曲线积分与曲面积分精选课件.ppt

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1、关于曲线积分与曲关于曲线积分与曲面积分面积分第一页，本课件共有88页一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分在曲线弧上对弧长的曲线积分第二页，本课件共有88页2.存在条件：存在条件：3.推广推广第三页，本课件共有88页4.性质性质 第四页，本课件共有88页5、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理第五页，本课件共有88页注意注意:第六页，本课件共有88页例例1解解第七页，本课件共有88页例例2解解例例3解解第八页，本课件共有88页例例3解解由对称性由对称性,知知第九页，本课件共有88页练习题练习题第十页，本课件

2、共有88页练习题答案练习题答案第十一页，本课件共有88页二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义:函数函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标 x 的曲线积分的曲线积分类似地定义类似地定义第十二页，本课件共有88页2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式第十三页，本课件共有88页4.4.推广推广第十四页，本课件共有88页5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第十五页，本课件共有88页6、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算定理定理第十六页，本课件共有88页第十七页，本课件共有88页第十八页

3、，本课件共有88页例例1解解第十九页，本课件共有88页第二十页，本课件共有88页例例2解解第二十一页，本课件共有88页问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同径不同积分结果不同.第二十二页，本课件共有88页例例3解解第二十三页，本课件共有88页第二十四页，本课件共有88页问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同不同而积分结果相同.第二十五页，本课件共有88页(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）第

4、二十六页，本课件共有88页思考题思考题第二十七页，本课件共有88页思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.第二十八页，本课件共有88页第二十九页，本课件共有88页练习题答案练习题答案第三十页，本课件共有88页1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则否则称为复连通区域称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD三三、格林公式、格林公式第三十一页，本课件共有88页2.2.格林公式格林公式定理定

5、理1 1第三十二页，本课件共有88页边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D总在他的左边总在他的左边.第三十三页，本课件共有88页第三十四页，本课件共有88页xyoLAB 第三十五页，本课件共有88页第三十六页，本课件共有88页解解第三十七页，本课件共有88页xyoLyxo第三十八页，本课件共有88页xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)第三十九页，本课件共有88页 若区域若区域 如图为复如图为复连通域，试描述格林公连通域，试描述格林公式中曲线积分中式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题第四十页，本课件共有88页思考题解答思考题解答

6、由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：第四十一页，本课件共有88页Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.1.定义：如果在区域定义：如果在区域G内有内有第四十二页，本课件共有88页2.2.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件定理定理2 2第四十三页，本课件共有88页两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：第四十四页，本课件共有88页定理定理3 3第四十五页，本课件共有88页第四十六页，本课件共有88页解解第四十七页，本课件共有88页解解第四十八页，本课件共有88页第四十九页，本课件共有88页四、小结四

7、、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题第五十页，本课件共有88页第五十一页，本课件共有88页第五十二页，本课件共有88页练习题答案练习题答案第五十三页，本课件共有88页五、对面积的曲面积分五、对面积的曲面积分1.1.定义定义第五十四页，本课件共有88页2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质第五十五页，本课件共有88页3、计算法、计算法则则第五十六页，本课件共有88页则则第五十七页，本课件共有88页例例1 1解解第五十八页，本课件共有88页第五十九页，本课件共有88页解解依对称性知：依对称性知：第六十页，本课件共有88页第六十一页，本课件共有

8、88页第六十二页，本课件共有88页练练 习习 题题第六十三页，本课件共有88页第六十四页，本课件共有88页练习题答案练习题答案第六十五页，本课件共有88页六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧第六十六页，本课件共有88页曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:第六十七页，本课件共有88页2 2、概念及性质、概念及性质第六十八页，本课件共有88页类似可定义类似可定义第六十九页

9、，本课件共有88页存在条件存在条件:组合形式组合形式:第七十页，本课件共有88页性质性质:第七十一页，本课件共有88页3 3、计算法、计算法第七十二页，本课件共有88页第七十三页，本课件共有88页注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.第七十四页，本课件共有88页解解第七十五页，本课件共有88页第七十六页，本课件共有88页练练 习习 题题第七十七页，本课件共有88页练习题答案练习题答案第七十八页，本课件共有88页七、高七、高 斯斯 公公 式式第七十九页，本课件共有88页GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲

10、表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知第八十页，本课件共有88页解解第八十一页，本课件共有88页(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)第八十二页，本课件共有88页使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:第八十三页，本课件共有88页第八十四页，本课件共有88页解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用高为利用高斯公式斯公式第八十五页，本课件共有88页第八十六页，本课件共有88页故所求积分为故所求积分为第八十七页，本课件共有88页练习题练习题第八十八页，本课件共有88页