高等数学不定积分的定义优秀PPT.ppt

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1、高等数学课件不定积高等数学课件不定积分的定义分的定义$1不定积分的概念不定积分的概念1第一页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念2前言前言 在第二章中讨论了求已知函数导数的问题在第二章中讨论了求已知函数导数的问题,在在科学技术领域科学技术领域 中中,还常常遇到相反的问题还常常遇到相反的问题.即即已知已知一个函数的导数一个函数的导数,如何求这个函数如何求这个函数?如如:一质点作非匀速直线运动的规律为一质点作非匀速直线运动的规律为s=s(t),则在时刻则在时刻t的速度的速度 反之反之,若已知质点运动的速度为若已知质点运动的速度为v(t),如何求质如何求质点的运动规律点的运动规律s=s

2、(t)?这在数学上归结为这在数学上归结为求导运算的逆运算求导运算的逆运算,称之为称之为不定积分法不定积分法.第二页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念3例 S(t)是v(t)的原函数定义定义Definition：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 Concept of Concept of antiderivative and indefinite integralantiderivative and indefinite integral第三页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念4原函数存在原函数存在定理定理 theorem简言之：简言之：连续函

3、数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？第四页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念5关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原数，的原数，则则（C 为某个常数）为某个常数）证证Proof（C 为某个常数）为某个常数）若若F(x)是是f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则F(x)+c就是就是f(x)的全体原函数的全体原函数.(c为任意常数为任意常数)第五页，本课件共有3

4、3页$1不定积分的概念不定积分的概念6任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：Definition of indefinite integral：被被积积表表达达式式积积分分变变量量第六页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念7例例 Example Example 1 1 求求解解解解例例 Example Example 2 2 求求第七页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念8例例 Example 3 Example 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此一点处的切线

5、斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程曲线方程.解解 solution设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为第八页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念9 显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.Y=F(x)+C的图形是的图形是f(x)的全部积分曲线所构的全部积分曲线所构成的积分曲线族成的积分曲线族.积分曲线族里所有积分曲线在点积分曲线族里所有积分曲线在点x处的切线处的切线彼此平行，斜率均为彼此平行，斜率均为f(x).如下图如下图第九页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念1

6、0 xyoxy=F(x)第十页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念11结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的的.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知如初等数学中如初等数学中:与与与与arcsin(sinx)=x(x为为弧度），sin(arcsinx)=x(x为实数）乘方与开方互逆乘方与开方互逆指数与对数互逆指数与对数互逆第十一页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念12实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此既然积分运算和微分运算是互逆的，因

7、此可以根据求导公式得出积分公式可以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表 Fundamental integral tableFundamental integral table 第十二页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念13基本积分表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为，第十三页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念14(或或-arccotx+C)(或或-arccosx+C)第十四页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念15第十五页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念16例例 Example Example 4 4 求

8、积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）第十六页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念17证证Proof 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质 Properties Properties of of indefinite integralindefinite integral 第十七页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念18例例Example Example 5 5 求积分求积分解解Solution（性质（性质（1）（）（2）称为线性性质，导数与积分都具有）称为线性

9、性质，导数与积分都具有线性运算性质线性运算性质,但但sin(x+y)sinx+siny,ln(x+y)lnx+lny都是非线性运算）都是非线性运算）第十八页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念19例例 Example 6 Example 6 求积分求积分解解第十九页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念20例例 Example 7 Example 7 求积分求积分解解例例 Example 8第二十页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念21例例9.例例10.第二十一页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念22例例11.例例12.例例13.第二十

10、二页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念23例例14例例15例例16（检验结果是否正确，只要把结果求导，看它是否（检验结果是否正确，只要把结果求导，看它是否等于被积函数即可。）等于被积函数即可。）第二十三页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念24例例 Example Example 17 求积分求积分解解说明说明Directions：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.第二十四页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念25解解Solution 所求曲线方程为所求曲线方程为第二

11、十五页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念26基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念原函数的概念不定积分的概念不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、小结小结 Brief summaryBrief summary第二十六页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念27思考题思考题Consideration question符号函数符号函数Sign function 在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？第二十七页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念28思考题解答思考题解答 Solu

12、tion to consideration question不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在内不存在原函数原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没的函数都没有原函数有原函数.第二十八页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念29练习题练习题Exercises 第二十九页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念30第三十页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念31第三十一页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念32练习题答案练习题答案 Answers exercises第三十二页，本课件共有33页$1不定积分的概念不定积分的概念33第三十三页，本课件共有33页