大学线性代数最全知识点复习课程.ppt

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1、大学线性代数最全知识点第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第三章第三章 矩阵的初等变换及线性方程组矩阵的初等变换及线性方程组第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶

2、行列式.(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个

3、元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答解解设所求的二次多项式为设所求的二次多

4、项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得故所求多项式为故所求多项式为1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例:用用1,2,3三个数字三个数字,可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题这是一个大家熟知的问题,答案是答案是:3!=6.将此问题将此问题推广推广:把把n个不同的元素按先后次序排成个不同的元素按先后次序排成一列一列,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.定义定义:把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列,叫做这叫做这 n 个元个元素的素的全排列全排列(或或排列排

5、列).n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数,通常用通常用 Pn 表表示示,称为称为排列数排列数.Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列一、全排列二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义:在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中,若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如:排列排列32514 中中,我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序.以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例,规定规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义:

6、一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数逆序数.前面的数比前面的数比后面的数大后面的数大3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.例如例如:排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.方法方法1:分别计算出排在分别计算出排在1,2,n 前面比它大的数前面比它大的数码的个数并求和码的个数并求和,即先分别算出即先分别算出 1,2,n 这这 n 个元

7、素个元素的逆序数的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数的逆序数.方法方法2:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法3:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小后面比它小的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序

8、数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例例1:求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解:在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故故2的逆序为的逆序为1;3 2 5 1 4没有比没有比5大的数大的数,故其逆序为故其逆序为0;个个,故其逆序为故其逆序为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序为故逆序为1.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的数有大的数有3即即于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5.解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2:计算下

9、列排列的逆序数计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1)217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n1)(n2)21解解:n(n1)(n2)2 1012(n1)(n2)t=0+1+2+(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为的逆序数为:此排列当此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列时为偶排列;当当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列时为奇排列.(3)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(

10、k1)(k+1)k.(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k解解:0121233(k1)(k1)kt=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为的逆序数为:此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列,当当 k为奇数时为奇为奇数时为奇排列排列.1.n个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!个个;2.排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法.三、小结三、小结1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入

11、三阶行列式三阶行列式说明说明(1)三阶行列式共有三阶行列式共有6项项,即即3!项项.说明说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积的乘积.说明说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列行标为标准排列).例如例如 a13a21a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列312的逆序数为的逆序数为t(312)=1+1=2,偶排列偶排列.a13a21a32 的前面取的前面取+号号.例如例如 a11a23a32,将行下标标准排列将行

12、下标标准排列,列下标排列列下标排列132的逆序数为的逆序数为t(132)=0+1=1,奇排列奇排列.a11a23a32的前面取的前面取号号.其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项),t 是列下标排是列下标排列列 p1p2p3 的逆序数的逆序数.二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义:设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积,并冠以并冠以符号符号(1)t,得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1,2,n 的一个排列的一个排列,t

13、为排列为排列p1p2 pn的逆序数的逆序数.的项的项,所有这所有这 n!项的代数和项的代数和称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的)n 阶行列式阶行列式.记作记作简记作简记作 det(aij).数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij)(第第 i 行第行第 j 列列)的元素的元素.即即 说明说明1.行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式,它是根据求解它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的义的;说明说明2.n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和;说明说明3.n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列

14、式的每项都是位于不同行,不同不同列列 n 个元素的乘积个元素的乘积,的符号为的符号为(1)t;说明说明4.一阶行列式的符号一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值不要与绝对值符号相混淆符号相混淆,一般不使用此符号一般不使用此符号.例例1:计算对角行列式计算对角行列式解解:分析分析.展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4,则则即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1)t(4321)a14 a23 a32 a41即即例例2:计算计算上三角行列式上三角行列式解解:分析分析

15、展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.从最后一行开始讨论非零项从最后一行开始讨论非零项.显然显然pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即即显然显然=1 4 5 8同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式对角行列式对角行列式例例5:设设证明证明:D1=D2.中中b的指数正好是的指数正好是a的行标与列标的差的行标与列标的差证证:由行列式定义有由行列式定义有由于由于 p1+p2+pn=1+2+n,所以所以故故 行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式.n 阶行列式共有阶

16、行列式共有n!项项,每项都是位于不同行每项都是位于不同行,不同列的不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结三、小结思考题思考题已知多项式已知多项式求求 x3 的系数的系数.思考题解答思考题解答含含 x3 的项有仅两项的项有仅两项,即即对应于对应于=x3+(2x3)故故 x3 的系数为的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+(1)t(1243)a11a22a34a43一、对换的定义一、对换的定义1.4 对对 换换 定义定义:在排列中在排列中,将任意两个元素对调将任意两个元素对调,其余元素其余元素不动不动,这种

17、作出新排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调,叫做叫做相邻对换相邻对换.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如例如二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1:一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换,排列改排列改变奇偶性变奇偶性.对换对换 a与与b即除即除 a,b 外外,其它元素的逆序数不改变其它元素的逆序数不改变.证明证明:先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形.a1 a2

18、al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此,相邻对换排列改变奇偶性相邻对换排列改变奇偶性.当当 ab 时时,对换后对换后 a 的逆序数不变的逆序数不变,b 的逆序数增加的逆序数增加1;次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性.对一般对换的情形对一般对换的情形,例如例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换对换 a与与b 推

19、论推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶偶排列调成标准排列的对换次数为偶数排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明:由定理由定理1知知,对换的次数就是排列奇偶性的对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),论成立论成立.因此因此,推推下面讨论下面讨论行列式的另一种定义行列式的另一种定义形式形式.对于行列式的任一项对于行列式的任一项其中其中12ijn为自然排列为自然排列,其逆序数其逆序数0,t 为列标排列为列标排列p1p2pipjpn的逆序数的逆序数,对换元素对换元素 此时此时,行标排列行标排列

20、12jin的逆序为奇数的逆序为奇数,而列标而列标排列排列p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性的逆序也改变了一次奇偶性.换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和的的奇偶性不变奇偶性不变,即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)具具有相同的奇偶性有相同的奇偶性.因此因此,对对故故 一般地一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为素的位置后得到的符号仍为(1)t.因此因此,总可以经过总可以经过若干次对换行列式的任一项若干次对换行列式的任一项,得得其中其中 s 为行下标排列为行下标

21、排列 q1q2 qn 的逆序数的逆序数.定理定理2:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn的逆序数的逆序数,并按行标排列求和并按行标排列求和.定理定理3:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆序数之和序数之和.并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.因此因此,我们可以得到行列式的另一种定义形式我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论根据以上讨论,还可以如下定义还可以如下定义 例例1:试判断试判断 a14a23a31a42a56a65

22、和和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项是否六阶行列式中的项.解解:a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列的行标为顺序排列,列标排列列标排列的逆序数为的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.将将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列,则其则其列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项不是六阶

23、行列式中的项.解解:将将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列,则则其列标排列的逆序数为其列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号的前边应带正号.例例2:在六阶行列式中在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.项项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之的行下标与列下标的逆序数之和为和为 t(341562)+t(234165)=(

24、0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号的前边应带正号.例例3:用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解:由于行列式由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素,所以所以Dn=(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn=(1)t 12(n1)n=(1)t n!即即而而t=t(n1)(n2)21 n =0+1+2+(n3)+(n2)+0=(n1)(n2)/2所以所以三、小结三、小结1.对换排列中的任意两个元素对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性排列改变

25、奇偶性.2.行列式的三种定义方法行列式的三种定义方法:其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆序数之和序数之和.并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.思考题思考题证明在全部证明在全部 n 阶排列中阶排列中(n 2),奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.思考题解答思考题解答 证证:设在全部设在全部 n阶排列中有阶排列中有s个奇排列个奇排列,t 个偶排列个偶排列,则则 s+t=n！现来证！现来证 s=t.若若将所有将所有 s个奇排列的前两个数作对换个奇排列的前两个数作对换,则这则这 s 个个奇排列全变成偶排列奇排列全变成偶排列,故

26、必有故必有s=t=若若将所有将所有 t 个偶排列的前两个数作对换个偶排列的前两个数作对换,则这则这 t 个个偶排列全变成奇排列偶排列全变成奇排列,如此产生的如此产生的 s 个偶排列不会超个偶排列不会超过所有的过所有的 s 个奇排列个奇排列,所以所以 t s.过所有的过所有的 t 个偶排列个偶排列,所以所以 s t.如此产生的如此产生的 t 个奇排列不会超个奇排列不会超1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式.记记将将D的行列互换就得到的行列互换就得到证明证明:记行列式记行列式 D=det(aij)的转置行列

27、式为的转置行列式为:性质性质性质性质1:1:行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即DT=D.按定义按定义即即 bij=aji(i,j=1,2,n),又由行列式的另一种表示得又由行列式的另一种表示得,所以所以,DT=D,结论成立结论成立 说明说明:性质性质1行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的性质凡是对行成立的结论行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立对列也同样成立.性质性质性质性质2:2:互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),行列式变号行列式变号.证明证明证明证明:设行列式设行列式是由行列式是由行列式互换互换 i,j(i j

28、)两列得到两列得到.即即,当当 k i,j 时时,bpk=apk;当当 k=i,j 时时,bpi=apj,bpj=api;于是于是其中其中 t 为排列为排列 p1 pi pj pn的逆序数的逆序数,设设 s 为排列为排列p1 pj pi pn的逆序数的逆序数.显然显然 t 与与 s 的奇偶性不同的奇偶性不同,即即(1)t=(1)s,所以所以,例如例如 推论推论:如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全相同,则此行列则此行列式为零式为零.证明证明:互换互换相同的两行相同的两行,则有则有D=D,所以所以D=0.性质性质性质性质3:3:行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘

29、以中所有的元素都乘以同一数同一数k,等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.即即 推论推论推论推论:行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面.性质性质4:行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例,则则此行列式为零此行列式为零证明证明:性质性质5:若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数之的元素都是两数之和和,例如例如则则D等于下列两个行列式之和等于下列两个行列式之和:证明证明:故结论成立故结论成立.性质性质6:把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一的各元素乘以

30、同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去对应的元素上去,行列式不变行列式不变.例如例如 引入记号引入记号:用用 ri 表示第表示第 i 行行,ci 表示第表示第 i 列列.在计算行列式时在计算行列式时,我们经常利用我们经常利用性质性质2,3,6对行列对行列式进行变换式进行变换.利用利用性质性质2交换行列式的第交换行列式的第 i,j 两行两行(列列),记作记作ri rj (ci cj);利用利用性质性质6把行列式的第把行列式的第 j 行行(列列)的各元素乘以同的各元素乘以同一数一数 k 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,记作记作ri+rj k(

31、ci+cj k);利用利用性质性质3行列式的第行列式的第 i 行行(列列)乘以数乘以数k,记作记作ri k(ci k);二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法计算行列式常用方法:利用性质利用性质2,3,6,特别是性质特别是性质6把行列式化为把行列式化为上上(下下)三角形行列式三角形行列式,从而从而,得到行列式得到行列式的值的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值 等于其主对角元的乘积等于其主对角元的乘积.例例1:计算计算5阶行列式阶行列式解解:Dr2+3r1r3 2r1r4 3r1r5 4r1r2 r3r4+r2r4+r3r5+2r

32、3r5+2r4例例2 计算计算解：解：解解:将第将第2,3,n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例3:计算计算 n 阶行列式阶行列式第第2,3,n 行都减去第一行得行都减去第一行得:例例4:设设证明证明:D=D1D2.证明证明:对对D1作行运算作行运算 ri+t rj,把把D1化为下三角形行化为下三角形行列式列式:对对D2作列运算作列运算 ci+kcj,把把D2化为下三角形行列式化为下三角形行列式:先对先对D的前的前k行作行运算行作行运算 ri+trj,然后对然后对D的后的后n列列作列运算作列运算 ci+kcj,把把D化为下三角形行列式化为下三角形行列式:故故,D=p11 pkk q11

33、qnn=D1D2.例例5 计算计算2n阶行列式阶行列式其中未写出的元素为其中未写出的元素为0.解：解：将将D2n中的第中的第2n行依次与前面的行对换，行依次与前面的行对换，换至换至第二行；第二行；再将再将D2n中的第中的第2n列依次与前面的列对换，列依次与前面的列对换，换至第二列，共做换至第二列，共做2(2n-2)次对换，得次对换，得例例6 在在n阶行列式阶行列式中，中，若若则称则称D为为对称行列式；对称行列式；若若则称则称D为为反对称行列式；反对称行列式；证明：证明：奇数阶反对称行列式的值为奇数阶反对称行列式的值为0.反对称行列式的主对角元全为反对称行列式的主对角元全为0 0证明：证明：设设

34、 n 阶反对称行列式为：阶反对称行列式为：由行列式的性质由行列式的性质1可知：可知：每行提取（每行提取（1 1）n为奇数为奇数所以所以D0.行列式的行列式的6个性质个性质.行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法计算行列式常用方法:(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把利用性质把行列式化为上行列式化为上(下下)三角形行列式三角形行列式,从而算得行列式的值从而算得行列式的值.三、小结三、小结思考题思考题其中已知其中已知 abcd=1.计算行列式计算行列式,思考题解答思考题解答1

35、.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式引例引例,考察三阶行列式考察三阶行列式 在在 n 阶行列式阶行列式D中中,把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素划去后列元素划去后,留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D的关于的关于)元素元素aij 的的余子式余子式,记作记作 Mij.即即记记 Aij=(1)i+j Mij,称称 Aij 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.例如例如 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子

36、式子式和唯一的一个代数余子式.引理引理:如果一个如果一个 n 阶行列式阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij 外都为零外都为零,那么那么,行列式行列式 D 等于等于 aij 与它的代数余子式与它的代数余子式 Aij的乘积的乘积,即即 D=aij Aij.=aij Aij.证证:当当 aij 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,又由于又由于 A11=(1)1+1M11=M11,由上节例由上节例4,即教材中的例即教材中的例10得得:D=a11M11.从而从而 D=a11A11,即结论成立即结论成立.再证一般情形再证一般情形,此时此时 把把D的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行

37、,第第 i 2行行,第第1行行交换交换,得得 再再 把把D的第的第 j 列依次与第列依次与第 j 1列列,第第 j 2列列,第第1列交换列交换,得得=(1)i+j aij M 11,显然显然,M 11恰好是恰好是aij在在D中的余子式中的余子式Mij,即即M 11=Mij,因此因此,D=(1)i+j aij Mij=aij Aij,故引理结论成立故引理结论成立.定理定理3:行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其的各元素与其对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和,即即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n);D=a1iA1i+a2iA2i+

38、aniAni (i=1,2,n).二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则证证:D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n).由引理得由引理得:引理的结论常用如下表达式引理的结论常用如下表达式:(i=1,2,n)推论推论:行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对的对应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零,即即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j.证证:把行列式把行列式D=det(aij)按第按第 j 行展开行展开,得得把把 ajk 换成

39、换成 aik(k=1,2,n),当当 i j 时时,可得可得第第 j 行行第第 i 行行相同相同同理同理 a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j 所以所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质其中其中说明：说明：由证明过程可知由证明过程可知例例1:计算行列式计算行列式解解:例例2:计算行列式计算行列式解解:D例例3:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式说明：（说明：（1）范德蒙德）范德蒙德(Vandermonde)行列式的特点是：行列式的特点是：每列（行）元素都是分别是同一个数的不同每列（

40、行）元素都是分别是同一个数的不同方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按递升次序排列递升次序排列,从从0到到 n1次次.（2）范德蒙德）范德蒙德(Vandermonde)行列式的结果是行列式的结果是满足条件满足条件的所有因子的所有因子的连乘积，共有的连乘积，共有个因子个因子.证证:用数学归纳法用数学归纳法所以所以,当当 n=2 时时,(1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,(1)式成立式成立.对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,作如下变换作如下变换,ri x1ri-1 (i=n,n1,2,1).得得按第一列展开按第

41、一列展开,并把每列的公因子并把每列的公因子(xi x1)提出提出,就就有有:n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式则根据归纳假设得证则根据归纳假设得证:例例4:计算计算 解解:Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂中各行元素分别是同一个数的不同方幂,方方幂的次数自左至右按递升次序排列幂的次数自左至右按递升次序排列,但不是从但不是从0到到 n1,而是从而是从1递升至递升至 n.若提出各行的公因子若提出各行的公因子,则方幂的次则方幂的次数便是从数便是从0升到升到 n1,于是得于是得:上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置阶范德蒙行列式的转置,由范德蒙行列式知由范德蒙行列式

42、知评注评注:本题所给行列式各行本题所给行列式各行(列列)都是某元素的不同都是某元素的不同方幂方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同相同,需要利用行列式的性质需要利用行列式的性质(如提取公因子如提取公因子,调换各调换各行行(列列)的次序等的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式将此行列式化成范德蒙行列式.例例5:计算计算解：考虑行列式解：考虑行列式是是中元素中元素的余子式的余子式.一方面，一方面，这是一个关于这是一个关于 y 的的 n 次多项式，其中次多项式，其中的系数是的系数是另一方面，将另一方面，将按最后一列展开：按最后一列展开：其中其中是是的

43、系数的系数.比较可得：比较可得：这种方法称为：加边法（升阶法）这种方法称为：加边法（升阶法）.例例6.计算行列式计算行列式分析：元素的特点是除主对角元外，第分析：元素的特点是除主对角元外，第 i 列的元素列的元素为为解：解：例例4.已知已知求求解解：1.行列式按行行列式按行(列列)展开法则是把高阶行列式的计展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结2.思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和:A11+A12+A1n.设设 n 阶行列式阶行列式思考题解答思考题解答解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表

44、示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成A11+A12+A1n1.7 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 设线性方程组设线性方程组 若常数项若常数项b1,b2,bn不全为零不全为零,则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;若常数项若常数项b1,b2,bn全为零全为零,则称则称此方程组为此方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组;(1)齐次线性方程组齐次线性方程组易知，易知，一定是一定是(2)的解，的解，称为称为零解零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(2)的解，称为的解，称为非零解非零解。定理定理1:(克拉默克拉默(Cramer)法则法则)如果线性方程组如果

45、线性方程组(1)的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零,即即那么那么,线性方程组线性方程组(1)有解有解,且解是唯一的且解是唯一的,解可以表为解可以表为其中其中Dj 是把系数行列式是把系数行列式D中第中第 j 列的元素用方程组右列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式阶行列式,即即 证明证明:用系数行列式用系数行列式D的第的第 j 列元素的代数余子式列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组依次乘方程组(1)的的n个方程个方程,得得 再把再把 n 个方程相加个方程相加,得得D 由行列式代数余子式的性质可知由行列式代数余子式的性质可知,上式中上

46、式中xj 的系的系数等于数等于D,而而 xi(i j)的系数均等于的系数均等于0,等式右端为等式右端为Dj.于是于是因此因此,当当 D 0 时时,方程组方程组(2)有唯一解有唯一解:Dxj=Dj (j=1,2,n)(2)由于方程组由于方程组(2)与方程组与方程组(1)等价等价,故故也是方程组也是方程组(1)的唯一解的唯一解.定理定理2:如果线性方程组如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.定理定理3:如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(3)的系数行列式的系数行列式 D 0,则齐次线性方程组则齐次线性方程组(3)没有非零解没有非零

47、解.(3)定理定理4:如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(3)有非零解有非零解,则它的则它的系数行列式系数行列式 D 必为零必为零.在后面我们将证明在后面我们将证明:齐次线性方程组齐次线性方程组(3)有非零解有非零解的充分必要条件为的充分必要条件为(3)的系数行列式的系数行列式 D 必为零必为零.例例1:用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解:所以所以例例2:问问 取何值时取何值时,齐次方程组齐次方程组有非零解有非零解?由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解解:则则 =0,=2或或=3时时,齐次方程组有非零解齐次方程组有非零解.例例3.求

48、使得求使得 3 点点共线的充分必要条件共线的充分必要条件.解：解：假设这假设这3点位于直线点位于直线上，其中上，其中a,b,c 不同时为不同时为 0,即有即有3点共线等价于上述关于点共线等价于上述关于a,b,c 的齐次线性方程组有非零的齐次线性方程组有非零解，其充要条件是解，其充要条件是例例4.证明证明 n 次多项式至多有次多项式至多有 n 个互异的根个互异的根.证明：证明：用反证法用反证法,假设假设 n 次多项式次多项式有有 n 个互异的根：个互异的根：即有即有上述关于上述关于的齐次线性方程组的系数的齐次线性方程组的系数行列式为：行列式为：因为因为互不相等，互不相等，所以所以从而齐次方程组只

49、有零解，从而齐次方程组只有零解，这与这与矛盾，矛盾，故结论成立！故结论成立！1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导,并不并不适用于实际计算适用于实际计算.小结思考题思考题 当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉能否用克拉默法则解方程组默法则解方程组?此时方程组的解为何此时方程

50、组的解为何?思考题解答思考题解答不能不能.此时方程组可能为无解此时方程组可能为无解,或有无穷多解或有无穷多解.2.1 矩矩 阵阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入1.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数aij和和常数项常数项bj(i=1,2,n,j=1,2,m).对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张数表的研究这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市四城市之间开辟了若干航线之间开辟了若干航线,如图所示表示如图所示表示了四城市间的航班图了四城市间的航班图,如果