单因素方差分析92802教学教材.ppt

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1、单因素方差分析92802什么是方差分析什么是方差分析?1.1.检验多个总体均值是否相等通通过过对对各各观观察察数数据据误误差差来来源源的的分分析析来来判判断断多多个个总体均值是否相等总体均值是否相等方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（几个基本概念）（几个基本概念）1.1.试验这这里里只只涉涉及及一一个个因因素素，因因此此称称为为单单因因素素四四水水平平的的试验试验2.2.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比比如如A A1 1、A A2 2、A A3 3、A A4 4四四种种颜颜色色可可以以看看作作是是四四个个总总体体3.样本数据上上面面的的数

2、数据据可可以以看看作作是是从从这这四四个个总总体体中中抽抽取取的的样样本数据本数据单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构 观察值观察值观察值观察值 (j j)因素因素因素因素(A A)i i 水平水平水平水平A A1 1 水平水平水平水平A A2 2 水平水平水平水平A Ak k12:n x11 x12 x1k x21 x22 x2k :xn1 xn2 xnk方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定1.1.每个总体都应服从正态分布每个总体都应服从正态分布对对于于因因素素的的每每一一个个水水平平，其其观观察察值值是是来来自自服服从从正正态态分分布总体的简单随机样本布总体的简单随机样本比

3、如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布2.2.各个总体的方差必须相同各个总体的方差必须相同对对于于各各组组观观察察数数据据，是是从从具具有有相相同同方方差差的的总总体体中中抽抽取取的的比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同3.3.观察值是独立的观察值是独立的比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定1.1.在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题 2.2.

4、如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四四个个样样本本的的均均值值越越接接近近，我我们们推推断断四四个个总总体体均均值值相等的证据也就越充分相等的证据也就越充分样样本本均均值值越越不不同同，我我们们推推断断总总体体均均值值不不同同的的证证据据就越充分就越充分 提出假设提出假设1.1.一般提法H H0 0:m m1 1=m m2 2=m mk k (因素有因素有k k个水平）个水平）H H1 1:m m1 1 ，m m2 2 ，m mk k不不全相等全相等2.2.对前面的例子H H0 0:m m1 1=m m2 2=m m3 3=m m4 4颜色对销售量没有影响颜色对销售量没有

5、影响H H0 0:m m1 1 ，m m2 2 ，m m3 3，m m4 4不不全相等全相等颜色对销售量有影响颜色对销售量有影响方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（两类方差）（两类方差）1.1.组内方差组内方差因素的同一水平因素的同一水平(同一个总体同一个总体)下样本数据的方差下样本数据的方差比如，无色饮料比如，无色饮料A A1 1在在5 5家超市销售数量的方差家超市销售数量的方差组内方差只包含组内方差只包含随机误差随机误差随机误差随机误差2.2.组间方差组间方差因素的不同水平因素的不同水平(不同总体不同总体)下各样本之间的方差下各样本之间的方差比比如如，A A1 1、A A2

6、2、A A3 3、A A4 4四四种种颜颜色色饮饮料料销销售售量量之之间间的的方差方差组间方差既包括组间方差既包括随机误差随机误差随机误差随机误差，也包括，也包括系统误差系统误差系统误差系统误差构造检验的统计量构造检验的统计量(计算水平的均值计算水平的均值)1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为 式中：式中：n ni i为第为第 i i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数 x xij ij 为第为第 i i 个总体的第个总体的第 j j 个观察值个观察值 构造检验的统计量构造检验的统计量(计算

7、全部观察值的总均值计算全部观察值的总均值)1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为 构造检验的统计量构造检验的统计量(前例计算结果前例计算结果)表表表表8-2 8-2 四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值超市超市超市超市(j j)水平水平水平水平A A(i i)无色无色无色无色(A A1 1)粉色粉色粉色粉色(A A2 2)橘黄色橘黄色橘黄色橘黄色(A A3 3)绿色绿色绿色绿色(A A4 4)1 12 23 34 45 526.526.528.728.725.125.129.129.127.227.231.231

8、.228.328.330.830.827.927.929.629.627.927.925.125.128.528.524.224.226.526.530.830.829.629.632.432.431.731.732.832.8合计合计合计合计136.6136.6147.8147.8132.2132.2157.3157.3573.9573.9水平均值水平均值水平均值水平均值观察值个数观察值个数观察值个数观察值个数 x x1 1=27.3227.32n n1 1=5=5 x x2 2=29.5629.56n n2 2=5=5 x x3 3=26.4426.44n n3 3=5=5 x x4 4=

9、31.4631.46n n4 4=5=5总均值总均值总均值总均值x x=28.695=28.695构造检验的统计量构造检验的统计量(计算总离差平方和计算总离差平方和 SST)1.全部观察值 与总平均值 的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SST SST=(26.5-28.695)=(26.5-28.695)2 2+(28.7-28.695)+(28.7-28.695)2 2+(32.8-28.695)(32.8-28.695)2 2 =115.9295 =115.9295构造检验的统计量构造检验的统计量(计算组内误差项平方和计算组内误差项平

10、方和 SSE)1.每每个个水水平平或或组组的的各各样样本本数数据据与与其其组组平平均均值值的的离离差差平方和平方和2.反反映映每每个个样样本本各各观观察察值值的的离离散散状状况况，又又称称组组内内离离差平方和差平方和3.该平方和反映的是随机误差的大小该平方和反映的是随机误差的大小4.计算公式为计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSE SSE=39.084=39.084构造检验的统计量构造检验的统计量(计算组间误差项平方和计算组间误差项平方和 SSA)1.各各组组平平均均值值 与与总总平平均均值值 的的离离差差平方和平方和2.反反映映各各总总体体的的样样本本均均值值之之间间的的差差异异

11、程程度度，又又称称组组间平方和间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSA SSA=76.8455=76.8455构造检验的统计量构造检验的统计量(三个平方和三个平方和的关系的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系SST=SSE+SSA构造检验的统计量构造检验的统计量(三个平方和的作用三个平方和的作用)1.SSTSST反反映映了了全全部部数数据据总总的的误误差差程程度度；SSESSE反反映映了了随随机机误差的大小；误差的大小；SSA

12、SSA反映了随机误差和系统误差的大小反映了随机误差和系统误差的大小2.如如果果原原假假设设成成立立，即即H H1 1 H H2 2 H Hk k为为真真，则则表表明明没没有有系系统统误误差差，组组间间平平方方和和SSASSA除除以以自自由由度度后后的的均均均均方方方方与与组组内内平平方方和和SSESSE和和除除以以自自由由度度后后的的均均均均方方方方差差异异就就不不会会太太大大；如如果果组组组组间间间间均均均均方方方方显显著著地地大大于于组组组组内内内内均均均均方方方方，说说明明各各水水平平(总体总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差3.判判断断因因

13、素素的的水水平平是是否否对对其其观观察察值值有有影影响响，实实际际上上就就是是比较比较组间方差组间方差组间方差组间方差与与组内方差组内方差组内方差组内方差之间差异的大小之间差异的大小4.为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方 MS)1.各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方差2.计算方法是用离差平方和除以相应的自由度3.三个平方和的自由度分别是SST SST 的自由度为的自由度为n n-1-1，其中其中n n为全部观察值的个数为全

14、部观察值的个数SSASSA的的自自由由度度为为k k-1-1，其其中中k k为为因因素素水水平平(总总体体)的的个个数数SSE SSE 的自由度为的自由度为n n-k k构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方 MS)1.SSA的均方也称组组间间方方差差，记为MSA，计算公式为2.SSE的均方也称组组内内方方差差，记为MSE，计算公式为构造检验的统计量构造检验的统计量(计算检验的统计量计算检验的统计量 F)1.将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 构造检验的统计量构造检验的统计量

15、(F分布与拒绝域分布与拒绝域)如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，F F F=MSAMSAMSA/MSEMSEMSE1 1 1 F 分布分布F(k-1,n-k)0 0拒绝拒绝拒绝拒绝HH0 0不能拒绝不能拒绝不能拒绝不能拒绝H H H H0 0 0 0F F统计决策统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策根根据据给给定定的的显显著著性性水水平平，在在F F分分布布表表中中查查找找与与第第一一自自由由度度dfdf1 1k k-1-1、第第二二自自由由度度dfdf2 2=n n-k k 相相应应的的

16、临界值临界值 F F 若若F F F F ，则则拒拒绝绝原原假假设设H H0 0 ，表表明明均均值值之之间间的的差差异异是是显显著著的的，所所检检验验的的因因素素(A A)对对观观察察值值有有显显著影响著影响若若F F F F ，则则不不能能拒拒绝绝原原假假设设H H0 0 ，表表明明所所检检验验的因素的因素(A A)对观察值没有显著影响对观察值没有显著影响 单因素方差分析表单因素方差分析表(基本结构基本结构)方差来源方差来源平方和平方和SS自由度自由度df均方均方MSF 值值组间组间(因素影响因素影响)组内组内(误差误差)总和总和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE方

17、差分析中的多重比较方差分析中的多重比较（作用）（作用）1.多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异2.多重比较方法有多种，这里介绍Fisher提出的最最小小显显著著差差异异方法，简写为LSD，该方法可用于判断到底哪些均值之间有差异3.LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到的 方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较（步骤）（步骤）1.提出假设H H0 0:m mi i=m mj j (第第i i个总体的均值等于第个总体的均值等于第j j个总体的均值个总体的均值)H H1 1:m mi i m mj j

18、(第第i i个总体的均值不等于第个总体的均值不等于第j j个总体的均值个总体的均值)2.检验的统计量为 3.若|t|t，拒绝H0；若|t|t，不能拒绝H0方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较（基于统计量（基于统计量 xi-xj的的LSD方方法）法）1.通过判断样本均值之差的大小来检验通过判断样本均值之差的大小来检验 H H0 02.检验的统计量为检验的统计量为：xi xj3.检验的步骤为检验的步骤为 提出假设提出假设 H H0 0:m mi i=m mj j(第第i i个总体的均值等于第个总体的均值等于第j j个总体的均值个总体的均值)H H1 1:m mi i m mj j (第第i i

19、个总体的均值不等于第个总体的均值不等于第j j个总体的均值个总体的均值)计算计算LSDLSD 若若|x xi i-x xj j|LSDLSD，拒拒绝绝H H0 0，若若|x xi i-x xj j|2.096|=|27.3-29.5|=2.22.096 颜颜色色1 1与与颜颜色色2 2的的销销售量售量有有显显著差异著差异|x x1 1-x x3 3|=|27.3-26.4|=0.92.096|=|27.3-26.4|=0.92.096|=|27.3-31.4|=4.12.096 颜颜色色1 1与与颜颜色色4 4的的销销售量售量有有显显著差异著差异|x x2 2-x x3 3|=|29.5-26.4|=3.12.096|=|29.5-26.4|=3.12.096 颜颜色色2 2与与颜颜色色3 3的的销销售量售量有有显显著差异著差异|x x2 2-x x4 4|=|29.5-31.4|=1.92.096|=|29.5-31.4|=1.92.096|=|26.4-31.4|=52.096 颜颜色色3 3与与颜颜色色4 4的的销销售量售量有有显显著差异著差异结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！31