【世纪金榜】届高三文科数学总复习课件：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系电子版本.ppt

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1、【世纪金榜】【世纪金榜】20162016届高届高三文科数学总复习课件：三文科数学总复习课件：8.48.4直线与圆、圆与圆的直线与圆、圆与圆的位置关系位置关系【知【知识识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)直直线线与与圆圆的位置关系与判断方法的位置关系与判断方法方法方法过过程程依据依据结论结论代代数数法法联联立方程立方程组组消去消去x(x(或或y)y)得一元二次方程得一元二次方程,计计算算=b=b2 2-4ac-4ac00_=0=0_00_几几何何法法计计算算圆圆心到直心到直线线的距离的距离d,d,比比较较d d与半径与半径r r的关系的关系.相交相交时

2、时弦弦长为长为 d_rd_r相交相交d_rd_r相切相切d_rd_r相离相离相交相交相切相切相离相离 (2)(2)圆圆与与圆圆的位置关系的位置关系设圆设圆O O1 1:(x-a:(x-a1 1)2 2+(y-b+(y-b1 1)2 2=r=r1 12 2(r(r1 10),0),圆圆O O2 2:(x-a:(x-a2 2)2 2+(y-b+(y-b2 2)2 2=r=r2 22 2(r(r2 20).0).方法方法位置关系位置关系几何法几何法:圆圆心距心距d d与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系代数法代数法:两两圆圆方程方程联联立立组组成方程成方程组组的解的情况的解的情况外离外离_解解

3、外切外切_实实数解数解相交相交_实实数解数解内切内切d=_(rd=_(r1 1rr2 2)一一组实组实数解数解内含内含0_d_|r0_d_|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2)无解无解drdr1 1+r+r2 2无无d=rd=r1 1+r+r2 2一一组组|r|r1 1-r-r2 2|dr|dr1 1+r+r2 2两两组组不同的不同的|r|r1 1-r-r2 2|00的前提下的前提下,利用根与系数的关系利用根与系数的关系,根据弦根据弦长长公式公式求弦求弦长长.(2)(2)几何方法几何方法:若弦心距若弦心距为为d,d,圆圆的半径的半径长为长为r,r,则则弦弦长长 提醒提醒:代数法

4、代数法计计算量算量较较大大,一般一般选选用几何法用几何法.【变变式式训练训练】(2014(2014湖北高考湖北高考)直直线线l1 1:y=x+a:y=x+a和和l2 2:y=x+b:y=x+b将将单单位位圆圆C:xC:x2 2+y+y2 2=1=1分成分成长长度相等的四段弧度相等的四段弧,则则a a2 2+b+b2 2=.【解析】【解析】依题意，圆心依题意，圆心(0,0)(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的度都是圆周的 圆心到圆心到l1 1:y=x+a:y=x+a的距离为的距离为 圆心到圆心到l2 2:y=x+by=x+b的距离为的距离为

5、即即所以所以a a2 2=b=b2 2=1=1，故，故a a2 2+b+b2 2=2.=2.答案：答案：2 2【加固【加固训练训练】1.(20151.(2015丽丽水模水模拟拟)若若圆圆心在心在x x轴轴上上,半径半径为为 的的圆圆C C位于位于y y轴轴左左侧侧,且被直且被直线线x+2y=0 x+2y=0截得的弦截得的弦长为长为4,4,则圆则圆C C的方程是的方程是()A.(x-)A.(x-)2 2+y+y2 2=5 B.(x+)=5 B.(x+)2 2+y+y2 2=5=5C.(x-5)C.(x-5)2 2+y+y2 2=5 D.(x+5)=5 D.(x+5)2 2+y+y2 2=5=5【

6、解析】【解析】选选B.B.设圆心为设圆心为(a,0)(a(a,0)(a0)0)，因为截得的弦长为，因为截得的弦长为4 4，所以弦，所以弦心距为心距为1 1，则，则 解得解得a=-,a=-,所以，所求圆的方程为所以，所求圆的方程为:(x+):(x+)2 2+y+y2 2=5.=5.2.2.直直线线ax-y+2a=0ax-y+2a=0与与圆圆x x2 2+y+y2 2=9=9的位置关系是的位置关系是()A.A.相离相离B.B.相切相切C.C.相交相交D.D.不确定不确定【解析】【解析】选选C.C.直线直线ax-y+2a=0ax-y+2a=0 a(x+2)-y=0,a(x+2)-y=0,即直线恒过点

7、即直线恒过点(-2,0),(-2,0),因因为点为点(-2,0)(-2,0)在圆内在圆内,所以直线与圆相交所以直线与圆相交.3.3.过圆过圆x x2 2+y+y2 2=1=1上一点作上一点作圆圆的切的切线线与与x x轴轴、y y轴轴的正半的正半轴轴交于交于A,BA,B两点两点,则则|AB|AB|的最小的最小值为值为()A.B.C.2 D.3A.B.C.2 D.3【解析】【解析】选选C.C.设圆上的点为设圆上的点为(x(x0 0，y y0 0)，其中，其中x x0 00 0，y y0 00 0，则切线方程为则切线方程为x x0 0 x xy y0 0y y1.1.分别令分别令x x0 0，y y

8、0 0得得考点考点2 2 圆圆与与圆圆的位置关系的位置关系【典例【典例2 2】(1)(1)与与圆圆x x2 2+y+y2 2+4x-4y+7=0+4x-4y+7=0和和x x2 2+y+y2 2-4x-10y+13=0-4x-10y+13=0都相切的直都相切的直线线共有共有()A.1A.1条条 B.2 B.2条条 C.3 C.3条条 D.4 D.4条条(2)(2)圆圆O O1 1的方程的方程为为:x:x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,圆圆O O2 2的的圆圆心坐心坐标为标为(2,1).(2,1).若若圆圆O O1 1与与圆圆O O2 2外切外切,求求圆圆O O2 2的方程的方程

9、;若若圆圆O O1 1与与圆圆O O2 2相交于相交于A,BA,B两点两点,且且|AB|=|AB|=求求圆圆O O2 2的方程的方程.【解题提示】【解题提示】(1)(1)先判断两圆的位置关系先判断两圆的位置关系,然后再判断切线的条数然后再判断切线的条数.(2)(2)根据两圆外切确定圆根据两圆外切确定圆O O2 2的半径的半径,然后求圆的方程然后求圆的方程.若两圆相交若两圆相交,则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去消去x x2 2,y,y2 2项得到项得到.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意知由题意知,两圆圆心分别为

10、两圆圆心分别为(-2,2)(-2,2)与与(2,5),(2,5),半半径分别为径分别为1 1和和4,4,圆心距为圆心距为 =5,=5,显然两圆外切显然两圆外切,故公切故公切线的条数为线的条数为3.3.(2)(2)因为圆因为圆O O1 1的方程为的方程为:x:x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,所以圆心所以圆心O O1 1(0,-1),(0,-1),半径半径r r1 1=2.=2.设圆设圆O O2 2的半径为的半径为r r2 2,由两圆外切知由两圆外切知|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1+r+r2 2,圆圆O O2 2的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)

11、+(y-1)2 2=12-8 .=12-8 .设圆设圆O O2 2的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=r=r2 22 2，又圆又圆O O1 1的方程为：的方程为：x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,相减得公共弦相减得公共弦ABAB所在的直线方程为所在的直线方程为4x+4y+r4x+4y+r2 22 2-8=0.-8=0.作作O O1 1HABHAB于于H H，则，则|AH|=|AH|=因为因为r r1 1=2=2，所以，所以|O|O1 1H|=H|=又又|O|O1 1H|=H|=所以所以 得得r r2 22 2=4=4或或r r2 22

12、2=20=20，所以圆所以圆O O2 2的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4或或(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=20.=20.【规规律方法】律方法】1.1.判断两判断两圆圆位置关系的方法位置关系的方法常用几何法常用几何法,即用两即用两圆圆圆圆心距与两心距与两圆圆半径和与差的半径和与差的绝对值绝对值的关系的关系,一般一般不用代数法不用代数法.2.2.两两圆圆公共弦公共弦长长的求法的求法两两圆圆公共弦公共弦长长,在其中一在其中一圆圆中中,由弦心距由弦心距d,d,半弦半弦长长 ,半径半径r r所在所在线线段构段构成直角三角形成直角

13、三角形,利用勾股定理求解利用勾股定理求解.【变变式式训练训练】若若O:xO:x2 2+y+y2 2=5=5与与OO1 1:(x-m):(x-m)2 2+y+y2 2=20(mR)=20(mR)相交于相交于A,BA,B两两点点,且两且两圆圆在点在点A A处处的切的切线线互相垂直互相垂直,则线则线段段ABAB的的长长度是度是.【解析】【解析】依题意得依题意得|OO|OO1 1|5 5，且，且OOOO1 1A A是直角三角形，是直角三角形，OOOO1 1A A的面积的面积因此因此|AB|AB|答案：答案：4 4【加固【加固训练训练】1.1.设设两两圆圆C C1 1,C,C2 2都和两坐都和两坐标轴标

14、轴相切相切,且都且都过过点点(4,1),(4,1),则则两两圆圆心的距离心的距离|C|C1 1C C2 2|=(|=()A.4 B.4 C.8 D.8A.4 B.4 C.8 D.8 【解析】【解析】选选C.C.依题意依题意,可设圆心坐标为可设圆心坐标为(a,a)(a,a)、半径为、半径为r,r,其中其中r=a0,r=a0,因此圆的方程是因此圆的方程是(x-a)(x-a)2 2+(y-a)+(y-a)2 2=a=a2 2,由圆过点由圆过点(4,1)(4,1)得得(4-a)(4-a)2 2+(1-a)+(1-a)2 2=a=a2 2,即即a a2 2-10a+17=0,-10a+17=0,则该方程

15、的两根分别是圆心则该方程的两根分别是圆心C C1 1,C,C2 2的横坐标的横坐标,|C|C1 1C C2 2|=8,|=8,选选C.C.2.2.若若圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=b=b2 2+1+1始始终终平分平分圆圆(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4的周的周长长,则则a,ba,b满满足的关系是足的关系是()A.aA.a2 2+2a+2b-3=0+2a+2b-3=0B.aB.a2 2+b+b2 2+2a+2b+5=0+2a+2b+5=0C.aC.a2 2+2a+2b+5=0+2a+2b+5=0D.aD.a2 2-2a-2b+5=0

16、-2a-2b+5=0【解析解析】选选C.C.两圆的公共弦必过两圆的公共弦必过(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4的圆心的圆心,两圆相减得两圆相减得相交弦的方程为相交弦的方程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a-2(a+1)x-2(b+1)y+a2 2+1=0,+1=0,将圆心坐标将圆心坐标(-1,-1)(-1,-1)代入代入可得可得a a2 2+2a+2b+5=0.+2a+2b+5=0.3.(20153.(2015天津模天津模拟拟)两个两个圆圆x x2 2+y+y2 2+2ax+a+2ax+a2 2-4=0-4=0与与x x2 2+y+y2 2-4by-1+4b-

17、4by-1+4b2 2=0=0恰恰有三条公切有三条公切线线,若若aR,bR,ab0,aR,bR,ab0,则则 的最小的最小值为值为.【解析解析】两圆有三条公切线两圆有三条公切线,说明两圆外切说明两圆外切.两个圆的方程分别为两个圆的方程分别为(x+a)(x+a)2 2+y+y2 2=2=22 2,x,x2 2+(y-2b)+(y-2b)2 2=1=12 2,所以所以a,ba,b满足满足 =3,=3,即即a a2 2+4b+4b2 2=9,=9,所以所以 等号当且仅当等号当且仅当a a2 2=2b=2b2 2时成立时成立.答案答案:1 1考点考点3 3 直直线线与与圆圆的的综综合合问题问题知知考情

18、考情直直线线与与圆圆的的综综合合问题问题是高考中的一个命是高考中的一个命题热题热点点,主要以主要以选择选择、填、填空空题题的形式出的形式出现现,考考查查直直线线与与圆圆的位置关系、点到直的位置关系、点到直线线的距离的距离,有有时时也也与函数、不等式交与函数、不等式交汇汇命命题题.明明角度角度命命题题角度角度1:1:根据直根据直线线与与圆圆的位置关系解决最的位置关系解决最值值、弦、弦长长等等问题问题【典例【典例3 3】(2014(2014江西高考江西高考)在平面直角坐在平面直角坐标标系中系中,A,B,A,B分分别别是是x x轴轴和和y y轴轴上的上的动动点点,若以若以ABAB为为直径的直径的圆圆

19、C C与直与直线线2x+y-4=02x+y-4=0相切相切,则圆则圆C C面面积积的最的最小小值为值为()【解题提示】【解题提示】数形结合，找到圆的半径最小时是怎样的情况即可数形结合，找到圆的半径最小时是怎样的情况即可.【规范解答】【规范解答】选选A.A.由题意得圆由题意得圆C C过坐标原点，当原点到已知直线的过坐标原点，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，此时圆的半径为此时圆的半径为圆的面积为圆的面积为命题角度命题角度2 2：已知直线与圆的位置关系确定直线已知直线与圆的位置关系确定直线(或圆或圆)的方程的方程【典例【典例4 4】过点过点(，0

20、)0)引直线引直线l与曲线与曲线y=y=相交于相交于A A，B B两点，两点，O O为坐标原点，当为坐标原点，当AOBAOB的面积取最大值时，直线的面积取最大值时，直线l的斜率等于的斜率等于()()【解题提示】【解题提示】确定曲线的形状，利用几何法求得取最值时的情况，再确定曲线的形状，利用几何法求得取最值时的情况，再求求l的斜率的斜率.【规范解答】【规范解答】选选B.B.如图，设直线如图，设直线ABAB的方程为的方程为x=my+(x=my+(显然显然m0)m0)0，所以所以m m2 211，由根与系数的关系得由根与系数的关系得所以所以S SAOBAOB=S=SPOBPOB-S-SPOAPOA=

21、|OP|y=|OP|y2 2-y-y1 1|令令t=1+mt=1+m2 2(t2)(t2)，所以所以S SAOBAOB=所以当所以当 即即t=4t=4，m=-m=-时，时，AOBAOB的面积取得最大值，此时，的面积取得最大值，此时，直线直线l的斜率为的斜率为悟悟技法技法1.1.解决直解决直线线与与圆综圆综合合问题问题的常用的常用结论结论(1)(1)圆圆与直与直线线l相切的情形相切的情形:圆圆心到心到l的距离等于半径的距离等于半径,圆圆心与切点的心与切点的连线连线垂直于垂直于l.(2)(2)圆圆与直与直线线l相交的情形相交的情形:圆圆心到心到l的距离小于半径的距离小于半径,过圆过圆心而垂直于心而

22、垂直于l的直的直线线平分平分l被被圆圆截得的弦截得的弦;连连接接圆圆心与弦的中点的直心与弦的中点的直线线垂直于弦垂直于弦;过圆过圆内一点的所有弦中内一点的所有弦中,最短的是垂直于最短的是垂直于过这过这点的直径的那条弦点的直径的那条弦,最最长长的是的是过这过这点的直径点的直径.2.2.解决直解决直线线与与圆综圆综合合问题问题的一般思路的一般思路:分析分析题题意意,根据直根据直线线与与圆圆位置关系列出相位置关系列出相应应关系式关系式,然后求解然后求解.通通一一类类1.(20131.(2013山山东东高考高考)过过点点(3,1)(3,1)作作圆圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1的两条

23、切的两条切线线,切点分切点分别别为为A,B,A,B,则则直直线线ABAB的方程的方程为为()A.2x+y-3=0A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0D.4x+y-3=0【解析】【解析】选选A.A.由图象可知由图象可知,A(1,1),A(1,1)是一个切点是一个切点,根据切线的特点可知根据切线的特点可知过点过点A,BA,B的直线与过点的直线与过点(3,1),(1,0)(3,1),(1,0)的直线互相垂直的直线互相垂直,k,kABAB=-2,=-2,所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y-1=-2(x-1),y

24、-1=-2(x-1),即即2x+y-3=0.2x+y-3=0.2.(20152.(2015衡水模拟衡水模拟)若直线若直线y=k(x-2)y=k(x-2)与曲线与曲线 有交点，有交点，则则()()A.kA.k有最大值有最大值 ，最小值，最小值-B.kB.k有最大值有最大值 ,最小值最小值-C.kC.k有最大值有最大值0 0，最小值，最小值-D.kD.k有最大值有最大值0 0，最小值，最小值-【解析】【解析】选选C.C.如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率k k最小最小.此时此时 (舍去正值舍去正值)；当直线过半圆圆心时，当直线过半圆圆心时，k k最大，为最大，

25、为0.0.3.(20153.(2015杭州模杭州模拟拟)过过原点且原点且倾倾斜角斜角为为6060的直的直线线被被圆圆x x2 2+y+y2 2-4y=0-4y=0所截得的弦所截得的弦长为长为.【解析】【解析】依题设知：直线方程为依题设知：直线方程为y=x,y=x,圆心到该直线的距离圆心到该直线的距离答案：答案：创创新体新体验验7 7 与与圆圆有关的交有关的交汇问题汇问题【创创新点新点拨拨】1.1.高考考情高考考情:与与圆圆有关的有关的创创新交新交汇问题汇问题是近几年高考命是近几年高考命题题的一个的一个热热点点,此此类问题类问题多以其他相关知多以其他相关知识为识为依托依托,考考查圆查圆的方程以及

26、直的方程以及直线线与与圆圆的位的位置关系置关系,考考查查分分类讨论类讨论思想思想;或以或以圆为圆为依托考依托考查查基本不等式求最基本不等式求最值值等等.2.2.命命题题形式形式:常常见见的有与集合的有与集合问题问题相交相交汇汇、与、与线线性性规规划相交划相交汇汇、与不、与不等式相交等式相交汇汇、与向量相交、与向量相交汇汇等等.【新【新题题快快递递】1.(20151.(2015淮安模淮安模拟拟)设设m,nR,m,nR,若直若直线线(m+1)x+(n+1)y-2=0(m+1)x+(n+1)y-2=0与与圆圆(x-(x-1)1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1相切相切,则则m+nm+n的

27、取的取值值范范围围是是()【解析】【解析】选选D.D.圆心圆心(1(1，1)1)到直线到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离的距离2.(20152.(2015泰安模拟泰安模拟)M=(x)M=(x，y)|y=y)|y=，a0a0，N=(xN=(x，y)|(x-y)|(x-1)1)2 2+(y-)+(y-)2 2=a=a2 2，a0a0，则，则MNMN 时，时，a a的最大值与最小值分别的最大值与最小值分别为为_、_._.【解析】【解析】因为集合因为集合M=(xM=(x，y)|y=y)|y=，a0a0，所以集合所以集合M M表示以表示以O(0O(0，0)0

28、)为圆心，半径为为圆心，半径为r r1 1=a=a的上半圆的上半圆.同理，同理，集合集合N N表示以表示以O(1O(1，)为圆心，半径为为圆心，半径为r r2 2=a=a的圆上的点的圆上的点.这两个圆的半径随着这两个圆的半径随着a a的变化而变化，但的变化而变化，但|OO|=2.|OO|=2.如图所示如图所示.当两圆外切时，由当两圆外切时，由 a+a=2 a+a=2，得，得a=2 -2a=2 -2；当两圆内切时，由当两圆内切时，由 a-a=2 a-a=2，得，得a=2 +2.a=2 +2.所以所以a a的最大值为的最大值为2 +22 +2，最小值为，最小值为2 -22 -2答案：答案：2 +2

29、 2 -22 +2 2 -23.(20153.(2015东东莞模莞模拟拟)如果点如果点P P在平面区域在平面区域点点Q Q在曲在曲线线x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1上上,那么那么|PQ|PQ|的最小的最小值为值为.【解析】【解析】由点由点P P在平面区域在平面区域 上上,画出点画出点P P所在的平面所在的平面区域区域.由点由点Q Q在圆在圆x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1上上,画出点画出点Q Q所在的圆所在的圆,如图所示如图所示.由题意由题意,得得|PQ|PQ|的最小值为圆心的最小值为圆心(0,-2)(0,-2)到直线到直线x-2y+1=0 x-2y+1=

30、0的距离减去半的距离减去半径径1.1.又圆心又圆心(0,-2)(0,-2)到直线到直线x-2y+1=0 x-2y+1=0的距离为的距离为 此时垂此时垂足足(-1,0)(-1,0)在满足条件的平面区域内在满足条件的平面区域内,故故|PQ|PQ|的最小值为的最小值为 -1.-1.答案答案:-1-1【备备考指考指导导】1.1.准确准确转转化化:解决此解决此类创类创新新问题时问题时,一定要一定要读读懂懂题题目的本目的本质质含含义义,紧紧扣扣题题目所目所给给条件条件,结结合合题题目要求目要求进进行恰当行恰当转转化化,将将问题转问题转化化为为熟知的熟知的问题问题解决解决.2.2.方法方法选选取取:对对于此于此类问题类问题要特要特别别注意注意圆圆的定的定义义及其性及其性质质的的应应用用,要根要根据条件据条件,合理合理选择选择代数方法或几何方法代数方法或几何方法,对对于涉及参数的于涉及参数的问题问题,要注意要注意参数的参数的变变化化对问题对问题的影响的影响,以便确定是否需要分以便确定是否需要分类讨论类讨论.结束结束