稳定性定义与稳定性条件精选课件.ppt
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1、关于稳定性定义与稳定性条件第一页,本课件共有28页4.1.1 范数的概念范数的概念 1.向量的范数向量的范数 定义定义:n维向量空间维向量空间 的范数定义为的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数矩阵的范数 定义定义:mxn矩阵矩阵A的范数定义为的范数定义为:(4.2)第二页,本课件共有28页 (4.3)4.1.2 平衡状态平衡状态 系系统统没没有有输输入入作作用用时时,处处于于自自由由运运动动状状态态。当当系系统统到到达达某某状状态态,并并且且维维持持在在此此状状态态而而不不再再发发生生变变化化的的,这这样样的的状状态称为系统的态称为系统的平衡状态平衡状态。根根据据平平衡衡状状态态的的定定义义
2、可可知知,连连续续系系统统 的的平平衡衡状状态态 是是满满足足平平衡衡方方程程 即即 的的系系统统状状态态。离离散散系系统统 的的平平衡衡状状态态,是是对对所所有有的的k,都都满满足足平平衡衡方方程程 的的系系统统状态。状态。第三页,本课件共有28页 首先讨论线性系统 的平衡状态。由于平衡状态为 ,因此,当A为非奇异矩阵时,系统只有一个平衡状态 ;当A为奇异矩阵时,系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统,可能有一个平衡状态,也对于非线性系统,可能有一个平衡状态,也可能有多个平衡状态可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。第四页,本课件共有28页 例例4.1 求下列非
3、线性系统的平衡状态求下列非线性系统的平衡状态 解解 由由平平衡衡状状态态定定义义,平平衡衡状状态态 应应满满足足:得非线性系统有得非线性系统有三个平衡状态三个平衡状态:,.第五页,本课件共有28页4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 1.稳定稳定 定义定义:如果对于任意给定的每个实数如果对于任意给定的每个实数 ,都都对应存在着另一实数对应存在着另一实数 ,使得从满足不等使得从满足不等式式 的任意初态的任意初态 出发的系统响出发的系统响应应,在所有的时间内都满足在所有的时间内都满足 则称系统的平则称系统的平衡状态衡状态 是是稳定稳定的的.若若 与与 的选取无关的选取无关,则则称平
4、衡状态称平衡状态 是是一致稳定一致稳定的的.第六页,本课件共有28页l2.渐近稳定渐近稳定 定定义义:若若平平衡衡状状态态 是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的,并并且且当当 时时,,即即 ,则则称平衡状态是称平衡状态是渐进稳定渐进稳定的。的。3.大范围(渐近)稳定大范围(渐近)稳定 定定义义:如如果果对对任任意意大大的的 ,系系统统总总是是稳稳定定的的,则则称称系系统统是是大大范范围围(渐渐进进)稳稳定定的的。如如果果系系统统总总是是渐进稳定的,则称系统是渐进稳定的,则称系统是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。第七页,本课件共有28页 4.不稳定不稳定 定定义义:如如果果对对于
5、于某某一一实实数数 ,不不论论 取取多多小小,由由 内内出出发发的的轨轨迹迹,至至少少有有一一条条轨轨迹迹越越出出 ,则称平衡状态为,则称平衡状态为不稳定不稳定.上上述述定定义义对对于于离离散散系系统统也也是是适适用用的的,只只是是将将连连续时间续时间t理解为离散时间理解为离散时间k。注注意意:稳稳定定性性讨讨论论的的是是系系统统没没有有输输入入(包包括括参参考考输输入入和和扰扰动动)作作用用或或者者输输入入作作用用消消失失以以后后的的自自由由运运动动状状态态。所所以以,通通常常通通过过分分析析系系统统的的零零输输入入响应响应,或者,或者脉冲响应脉冲响应来分析系统的稳定性。来分析系统的稳定性。
6、第八页,本课件共有28页4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件线性定常连续系统的稳定性条件 1.SISO线性定常连续系统稳定的条件线性定常连续系统稳定的条件 设描述设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系统的特征方程为则系统的特征方程为:(4.5)第九页,本课件共有28页 设设特特征征方方程程(4.5)有有k个个实实根根 ,r对对 共共 轭轭 复复 根根 ,则系统的脉冲响应为,则系统的脉冲响应为:(4.6)从上式可以看出:从上式可以看出:1)若若 ,均均为为负负实实部部,则则有有 ,因因此此,当所有特征根的实部都为负时,系统是当所有特征根的实部都
7、为负时,系统是稳定稳定的;的;2)若若 ,中中有有一一个个或或者者几几个个为为正正,则则有有 ,因因此此,当当特特征征根根中中有有一一个个或或者者几几个个为为正正实实部部时时,系统是系统是不稳定不稳定的;的;第十页,本课件共有28页l3)若)若 中有一个或者几个为零中有一个或者几个为零,而其它而其它 ,均为负,则有均为负,则有 为常数。若为常数。若 中有一个或中有一个或者几个为零,而其它者几个为零,而其它 、均为负,则均为负,则y(t)y(t)的的稳态分量则为正弦函数。因此,当特征根中有一个稳态分量则为正弦函数。因此,当特征根中有一个或者几个为零,而其它极点均为负实部时,系统是或者几个为零,而
8、其它极点均为负实部时,系统是一种临界情况,称为一种临界情况,称为临界稳定临界稳定的。临界稳定在李氏的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的,但在工程上是不允许系稳定性意义下是稳定的,但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的,所以,临统工作在临界稳定状态的,所以,临界稳定在工界稳定在工程上是不稳定的。程上是不稳定的。结结论论:线线性性定定常常连连续续系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是,系系统统的的全全部部特特征征根根或或闭闭环环极极点点都都具具有有负负实实部部,或者说都位于复平面左半部。或者说都位于复平面左半部。l 第十一页,本课件共有28页 2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件
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