高数方向导数与梯度优秀PPT.ppt

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1、高数方向导数与梯度高数方向导数与梯度第一页，本课件共有34页 讨论函数 在一点 P 沿某一方向的变化率问题一、方向导数的定义一、方向导数的定义设函数 在点的某一领域 内有定义，自点 引射线 .设 轴正向到射线 的转角为 ，并设 为 上的另一点且 （如图）第二页，本课件共有34页是否存在？考虑当 沿着 趋于 时，第三页，本课件共有34页 函数的增量函数的增量f(x+x，y+y)f(x，y)与与P、P两点间的距离即两点间的距离即 设函数设函数 z=f(x，y)在点在点P(x，y)的某一的某一邻域邻域 U(P)内有定义，自点内有定义，自点 P 引射线引射线 l。设设x 轴正向到射线轴正向到射线l l

2、的转角为的转角为,并设并设P(x+x，y+y)为为 l 上的另一点上的另一点（如图）且（如图）且PU(P)。我们考虑。我们考虑xOyyxPPl1.1.方向导数的定义方向导数的定义第四页，本课件共有34页当当P沿着沿着l 趋于趋于P 时，如果这个比的极限存在，时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数则称这极限为函数f(x，y)在点在点P P 沿方向沿方向l 的方向导数的方向导数第五页，本课件共有34页 （1 1）从定义可知，当函数）从定义可知，当函数f(x，y)在点在点P(x，y)的的偏导数偏导数 fx、fy 存在时，存在时，函数函数 f(x，y)在点在点 P 沿着沿着x轴正向轴正向 e1=，

3、,y轴正向轴正向e2=，的方向导数存在的方向导数存在,且其值依次为且其值依次为fx，fy.方向导数与偏导数之间的关系方向导数与偏导数之间的关系第六页，本课件共有34页函数函数 f(x，y)在点在点 P 沿沿x轴负向轴负向 e1=，),y轴负向轴负向e2=，的方向导数也存在的方向导数也存在,且其值依次为且其值依次为fx，fy 。第七页，本课件共有34页例如例如 但但fx(，)、fy(，)不存在。不存在。在点在点(，)处处（2 2）即使沿）即使沿 的方向导数都存在，的方向导数都存在，也不能保证也不能保证 存在存在 第八页，本课件共有34页证明证明:由于函数可微，则增量可表示为两边同除以，得到3.3

4、.方向导数的计算方法方向导数的计算方法定理定理 7.6.1 若 在点 处可微，则函数在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且 第九页，本课件共有34页故有方向导数注：若方向 （看成向量）的方向角为 则第十页，本课件共有34页对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角第十一页，本课件共有34页例例1.求函数在点处沿从点到点 的方向的方向导数。解：解：这里方向即向量的方向与同向的单位向量为因函数可微分，且故所求方向导数为第十二页，本课件共有34页4、三元函数的方向导数、三元函数的方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导

5、数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:记作记作 第十三页，本课件共有34页定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,得故第十四页，本课件共有34页例例2.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为第十五页，本课件共有34页例例3.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为第十六页，本课件共有34页例例4.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数第十七页，

6、本课件共有34页二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：第十八页，本课件共有34页1.梯度的定义（定义梯度的定义（定义7.6.2）即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义第十九页，本课件共有34页函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数 f 的等值线等值线.则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为指向函数增大

7、的方向.第二十页，本课件共有34页3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式为了计算方便，引入符号 称为 Hamilton 算子，即第二十一页，本课件共有34页例例5.设，求（）在处增加最快的方向以及沿着这个方向的方向导数；（）在处减少最快的方向以及沿着这个方向的方向导数；（）在处的变化率为零的方向。解：解：在处沿的方向增加最快所求方向可取为（）第二十二页，本课件共有34页方向导数为在处沿的方向减少最快（）所求方向可取为方向导数为（）在处沿垂直于的方向变化率为零，这方向是第二十三页，本课件共有34页例例6.证证:试证处矢径 r 的模,第二十四页，本课件共有34页三、物理意义三、物理意义函数(物理

8、量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.第二十五页，本课件共有34页例例7.试求数量场所产生的梯度场，其中常数为原点与点间的距离。解：解：同理从而第二十六页，本课件共有34页例例8.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证:利用例6的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.第二十七页，本课件共有34页内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角

9、为第二十八页，本课件共有34页2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.第二十九页，本课件共有34页思考与练习思考与练习1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .第三十页，本课件共有34页曲线1.(1)在点解答提示:函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第三十一页，本课件共有34页第三十二页，本课件共有34页备用题备用题 1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)第三十三页，本课件共有34页指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示提示:则(96考研考研)第三十四页，本课件共有34页