱-哈密尔顿定理指出哈密尔顿定理指出:矩阵矩阵A满足其自身的特征方程满足其自身的特征方程,即即:由此可得由此可得:其中其中i(t)可计算如下可计算如下:第十五页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解(1)A的特征值互异时的特征值互异时:第十六页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解(2)A的特征值为重根时的特征值为重根时:第十七页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解Example:1.Example:2.第十八页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解 2-3 线性定常系统非齐

7、次方程的解线性定常系统非齐次方程的解线性定常非齐次状态方程为：线性定常非齐次状态方程为：从物理意义上看，系统从从物理意义上看，系统从时刻的初始状态时刻的初始状态开始，在外界控制开始，在外界控制的作用下运动。要求系统在任意的作用下运动。要求系统在任意采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，上式可写成：采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，上式可写成：时刻的状态时刻的状态,则必须求解上述微分方程。则必须求解上述微分方程。第十九页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解两边同时左乘两边同时左乘，得：，得：根据矩阵微积分知识，上式进一步有：根据矩阵微积分知识，上式进一步有：两边同时在两边同时在区间积

8、分，得：区间积分，得：两边同时左乘两边同时左乘 并整理得：并整理得：即即：第二十页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解，当初始时刻为当初始时刻为t0=0时时,初始状态初始状态x(t0)=x(0)时时,其解为其解为:当初始时刻为当初始时刻为t0时时,初始状态初始状态x(t0)时时,其解为其解为:第一部分是在初始状态第一部分是在初始状态作用下的自由运动作用下的自由运动，的作用下的强制运动的作用下的强制运动。第二部分为在系统输入第二部分为在系统输入第二十一页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解 在特定控制作用下在特定控制作用下,如脉冲函数如脉冲函数,阶跃函数和斜坡函数的激励阶跃函数和

9、斜坡函数的激励下下,系统的全响应解可以简化为一些公式系统的全响应解可以简化为一些公式:1.脉冲函数脉冲函数2.阶跃函数阶跃函数3.斜坡函数斜坡函数第二十二页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解1 脉冲信号输入，即脉冲信号输入，即：时时即：即：第二十三页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解2 阶跃信号输入，即阶跃信号输入，即 第二十四页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解【例例28】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：解：根据上面的式子解：根据上面的式子其中其中，K=1第二十五页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解在

10、例在例26中已求的：中已求的：第二十六页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图所示：%Example Example 2-8grid;xlabel(时间轴);ylabel(x代表x1，-*代表x2);t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,x,t,x2,*)end第二十七页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解 2-4 线性时变系统状态方程的解线性时变系统状态方程的解线性时变系统线性时变系统:1.齐次方程的解齐次方程的解:2.状态转移矩阵

11、的基本性质状态转移矩阵的基本性质:一般不可交换一般不可交换第二十八页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解3.线性时变系统非齐次方程的解线性时变系统非齐次方程的解若若的的A(t)和和B(t)的各元素在时间区的各元素在时间区间间 内分段连续内分段连续,则有则有:4.状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算:第二十九页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解第三十页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解 2-5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和（迭代法）和Z变换法。前者对定

12、常、时变系统都适用，变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。对于线性定常离散系统状态方程：对于线性定常离散系统状态方程：依次取依次取得：得：第三十一页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解当初始时刻为当初始时刻为h时，同理可推出：时，同理可推出：或或:离散系统的状态转移矩阵离散系统的状态转移矩阵:第三十二页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解例例2-11:离散系统的状态方程为离散系统的状态方程为:我们可以在我们可以在MATLAB中，直接通过递推法求出各中，直接通过递推法求出各值值X=1;1;U=1;G

13、=0 1;-0.16-1;H=1;1;for k=0:400 X=G*X+H*U plot(X(1),X(2),o);end第三十三页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解 2-6 连续时间系统状态空间表达式的离散化连续时间系统状态空间表达式的离散化 数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规离散化。另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化

14、控制，同样也需要先进行离散化划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。设连续系统动态方程为：设连续系统动态方程为：系统离散化的原则是：在每个采样系统离散化的原则是：在每个采样时刻时刻 ，其中，其中T为为采样周期）采样周期）系统离散化前后的系统离散化前后的 保持不变。保持不变。而采样的方法是在而采样的方法是在t=kT时刻对时刻对U(t)值采样得值采样得U(kT)，并通过零阶保，并通过零阶保持器，使持器，使 的值在的值在 时间段保持不变时间段保持不变。第三十四页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为：根据上述离散化原则，我们有离散化后的

15、动态方程为：上述输出方程应该很容易理解，它表示上述输出方程应该很容易理解，它表示kT时刻离散系统的输出时刻离散系统的输出Y(kT)和输入和输入U(kT)及其系统状态量及其系统状态量X(kT)的关系，它应该与离散的关系，它应该与离散化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程，即求出程，即求出其中：其中：近似计算近似计算:T0.1时时:G=TA+I;H=TB第三十五页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解【例213】试将下列状态方程离散化解：第三十六页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解第三十七页，本课件共有43

16、页控制系统状态空间表达式的解在MATLAB中，语句C2D可直接求出连续系统的离散化方程。%Example 3-8 Continuous to discrete systemA=0 1;0-2;B=0;1;T=0.01G,H=c2d(A,B,T)end运行结果为：G=1.00000.009900.9802H=0.00000.0099第三十八页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解应掌握的内容：应掌握的内容：矩阵指数函数的定义矩阵指数函数的定义状态转移矩阵的定义及性质状态转移矩阵的定义及性质 状态转移矩阵的计算方法状态转移矩阵的计算方法由定义计算由定义计算使用约旦标准型使用约旦标准型拉氏变换拉氏变换使用凯莱使用凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解第三十九页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解了解的内容：时变系统解的表达式离散系统的递推求解，离散系统的状态转移矩阵离散系统的Z变换求解连续时间状态空间表达式的离散化第四十页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解第四十一页，本课件共有43页控制系统状态空间表达式的解第四十二页，本课件共有43页感感谢谢大大家家观观看看第四十三页，本课件共有43页