《推理与证明二》PPT课件.ppt

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1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第第38讲讲推理与证明推理与证明(二二)1.了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、反证法，了解反证法的思考过程、特点特点.1.分析法是从要证明的结论出发，逐步分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的寻找使结论成立的()AA.充分条件充分条件 B.必要条件必要条件C.充要条件充要条件 D

2、.等价条件等价条件 分分析析法法是是执执果果索索因因，允允许许原原因因能能推推出出结结论论即即可可，并并不不一一定定需需要要充充要要条条件件，故必须为充分条件故必须为充分条件.2.若若a,bR,且且ab，有下列四个式子，有下列四个式子a2+ab2b2;a5+b5a3b2+a2b3;a2+b22(a-b-1);+2.其中一定成立的有其中一定成立的有()DA.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个 因为因为a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,所以所以a2+b22a-2b-2,一定成立，一定成立，均可找到反例均可找到反例.3.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形的内角中

3、至少三角形的内角中至少有一个不大于有一个不大于60”时，假设正确的是时，假设正确的是()BA.假设三内角都不大于假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于假设三内角至多有两个大于60“至少有一个不大于的否定至少有一个不大于的否定”为为“都大于都大于”.4.设设a=,b=-,c=-,则则a,b,c的大小的大小 关系是关系是 .acb 因为因为b=-=,c=-=,所以所以bc，故，故acb.也可用分析法也可用分析法.5.若若a +b a +b ，则，则a、b应满足应满足的条件是的条件是 .a0,

4、b0,且且ab 由已知，由已知，a -a +b -b 0,则则a(-)+b(-)0,即即(-)(a-b)0,故故a0，b0，且，且ab.1.综合法综合法一般的，利用已知条件和某些数学定义、一般的，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法法叫做综合法.用用P表示已知条件、已有的定义、定理、表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：可用框图表示为：PQ1 Q1Q2 Q2

5、Q3 QnQ2.分析法分析法一一般般的的，从从要要证证明明的的结结论论出出发发，逐逐步步寻寻求求使使它它成成立立的的充充分分条条件件，直直至至最最后后，把把要要证证明明的的结结论论归归纳纳为为判判定定一一个个明明显显成成立立的的条条件件(已已知知条条件件、定定理理、定定义义、公公理理等等).这这种种证证明明的的方方法法叫叫做分析法做分析法.用用Q表表示示要要证证明明的的结结论论，则则分分析析法法可可用用框框图图表表示示为为：QP1 P1 P2P2 P3 得到一个明显成立的条件得到一个明显成立的条件3.反证法反证法(1)定定义义：一一般般的的，假假设设原原命命题题的的结结论论不不成成立立，经经过

6、过正正确确的的推推理理，最最后后得得出出矛矛盾盾，因因此此说说明明假假设设错错误误，从从而而证证明明了了原原命命题题成成立，这样的证明方法叫做反证法立，这样的证明方法叫做反证法.(2)用反证法导出的矛盾主要有：用反证法导出的矛盾主要有：与假设矛盾；与假设矛盾；与与数数学学公公理理、定定理理、定定义义、公公式式或或与已被证明了的结论矛盾；与已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾与公认的简单事实矛盾.4.应用应用在在解解决决问问题题时时，经经常常把把综综合合法法和和分分析析法法结结合合起起来来使使用用：根根据据条条件件的的结结构构特特点点去去转转化化结结论论，得得到到中中间间结结论论Q；根根据

7、据结结论论的的特特点点去去转转化化条条件件，得得到到中中间间结结论论P.若若由由P可可以以推推出出Q成成立立，就就可可以以证证明明结结论论成成立立.在在证证明明一一个个问问题题时时，如如果果不不容容易易从从条条件件到到结结论论证证明明时时，可可采采取取分分析析的的方方法法或或者者是是间间接接证证明明的的方方法法反反证证法法.有有时时证证明明一道题需多法并用一道题需多法并用.题型一题型一 用综合法证明用综合法证明 例例1 已已知知点点P是是直直角角三三角角形形ABC所所在在平平面面外外的的一一点点，O是是斜斜边边AB的的中中点点，并并且且PA=PB=PC，求证：，求证：PO平面平面ABC.要要证

8、证明明PO平平面面ABC，也也就就是是要要证证明明PO垂垂直直于于平平面面ABC内内的的两两条条相相交直线交直线.连接连接OC,OP，如图所示，如图所示，因为因为AB是是RtABC的斜边，的斜边，O是是AB的中点，的中点，所以所以OA=OB=OC.又因为又因为PA=PB=PC，所以所以POAPOBPOC,所以所以POA=POB=POC.因为因为POA+POB=180,所以所以POA=POB=90,所以所以POC=90.即即POOA，POOC，所以，所以PO平面平面ABC.综综合合法法证证明明立立体体几几何何问问题题，以以立立体体几几何何的的公公理理、定定理理、定定义义为为基基础础，以以递递推推

9、的的性性质质为为依依据据进进行行推推理理论论证证，因因此此，关关键键是是找找到到与与要要证证结结论论相相匹匹配配的的公公理理、定定理理、判判定定定定理理及及其其性性质质.同同时时综综合合法法必必须须保保证证前前提提是是正正确确的的，推推理形式合乎逻辑，才能保证结论成立理形式合乎逻辑，才能保证结论成立.已已知知a0,b0，且且a+b=1，试试用用分分析法证明不等式析法证明不等式(a+)(b+).题型二题型二 用分析法证明用分析法证明例例2 题题目目条条件件要要求求使使用用分分析析法法证证明明不不等等式式，只只需需要要注注意意分分析析法法证证明明问题的步骤即可问题的步骤即可.要证要证(a+)(b+

10、),只需证只需证ab+,只需证只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需证只需证4(ab)2-8ab-25ab+80,只需证只需证4(ab)2-33ab+80,即证即证ab8或或ab ,由由a+b=1,只需证只需证ab ,而由而由1=a+b2 ，所以，所以ab 显然成立，显然成立，所以原不等式所以原不等式(a+)(b+)成立成立.分分析析法法是是从从要要证证明明的的结结论论出出发发，逐逐步步寻寻求求使使它它成成立立的的充充分分条条件件(不不一一定定是是充充要要)，直直到到最最后后，把把要要证证明明的的结结论论归归结结到到判判定定一一个个明明显显成成立立的的条条件件为为止止，这这

11、种种证证法法也也是是直直接接证证法法中中一一种种常常用用的的方方法法，特特别别是是当当从从已已知知条条件件推推证证要要证证的的结结论论有有困困难难时时，往往往采用分析法往采用分析法.题型三题型三 用反证法证明用反证法证明例例3 已知已知a,b,cR,a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0.利用反证法证明：利用反证法证明：.a0,b0,c0 假设假设a,b,c不同时为正数，不妨先考虑不同时为正数，不妨先考虑a不是正数，从而有不是正数，从而有a=0和和a0矛盾，矛盾，故故a=0不可能不可能;若若a0,所以所以bc0,所以所以b+c-a0,所以所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc0矛盾矛盾,

12、所以所以a0成立成立.同理可知同理可知b0,c0成立成立.所以原命题得证所以原命题得证.反反证证法法证证明明问问题题的的一一般般步步骤骤是是：(1)反反设设：假假设设所所要要证证明明的的结结论论不不成成立立，也也就就是是假假设设在在已已知知条条件件下下，存存在在与与要要证证明明的的结结论论相相反反的的情情形形；(2)归归谬谬：由由反反设设出出发发，结结合合已已知知条条件件，通通过过正正确确的的逻逻辑辑推推理理，推推得得矛矛盾盾；(3)存存真真：由由所所得得的的矛矛盾盾断断言言反反设设不不真真，从从而而肯肯定定原命题的正确性原命题的正确性.在在ABC中中，三三个个内内角角A、B、C的的对边分别为

13、对边分别为a、b、c,若若 +=,试试问问：A，B，C是是否否成成等等差差数数列列，若若不不成成等等差差数数列列，请请说说明理由；若成等差数列，请给出证明明理由；若成等差数列，请给出证明.A，B，C成等差数列，下面用综合法给出成等差数列，下面用综合法给出证明证明.因为因为 +=,所所 +=3,所以所以 +=1，所以所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，所以所以b2=a2+c2-ac.在在ABC中中,由余弦定理由余弦定理,得得cosB=.因为因为0B180，所以，所以B=60，所以所以A+C=2B=120,所以所以A、B、C成等差数列成等差数列.1.综综合合法法的的特特点点：从从

14、“已已知知”看看“可可知知”，逐逐步步推推向向“未未知知”，其其逐逐步步推推理，实际上寻找它的必要条件理，实际上寻找它的必要条件.2.分分析析法法的的特特点点：从从“未未知知”看看“需需知知”，逐逐步步靠靠拢拢“已已知知”，其其逐逐步步推推理，实际上是寻找它的充分条件理，实际上是寻找它的充分条件.3.反证法的步骤：反证法的步骤：分清命题的条件和结论；分清命题的条件和结论；作出命题结论不成立的假设；作出命题结论不成立的假设；由由假假设设出出发发，应应用用正正确确的的推推理理方方法法，推理出矛盾的结果；推理出矛盾的结果；否定假设，从而间接的证明结论否定假设，从而间接的证明结论.学例1 (2009四

15、四川川卷卷)设设数数列列an的的前前n项项和和为为Sn，对对任任意意的的正正整整数数n，都都有有an=5Sn+1成成立，记立，记bn=(nN*).(1)求数列求数列an与数列与数列bn的通项公式；的通项公式；(2)设设数数列列bn的的前前n项项和和为为Rn.是是否否存存在在正正整整数数k，使使得得Rk4k成成立立？若若存存在在，找出一个正整数找出一个正整数k;若不存在若不存在;请说明理由请说明理由;(3)记记cn=b2n-b2n-1(nN*)，设设数数列列cn的的前前n项项和和为为Tn，求求证证：对对任任意意正正整整数数n，都有，都有Tn .(1)当当n=1时，时，a1=5a1+1,所以所以a

16、1=-.又又因为因为an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1，所以所以an+1-an=5an+1，即，即an+1=-an.所以数列所以数列an是等比数列，其首项是等比数列，其首项a1=-,公比公比q=-.所以所以an=(-)n(nN*).所以所以bn=(nN*).(2)不不存存在在正正整整数数k，使使得得Rk4k成成立立.下下证证：对对任任意意的的正正整整数数n，都都有有Rn4n成成立立.由由(1)知知bn=4+.因为因为b2k-1+b2k=8+=8+-=8-8，所所以以，当当n为为偶偶数数时时，设设n=2m(mN*)，则则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-1+b2m)8m=4n;当当 n为为奇奇数数时时，设设n=2m-1(mN*),则则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 8(m-1)+4=8m-4=4n.所所以以对对一一切切的的正正整整数数n，都都有有Rn4n.所所以以不不存存在在正正整整数数k，使使得得Rk4k成立成立.(3)证明：由证明：由(1)知知bn=4+.所以所以cn=b2n-b2n-1=+=.又又b1=3,b2=,所以所以c1=.当当n=1时时,T1 .当当n2时时,Tn +25(+)=+25 +25 =.