群的基本概念精选课件.ppt

《群的基本概念精选课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《群的基本概念精选课件.ppt（82页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、关于群的基本概念第一页，本课件共有82页群（群（Group）的概念开始于）的概念开始于19世纪初叶。群论（世纪初叶。群论（GroupTheory）的早期发展归功于著名的数学家高斯（）的早期发展归功于著名的数学家高斯（Gauss）、）、柯西（柯西（Cauchy）、阿贝尔（）、阿贝尔（Abel）、哈密顿（）、哈密顿（Hamilton）、）、伽罗瓦（伽罗瓦（Galois）等。但是直到）等。但是直到1925年出现了量子力学之后，年出现了量子力学之后，才发现它在物理学中许多应用。贝特（才发现它在物理学中许多应用。贝特（Bethe）和维格纳）和维格纳（Wigner）等人很快认识到群论在物理学中的应用，把这

2、一新）等人很快认识到群论在物理学中的应用，把这一新的工具用于计算原子结构和光谱。利用群论方法，的工具用于计算原子结构和光谱。利用群论方法，可以直接对可以直接对体系的许多性质作出定性的了解体系的许多性质作出定性的了解，可以简化复杂的计算可以简化复杂的计算，也可以也可以预言物理过程的发展趋向预言物理过程的发展趋向。目前在物理学和物理化学的许多分支。目前在物理学和物理化学的许多分支中，群论已经成为不可缺少的工具。中，群论已经成为不可缺少的工具。第二页，本课件共有82页群论源于十九世纪初，起源于对群论源于十九世纪初，起源于对代数方程代数方程的研究，它是人们的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结

3、果。群理论被公认为对代数方程求解问题逻辑考察的结果。群理论被公认为十九世十九世纪最杰出的数学成就之一纪最杰出的数学成就之一。群群论论历历史史群论是法国传奇式人物群论是法国传奇式人物伽罗瓦伽罗瓦（Galois，18111832年）的年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题五次方程问题。柯西柯西（Augustin-LouisCauchy,17891857年年)，阿贝尔阿贝尔（NielsHenrikAbel，18021829年）等人也对群论的建立做了很多年）等人也对群论的建立做了很多贡献。贡献。第三页，本课件共有82页阿贝尔简介：（阿

4、贝尔：Abel,18021829）任何一部数学家词典中的第一人，是十九世纪最伟大的数学家之一，是挪威空前绝后的最伟大的学者。后人整理他的遗著花了150年。不幸的挪威数学家阿贝尔第四页，本课件共有82页三百多年弄不清楚的问题：五次及五次以上的方程的公式解法国数学家拉各朗日称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。代数学发展过程中：第五页，本课件共有82页挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代

5、数方程不存在代数解的证明。阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题。可是，由于阿贝尔生前只是个默默无闻的“小人物”，他的发明创造竞没有引起数学界的重视。在失望、劳累、贫困的打击下，阿贝尔不满27岁就离开了人间，使他未能彻底解决这个难题。比如说：为什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精确地判断这些方程呢？他死后第二天，伦敦大学校长的特使，手持校长的邀请函来到挪威师范学院寻找阿贝尔第六页，本课件共有82页殒落的新星1832年5月30日清晨，法国巴黎郊外进行了场决斗。枪声响后，一个青年摇摇晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆离开了人间，死时还不到21岁。死前这个青年沉痛地说：“请原谅我不是为国牺牲。我是为

6、一些微不足道的事而死的。”这个因决斗而死去的青年，就是近代数学的奠基人之一、历史上最年轻的著名数学家伽罗瓦伽罗瓦。1811年10月25日，伽罗瓦出生在法国巴黎附近的一个小镇上。第七页，本课件共有82页更加不幸的法国数学家伽罗瓦伽罗瓦伽罗瓦（1811.10.251832.5.30）浪漫的法国人一直为他们早逝的、划时代的、人类有史以来最聪明的、思想最深刻的、最倒霉的数学家感到自责。他留下了100页数学文稿，被发展成一门艰深、应用广泛的学科-抽象代数或称群论群论。第八页，本课件共有82页经常被老师斥为笨蛋小时候，伽罗瓦并末表现出特殊的数学才能，相反，他12岁进入巴黎的一所公文中学后，还经常被老师斥为

7、笨蛋。伽罗瓦当然不是笨蛋，他性格偏执，对学校死板的教育方式很不适应，渐渐地，他对很多课程都失去了兴趣，学习成绩一直很一般。第九页，本课件共有82页伽罗瓦遇到了数学教师里沙在中学的第三年，伽罗瓦遇到了数学教师里沙。里沙老师非常善于启发学生思维，他把全部精力都倾注在学生身上，还常常利用业余时间去大学听课，向学生传授新知识。很快，伽罗瓦就对数学产生了极大的兴趣。他在里沙老师的指导下，迅速学完了学校的数学课程，自学了多名数学大师的著作。第十页，本课件共有82页他盯上了著名的世界数学难题不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公式问题。16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式

8、。这个公式公布后没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出一个这样的求根公式。第十一页，本课件共有82页站在巨人阿贝尔的肩膀上面这样的求根公式究竟有没有呢?在伽罗瓦刚上中学不久，年轻的挪威数学家阿贝尔已经作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。第十二页，本课件共有82页伽罗瓦向世纪难题发起了挑战1828年，也就是阿贝尔去世的前一年，伽罗瓦也向这个数学难题发

9、起了挑战。他自信找到了彻底解决的方法，便将自己的观点写成论文，寄给法国巴黎科学院。负责审查伽罗瓦论文的是柯西和泊松，他们都是当时世界上第一流的数学家。柯西不相信一个中学生能够解决这样著名的难题，顺手把论文扔在一边，不久就丢失了；两年后，伽罗瓦再次将论文送交巴黎科学院。这次，负责审查伽罗瓦论文的是傅立叶。不巧，也就是在这一年，这位年迈的著名数学家去世了。伽罗瓦的论文再一次给丢失了。第十三页，本课件共有82页他考进了巴黎高等师范学校伽罗瓦的论文一再被丢失的情况，使他很气愤。这时，他已考进了巴黎高等师范学校；并得知了阿贝尔去世的消息，同时又发现，阿贝尔的许多结论，他已经在被丢失的论文中提出过。在18

10、31年，伽罗瓦向巴黎科学院送交了第三篇论文，题目是关于用根式解方程的可解性条件。这一次，著名数学家泊松仔细审查了伽罗瓦的论文。第十四页，本课件共有82页年迈的泊松感到难于理解由于论文中出现了“置换群”等崭新的数学概念和方法，泊松感到难于理解。几个月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没有时间了。在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级革命活动，被学校开除了。第十五页，本课件共有82页伽罗瓦预感到死亡即将来临1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被捕入狱，遭受路易-菲利浦王朝的迫害，直到1832年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得以出狱。伽罗瓦恢复

11、自由不到一个月，爱上了一个舞女，并因此被迫与一个军官决斗。决斗前夕,伽罗瓦预感到死亡即将来临，他匆忙将数学研究心得扼要地写在一张字条上，并附以自己的论文手稿，请他的朋友交给当时的大数学家们。第十六页，本课件共有82页他坚信自己的理论正确伽罗瓦自豪地写道：“你可以公开请求雅可比或者高斯，不是对这些东西的正确性，而是对它的重要性表示意见。”我希望，今后能有人认识这些东西的奥妙，并作出恰当的解释。1846年 法国数学家刘维尔首先“认识到这些东西的奥妙”，将它们发表在自已主办的刊物上，并撰写序言热情向数学界推荐。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个

12、折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。创了数学的一片新的天地。第十七页，本课件共有82页伽罗瓦最主要的成就是提出了伽罗瓦最主要的成就是提出了群群的概念，并用群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学

13、研究工作提推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具供了新的数学工具群论群论。它对数学分析、几何学。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。的开始。第十八页，本课件共有82页 时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一

14、些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，并在并在结晶学、理论物理、量子化学结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。动机理论等方面，都有重要的应用。群论与对称性群论与对称性群论是研究系统群论是研究系统对称性质对称性质的数学工具。的数学工具。第十九页，本课件共有82页物理学中的对称性和守恒定律物理学中的对称性和守恒定律物理学中的许多规律常常具有一些对称性质，从一种对称物理学中的许多规律常常具有一些对称性质，从一种对称性质就可以推导出一种守恒定律：性质就可以推导出一种守恒定律：空间

15、坐标平移不变性（系统拉氏函数空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变）不变）动量守恒动量守恒L在空间转动下对称在空间转动下对称角动量守恒角动量守恒L在时间平移下对称在时间平移下对称能量守恒能量守恒空间反演（空间反演（）对称）对称宇称守恒宇称守恒晶体平移对称性（平移晶格常数晶体平移对称性（平移晶格常数的整数倍）的整数倍）Bloch定理定理全同粒子交换对称性全同粒子交换对称性玻色子，费米子玻色子，费米子标度变换对称性标度变换对称性临界现象，非线性物理，生命起源临界现象，非线性物理，生命起源第二十页，本课件共有82页 今天，群论经常应用于物理领域。我们经常用群今天，群论经常应用于物理领域。我们经常用群

16、论来研究论来研究对称性对称性，这些对称性能够反映出在某种变，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。起。另外，另外，晶体学晶体学中早期的关于晶体的各种结中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的晶体结构只有确定的230230种。（种。（230230个空间群）个空间群）对称群理论在先进（陶瓷）材料中的应用对称群理论在先进（陶瓷）材料中的应用第二十一页，本课

17、件共有82页 通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料的微观本质的分析，可以反过来利用的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析对称群分析看看可看看可以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以获得性能以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以获得性能更佳、物理效应更显著的晶体。更佳、物理效应更显著的晶体。（压电、铁电、热释电、光学性能等）（压电、铁电、热释电、光学性能等）对称性对称性晶体结构晶体结构相似的物理性能相似的物理性能（压电、铁电、热释电、光学性能等）（压电、铁电、热释电、光学性能等）对称性分析对称性分析改变晶体的结构改变晶体的结构提高材

18、料的性能提高材料的性能第二十二页，本课件共有82页2、群论及其在物理学中的应用群论及其在物理学中的应用1、群论及其在固体物理中的应用群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠、喀兴林编著，高教出版社）（徐婉棠、喀兴林编著，高教出版社）参考书：参考书：4、线性代数线性代数3、物理学中的群论物理学中的群论（马中骐（马中骐编著，科学出版社）编著，科学出版社）（谢希德、蒋平、陆奋（谢希德、蒋平、陆奋著）科学出版社著）科学出版社第二十三页，本课件共有82页群论及其在固体物理中的应用群论及其在固体物理中的应用第一、二章：讨论有限群及其表示的基本数学理论；第一、二章：讨论有限群及其表示的基本数学理论；第三、四章：讨

19、论点群在分析晶体宏观性质中的应用；第三、四章：讨论点群在分析晶体宏观性质中的应用；第第五五章：讨论群论与量子力学的关系；章：讨论群论与量子力学的关系；第六章：讨论空间群的不可约表示及其在能带理论中的应用；第六章：讨论空间群的不可约表示及其在能带理论中的应用；第七、八章：介绍晶格动力学中的群论方法，色群及其表示理论。第七、八章：介绍晶格动力学中的群论方法，色群及其表示理论。第二十四页，本课件共有82页第一部分第一部分群论基础群论基础第一章第一章群的基本知识群的基本知识 第二十五页，本课件共有82页1.1群群一、一、群的定义群的定义:有限或无限个元素（数学对象）或操作的集合有限或无限个元素（数学对

20、象）或操作的集合A,B,C,D，其中有一个与次序有关的运算方法（其中有一个与次序有关的运算方法（群乘群乘），具备下列条件），具备下列条件,则构成群则构成群（G）。集合中的元素（）。集合中的元素（A,B,C,D）称为）称为群元群元。1,封闭性封闭性,AB=C（AA=D）2,结合律结合律,A(BC)=(AB)C3,单位元（不变元素）单位元（不变元素）E,EA=AE=A4,逆元逆元A-1,AA-1=A-1A=E第二十六页，本课件共有82页二、二、群的性质群的性质:1、E-1=E,单位元单位元E的逆元仍为的逆元仍为E,证：证：（1）E-1E=EE-1=E（令：（令：A=E，由由A-1A=AA-1=E）

21、（2）EE-1=E-1E=E-1（令：（令：A=E-1，由由EA=AE=A）由（由（1）和（）和（2）E=E-12、(A-1)-1=A,逆元之逆元为元素本身逆元之逆元为元素本身证：证：(A-1)-1=(A-1)-1E=(A-1)-1（A-1A)=(A-1)-1A-1A=EA=A3、(AB)-1=B-1A-1证明证明:(AB)-1=(AB)-1E=(AB)-1AA-1E=(AB)-1AEA-1=(AB)-1A（BB-1）A-1=(AB)-1(AB)B-1A-1=EB-1A-1=B-1A-1(AB)-1=B-1A-1第二十七页，本课件共有82页三、三、群阶群阶:群元的数目（群元的数目（g）离散的无

22、限群离散的无限群（可数的无穷多）（可数的无穷多）连续群连续群（不可数的无穷多）（不可数的无穷多）无限群无限群有限群有限群 h（g为有限）为有限）2、交换群（阿贝尔群）：、交换群（阿贝尔群）：群乘与群元的顺序无关群乘与群元的顺序无关AB=BA1、群乘：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个元群乘：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个元素的一种运算。群乘不一定是代数运算中的乘法（素的一种运算。群乘不一定是代数运算中的乘法（如相继操作如相继操作），也不一定满足，也不一定满足交换律交换律。四四,可换群可换群:(Abel:(Abel 阿贝尔群阿贝尔群 )第二十八页，本课件共有82页五、五、群的实例（群

23、元和群乘）群的实例（群元和群乘）1,数群数群:以数为群元，以数学运算为群乘，构成以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群数群例例(1)：全部正负整数：全部正负整数(包括包括0)的集合，群乘为的集合，群乘为加法加法E=0，A=n,A-1=-n这是离散的无限群、交换群这是离散的无限群、交换群例例(2)：全部：全部正负整数正负整数(不包括不包括0)的集合，群乘为的集合，群乘为乘法乘法E=1，A=n,A-1=1/n提问：这是不是群？为什么？提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为答案：不是，因为A-1=1/n不是整数，不是整数，A没有逆元没有逆元。第二十九页，本课件共有82页全部正负实数全部正负实数(

24、不包括不包括0)的集合，群乘为的集合，群乘为乘法乘法（构成群（构成群-连续群）连续群）例（例（3）：全部）：全部正负实数正负实数的集合，群乘为的集合，群乘为数乘数乘E=1，A=n,A-1=1/n提问：这是不是群？为什么？提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为当答案：不是，因为当n=0时，时，A-1=1/n不在集合内。不在集合内。当当n0时，时，A-1=1/n在集合内。在集合内。例（例（4）集合）集合1，-1在在数乘数乘运算下构成一个群。运算下构成一个群。例（例（5）集合）集合1，-1，i，-i构成群。群元由构成群。群元由ik构成。构成。（k=0，1，2，3）循环群：一个群的所有群元可以由循

25、环群：一个群的所有群元可以由某个元的幂某个元的幂来产生。如例（来产生。如例（5）循环群都是阿贝尔群。循环群都是阿贝尔群。E=1，A-1=A第三十页，本课件共有82页2、置置换换群群：以以变变换换位位置置的的操操作作为为群群元元，以以相相继继操操作作为为群群乘乘，构构成成置换群置换群例例:Z3群群(三位置置换群三位置置换群)123 表示将表示将1、2、3处之物分别放於处之物分别放於2、3、1处，处，231123【】【】231第三十一页，本课件共有82页Z3群由以下六元素构成：群由以下六元素构成：123123123e=a=b=123321132123123123c=d=f=213312231可以证

26、明它们符合群的四个基本条件可以证明它们符合群的四个基本条件（自己证）（自己证）第三十二页，本课件共有82页bc=f即：即：第三十三页，本课件共有82页满足满足（不满足封闭性）（不满足封闭性）3、矩阵群、矩阵群:以方矩阵为群元，以以方矩阵为群元，以矩阵乘法矩阵乘法为群乘，构成为群乘，构成矩阵群矩阵群。第三十四页，本课件共有82页d3群群detA=1100010100e=010 a=100 b=001 001001010001001010c=010 d=100 f=001 100010100逆元：逆元：b-1=bd-1=f封闭性：封闭性：ad=b,bd=c,d2=f第三十五页，本课件共有82页4、

27、对称群对称群(这是我们最关注的这是我们最关注的)以对称操作为群元，以以对称操作为群元，以相继操作相继操作为群乘，构成为群乘，构成对称群对称群例例D3群（使正三角形自身重合的对称操作构成的群。）群（使正三角形自身重合的对称操作构成的群。）E不动不动C绕绕C轴转轴转180oA绕绕A轴转轴转180oD顺时针转顺时针转120o（绕垂直于三角形平面的轴）（绕垂直于三角形平面的轴）B绕绕B轴转轴转180oF逆时针转逆时针转120oacbbbbbbaaaaaccccc返回返回第三十六页，本课件共有82页AF第三十七页，本课件共有82页5、列表列表群的名称群的名称群元群元群乘群乘举例举例数群数群数数运算运算(

28、加、乘等加、乘等)例例(1)置换群置换群置换置换相继置换相继置换Z3群群矩阵群矩阵群矩阵矩阵矩阵乘法矩阵乘法d3群群对称群对称群对称操作对称操作相继操作相继操作D3群群第三十八页，本课件共有82页六六群表及群表定理群表及群表定理1,群表：群元的乘积表群表：群元的乘积表例：例：d3群：群：ad=b,bd=c,d2=fD3群群:AD=B,BD=C,D2=FEABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED提问：提问：D3群是不是阿贝尔群？群是不是阿贝尔群？答案：不是，因为答案：不是，因为AB(=D)BA(=F)习题习题:试证明试证明D3群群表最后一行的

29、偶数位群群表最后一行的偶数位,即证明即证明FA=B,FC=A,F2=D*群表的行和列用群表的行和列用群元素来标记，群元素来标记，元素元素A和和B的乘积的乘积D=AB出现在出现在A行行和和B列交叉处。列交叉处。返回返回第三十九页，本课件共有82页2，群表即群，群表即群:群的信息全部在群表中，群表即群群的信息全部在群表中，群表即群思考题：思考题：你能找出你能找出d3,D3及及Z3群之间的内在联系吗群之间的内在联系吗?答案答案:(1)D3群的对称操作可视为三角形三顶点位置的置换；群的对称操作可视为三角形三顶点位置的置换；(2)D3群和群和Z3群的操作都可表示为群的操作都可表示为33的变换矩阵。的变换

30、矩阵。(3)它们的群表相同，就数学而言它们是同一群；它们的群表相同，就数学而言它们是同一群；d3群群=Z3群群=D3群群3，群表定理（重排定理），群表定理（重排定理）G：E，A2，A3，A4-AhAkG:Ak，AkA2，AkA3，AkA4-AkAk中中或或GAk:Ak，A2AK，A3Ak，A4Ak-AkAk中中群群中中的的每每个个元元素素（在在每每一一行行或或每每一一列列中中）必必出出现现且且只只出出现现一一次次(只是重排只是重排)，即群即群G被其中的元素左乘或右乘仍为该群被其中的元素左乘或右乘仍为该群G.AkG=GAk=G*第四十页，本课件共有82页求证求证:GAk=G证明证明:第一步：证明

31、每个元素必出现於第一步：证明每个元素必出现於GAk中中（即证明若元素（即证明若元素X G，则必，则必X GAk）令令Ar=XAk-1X，Ak-1 G,Ar G(封闭性封闭性)则则X=ArAk GAk第二步：证明每个元素只出现一次第二步：证明每个元素只出现一次（即证明若又有一元素（即证明若又有一元素As G使使AsAk=X,则必有则必有As=Ar）AsAk=X,又由前面可知又由前面可知X=ArAk，ArAk=AsAk则则Ar=Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1=（AsAk）Ak-1=As（AkAk-1）=As*第四十一页，本课件共有82页1.2子群和陪集子群和陪集一，一，子群子群(sub

32、group)1，定义：群，定义：群G中的中的一些元一些元的集合的集合S在在相同的群乘下相同的群乘下构成的构成的群，为群，为G的子群的子群2，显然子群（平庸子群）：（，显然子群（平庸子群）：（1）E，（2）G3，子群，子群S的条件和检验的条件和检验:（1）单位元；）单位元；（2）逆元；）逆元；（3）封闭性）封闭性.提问：结合律是否需要检验？为什么？提问：结合律是否需要检验？为什么？答案：群乘不变，结合律自然满足答案：群乘不变，结合律自然满足例，例，提问：以下哪些集合是提问：以下哪些集合是D3群的子群？群的子群？(根据群表根据群表)E，E，A，E，B，E，D，A，F,D，FE，A，F，E，D，F答

33、案：答案：E,E,A,E,B,E,D,F*第四十二页，本课件共有82页二，二，陪集陪集（coset）子群子群S G，又又X G，但，但X S则，则，SX为为S关于关于X的的右陪集右陪集,XS为为S关于关于X的的左陪集左陪集（若（若X S，则，则XS=SX=S）提问提问:为什么为什么?答案答案:重排定理重排定理例：例：D3群中子群的陪集群中子群的陪集（1）子群：子群：S=E，D，F；陪集：陪集：A，B，C（=AE，D，F=E，D，FB）（2）子群：子群：E，A；陪集：陪集：B，F，（=BE，A=FE，A）B，D，（=E，AB=E，AD）C，D，（=CE，A=DE，A）提问：陪集是不是群？为什么？

34、提问：陪集是不是群？为什么？答案答案:不是。因为没有不是。因为没有E(其普遍性证明见后其普遍性证明见后)*S关于关于A的左陪集的左陪集S关于关于B的右陪集的右陪集第四十三页，本课件共有82页三，三，陪集定理陪集定理（以右陪集为例证明，结论同样适用于左陪集（以右陪集为例证明，结论同样适用于左陪集）（1）若）若X 不是不是S 的一个元，那么的一个元，那么SX不是一个群。不是一个群。（2）G中的每一个元必然落在子群或某一个右陪集中。中的每一个元必然落在子群或某一个右陪集中。第四十四页，本课件共有82页（3）每一个右陪集包含）每一个右陪集包含s个个不同的元。不同的元。即在集合即在集合SX的的s个元中，

35、没有相同的元存在。个元中，没有相同的元存在。第四十五页，本课件共有82页（4）陪集陪集SX和和SY要么完全相同，要么完全不同要么完全相同，要么完全不同（即若有一共同元，则全同）（即若有一共同元，则全同）证明：证明：若若有一共同元，有一共同元，SmX=SnY(Sm,Sn S)则则Sm-1SmXY-1=Sm-1SnYY-1(左乘左乘Sm-1，右乘，右乘Y-1)因此因此XY-1=Sm-1Sn S(封闭性封闭性)则则SXY-1=S提问：为什么？提问：为什么？答案：答案：重排定理重排定理(只是重排只是重排,元素结合不变元素结合不变)故故SX=SY*第四十六页，本课件共有82页四四,子群阶定理子群阶定理:

36、若若子群子群S 群群G则则子群子群S的阶的阶s必然是群必然是群G阶阶g的正整因子的正整因子证明：证明：1，群，群S及其陪集必然包括大群及其陪集必然包括大群G中所有的元中所有的元（群（群G中任何一个中任何一个S以外的元素以外的元素X必然在陪集必然在陪集SX中）中）陪集定理陪集定理22，SX和和SY要么全同，要么全不同（要么全同，要么全不同（陪集定理陪集定理4）3，子群，子群S与陪集与陪集SX没有共同元没有共同元（X应不属于应不属于S）若若有有Sm=SnX则则X=Sn-1Sm S，与前提矛盾，与前提矛盾4，子群与其陪集的阶相同（元素的数目相同），子群与其陪集的阶相同（元素的数目相同）,皆为皆为s（

37、陪集定理陪集定理3）5，由以上四点可知，由以上四点可知，s是是g的正整因子的正整因子G=S+SX+SY+-+SW（g）（s）（s）（s）（s）*即：即：g=si (1.2-3)第四十七页，本课件共有82页1.3共轭元与共轭元与类类一，共轭一，共轭（conjugate）1,共共轭轭元元（conjugateelement）若若群群G中中存存在在一一个个元元X，使使群群中中的的元元A、B满满足足:B=XAX-1（A，B，X G）,那那么么就就说说群群元元B与与群群元元A共轭。共轭。若若B共轭于共轭于A，则，则A也共轭于也共轭于B，因为，因为，由由B=XAX-1则则A=X-1B(X-1)-1=YAY-

38、1（Y=X-1）其中其中Y=X-1，是群，是群G中的一个元，所以中的一个元，所以A与与B互为共轭元互为共轭元。2,共轭的传递性共轭的传递性若若A与与B共轭，共轭，B与与C共轭，则共轭，则A与与C共轭共轭证明：若证明：若B=XAX-1，C=YBY-1则则C=YBY-1=Y(XAX-1)Y-1=YXAX-1Y-1=(YX)A(YX)-1=ZAZ-1(Z=YX G)故故C与与A共轭共轭第四十八页，本课件共有82页3,3,相似矩阵相似矩阵 矩阵群矩阵群中彼此共轭的元为彼此中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵相似的矩阵。二二,类类:群群G中中彼此共轭彼此共轭的群元的的群元的完全集合完全集合构成构成类（类（C）

39、。）。对于类对于类C,自然有自然有XCX-1=C(X为群为群G中任一群元中任一群元)三，类的性质三，类的性质1,单位元自成一类单位元自成一类（XEX-1=E）2,类相互独立，彼此无共同元类相互独立，彼此无共同元提问：为什么？提问：为什么？答案：如有一共同元，则为同一类（类的传递性）答案：如有一共同元，则为同一类（类的传递性）3,除除E以外，所有的类都不是群以外，所有的类都不是群提问：为什么？提问：为什么？答案答案:缺缺E提问提问:为什么缺为什么缺E答案答案:E自成一类自成一类类的元数类的元数hc：类中群元的个数。：类中群元的个数。第四十九页，本课件共有82页4,对于矩阵群，对于矩阵群，同类的元

40、同类的元具有具有相同的矩阵迹相同的矩阵迹(又称特征标又称特征标)提问：为什么？提问：为什么？答案：矩阵相似变换，矩阵迹不变答案：矩阵相似变换，矩阵迹不变(定义定义:A（aij）为）为n阶方矩阵，阶方矩阵，A的主对角线元素之和的主对角线元素之和称为称为A的迹，的迹，记为记为tr（A）。）。即矩阵的迹具有下述的常见性质即矩阵的迹具有下述的常见性质1：1tr（AB）=tr（A）tr（B）2tr（KA）Ktr（A）3tr（AB）tr（BA）4tr（ABC）tr（BCA）tr（CAB）第五十页，本课件共有82页四，分类四，分类1,基本方法：利用基本方法：利用群表群表寻求共轭元，进行分类寻求共轭元，进行分

41、类2,可换群：每一元素自成一类可换群：每一元素自成一类证明证明:XA=AX(可换群可换群)(两边右乘两边右乘X-1)XAX-1=AXX-1=A3,转动群转动群中两转角相同的转动操作，若其转轴可由群中某一操中两转角相同的转动操作，若其转轴可由群中某一操作相互转换，则该二转动操作同类作相互转换，则该二转动操作同类XAX-1=B4,D3群的分类群的分类（可自己练习）（可自己练习）分类方法：（分类方法：（1）利用群表寻求共轭元）利用群表寻求共轭元（2）根据第）根据第3条条分类结果：（分类结果：（1）E（E自成一类）自成一类）（2）D，F;A,B,C各为一类各为一类习题习题:试将试将D3群分类群分类,并

42、根据群表证明之并根据群表证明之.*第五十一页，本课件共有82页自证自证第五十二页，本课件共有82页(X-1)-1 C-1X-1=(XCX-1)-1第五十三页，本课件共有82页3.有关类的定理有关类的定理第五十四页，本课件共有82页第五十五页，本课件共有82页证明：证明：第五十六页，本课件共有82页3第五十七页，本课件共有82页整整元元则有：则有：逆元（逆元（S-1X(S-1)-1=X、单位元（、单位元（EXE-1=X）第五十八页，本课件共有82页为此只要证明：为此只要证明：类类第五十九页，本课件共有82页第六十页，本课件共有82页=g=si第六十一页，本课件共有82页(1.4-2)第六十二页，

43、本课件共有82页=第六十三页，本课件共有82页不变子群（正规子群）不变子群（正规子群）一、定义：有子群一、定义：有子群N G，若若XNX-1=N或或XN=NX（X为为G中的任一元素）中的任一元素）则则N为群为群G的的不变子群不变子群=第六十四页，本课件共有82页二，性质二，性质1，不变子群必包括一个或几个完整的类，不变子群必包括一个或几个完整的类（即不变子群由完整的类构成）（即不变子群由完整的类构成）证明：若证明：若任一群元任一群元A N则则XAX-1 N（XNX-1=N,A N）即即类类C N（XCX-1=C）(即类中若有一元素属于即类中若有一元素属于N，则整个类属于，则整个类属于N)2,含

44、一个或几个完整类的子群是不变子群含一个或几个完整类的子群是不变子群证明：若证明：若子群子群S=C1+C2(以两个类为例以两个类为例)XC1X-1=C1，XC2X-1=C2XSX-1=X（C1+C2）X-1=XC1X-1+XC2X-1=C1+C2=S即即S为不变子群为不变子群*第六十五页，本课件共有82页3,不变子群的两个陪集相乘（包括自乘）必为一个陪集或不变不变子群的两个陪集相乘（包括自乘）必为一个陪集或不变子群自身子群自身证明：证明：N为为G的不变子群的不变子群NK和和NL为为N的陪集的陪集NKNL=NKN（K-1K）L=N（KNK-1）KL=NNKL=N（KL）（NN=N）若若KL不在不在

45、N中，则中，则N（KL）是）是N的陪集的陪集若若KL在在N中，中，则则N（KL）是）是N自身自身*例例D3群中，不变子群群中，不变子群N=E，D，F两陪集的乘积两陪集的乘积(NA)(NB)=E,D,FAE,D,FB=E,D,FE,D,FAB=E,D,F(AB)提问提问:是因为是因为D3群是可换群吗群是可换群吗?答案答案:是因为是因为E,D,F是不变子群是不变子群(AB=D)=E,D,FD(仍是仍是N,=E,D,F)第六十六页，本课件共有82页4,不变子群的判断不变子群的判断判别条件判别条件:（1）由完整的类构成由完整的类构成；(缺一不可缺一不可)（2）其阶是）其阶是G群阶的因子群阶的因子(子群

46、阶定理子群阶定理)提问：下列集合中哪些是提问：下列集合中哪些是D3群的不变子群群的不变子群?E,A,E,D,E,A,B,E,D,F,A,B,C答案：答案：E，D，F(A,B,C缺缺E,其余不是完整类其余不是完整类)提问：提问：E，A，B，C是否为不变子群？是否为不变子群？答案：不是，其阶答案：不是，其阶4，不是，不是g=6的因子的因子*第六十七页，本课件共有82页商群商群一，定义一，定义:若不变子群若不变子群N G，则以则以N及其陪集为群元，以其乘法为群乘及其陪集为群元，以其乘法为群乘,构成商群，构成商群，记为记为G/N，其阶，其阶m=g/s，其中，其中s和和g为为N和和G的阶的阶二二,证明证

47、明G/N=N，NK2，NK3-NKm确实是群确实是群1,单位元：单位元：N为单位元为单位元证明证明:N（NKi）=NNKi=NKi同理（同理（NKi）N=N（KiN）=N（NKi）=Nki故故N为单位元为单位元2,逆元：逆元：NKi的逆元为的逆元为NKi-1，即，即(NKi)-1=NKi-1证明：（证明：（NKi）（）（NKi-1）=NKiNKi-1=NNKiKi-1=NN=N3,封闭性封闭性:不变子群的两陪集相乘为一陪集或不变子群自身不变子群的两陪集相乘为一陪集或不变子群自身4,结合律结合律:群群G商群的乘积最终化为群商群的乘积最终化为群G群元的乘积，群元的乘积，群群G服从结合律，其商群必服

48、从结合律服从结合律，其商群必服从结合律*第六十八页，本课件共有82页例：例：D3群的商群群的商群母群母群G=E，A，B，C，D，F不变子群不变子群N=E，D，F商群商群G/N=N，AN=E，D，F，A，B，C（AN=AE，D，F=A，B，C）同构与同态同构与同态一，同构一，同构1，定义：两群：，定义：两群：G=A,B,C.,AB=CG=A,B,C,AB=C若（若（1）群元一一对应；）群元一一对应；（2）群乘关系一一对应）群乘关系一一对应则则该二群该二群G和和G同构同构2，性质：同构群必，性质：同构群必:群表相同群表相同（1）群阶相同）群阶相同;（2）群乘关系相同）群乘关系相同3，例：，例：D3

49、与与d3群同构群同构*第六十九页，本课件共有82页二二,同态同态若若两群：两群：G=Ai,Bi,Ci-,AiBi=CiG=A,B,C-,AB=C其中，其中，Ai=A1,A2,A3-Bi=B1,B2,B3-Ci=C1,C2,C3-i=1,2,3-N,(不是一一对应不是一一对应,而是一而是一N对应对应)则则该二群该二群G和和G同态同态*第七十页，本课件共有82页第七十一页，本课件共有82页下面证明下面证明G G是个群（只要证明是个群（只要证明G具有封闭性）具有封闭性）=第七十二页，本课件共有82页第七十三页，本课件共有82页第七十四页，本课件共有82页正当转动群，反演群正当转动群，反演群Ci=E，

50、I更大的对称性群更大的对称性群第七十五页，本课件共有82页则有：则有：第七十六页，本课件共有82页第七十七页，本课件共有82页“群群”的起源的起源1、法国数学家，近代代数学的创始人、法国数学家，近代代数学的创始人-伽罗瓦伽罗瓦(E.Galois，1811-1832)方程的根式求解方程的根式求解一元一次方程一元一次方程:一元二次方程：一元二次方程：一元三次方程：一元三次方程：第七十八页，本课件共有82页一元三次方程经过适当的变量替换后化为如下方程：一元三次方程经过适当的变量替换后化为如下方程：三个根是三个根是:(意大利数学家卡尔达诺意大利数学家卡尔达诺大术大术1545年年)其中 是3次单位根，第