史宁中义务教育阶段数学基本思想理解与把握教学教材.ppt

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1、义务教育(yw jioy)阶段数学基本思想理解与把握东北师范大学史宁中2015.4第一页，共38页。报告报告(bogo)目录目录n n一、数学(shxu)的基本思想n n二、义务教育数学(shxu)中的抽象n n三、义务教育数学(shxu)中的推理n n四、义务教育数学(shxu)中的模型第二页，共38页。一、数学的基本一、数学的基本(jbn)思想思想1.1.1.1.课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）过去过去过去过去(guq)(guq)(guq)(guq

2、)的教育理念：以知识为本的教育理念：以知识为本的教育理念：以知识为本的教育理念：以知识为本 教学大纲教学大纲教学大纲教学大纲 关心问题是：关心问题是：关心问题是：关心问题是：应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是：考核内容是：考核内容是：考核内容是：规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求 教学目标是：教学目标是：教学目标是：教学目标是：基础知识（概念记忆与命题理解）

3、扎实（记忆）基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）教学形式是：教学形式是：教学形式是：教学形式是：课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）第三页，共38页。现代教育理念：以人为本现代教育理念：以人为本现代教育理念：以人为本现代教育理念：以人

4、为本 工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法数学教育：不仅要让学生记住一些数学的知识、

5、掌握一些数学的数学教育：不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的数学教育：不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的数学教育：不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能，还要培养学生的数学素养。技能，还要培养学生的数学素养。技能，还要培养学生的数学素养。技能，还要培养学生的数学素养。一堂好课：把握数学内容的本质，创设合理的教学一堂好课：把握数学内容的本质，创设合理的教学一堂好课：把握数学内容的本质，创设合理的教学一堂好课：把握数学内容的本质，创设合理的教学(jio xu)(jio xu)(jio xu)(jio xu)情情情情境，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，理解

6、数学境，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，理解数学境，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，理解数学境，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，理解数学内容的本质，感悟数学的基本思想，积累思维的经验。内容的本质，感悟数学的基本思想，积累思维的经验。内容的本质，感悟数学的基本思想，积累思维的经验。内容的本质，感悟数学的基本思想，积累思维的经验。终极目标：会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析终极目标：会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析终极目标：会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析终极目标：会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析现实世界，会用数学

7、的语言表达现实世界。现实世界，会用数学的语言表达现实世界。现实世界，会用数学的语言表达现实世界。现实世界，会用数学的语言表达现实世界。如何实现？如何实现？如何实现？如何实现？第四页，共38页。义务教育数学课程总目标义务教育数学课程总目标 四基：基础知识、基本技能四基：基础知识、基本技能+基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验 四能：发现问题、提出问题四能：发现问题、提出问题+分析问题、解决问题分析问题、解决问题 科学：敢于质疑、善于思考、实事求是、一丝不苟科学：敢于质疑、善于思考、实事求是、一丝不苟基本活动经验：思维的经验，实践的经验（过程性目标的目标）基本活动经验：思维的经验，实践的经

8、验（过程性目标的目标）会思考问题、会做事情能力的培养，依赖的不是说教和理会思考问题、会做事情能力的培养，依赖的不是说教和理解，依赖的是学生解，依赖的是学生(xu sheng)(xu sheng)参与其中的活动，依赖的是学生参与其中的活动，依赖的是学生(xu sheng)(xu sheng)在这个过程中自己的思考和感悟，这种能力是经验在这个过程中自己的思考和感悟，这种能力是经验的积累。的积累。第五页，共38页。2.2.2.2.数学基本核心素养（核心词、核心概念）数学基本核心素养（核心词、核心概念）数学基本核心素养（核心词、核心概念）数学基本核心素养（核心词、核心概念）如何理解数学：数学的研究源于

9、对现实世界的抽象，通过基于抽象结如何理解数学：数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结如何理解数学：数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结如何理解数学：数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学还是表的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学还是表的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理

10、的工具，数学还是表的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学还是表达与交流的语言，数学承载着思想和文化。达与交流的语言，数学承载着思想和文化。达与交流的语言，数学承载着思想和文化。达与交流的语言，数学承载着思想和文化。教学内容教学内容教学内容教学内容 核心素养核心素养核心素养核心素养 数学思想：质量监测四个原则数学思想：质量监测四个原则数学思想：质量监测四个原则数学思想：质量监测四个原则义务教育阶段义务教育阶段义务教育阶段义务教育阶段(jidun)(jidun)(jidun)(jidun)（8 8 8 8个）个）个）个）核心词、核心概念核心词、核心概念核心词、核心概念核心词、核心概念

11、 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想高中教育阶段高中教育阶段高中教育阶段高中教育阶段(jidun)(jidun)(jidun)(jidun)（6 6 6 6个）个）个）个）数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析运

12、算能力、直观想象、数据分析运算能力、直观想象、数据分析运算能力、直观想象、数据分析第六页，共38页。3.3.3.3.什么什么什么什么(shn me)(shn me)(shn me)(shn me)是数学的基本思想是数学的基本思想是数学的基本思想是数学的基本思想 图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？确定数学的基本思想的原则：确定数学的基本思想的原则：确定数学的基本思想的原则：确定数学的基本思想的原则：数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展

13、必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、推理、模型抽象、推理、模型抽象、推理、模型抽象、推理、模型 义务教育阶段数学教学的责任：义务教育阶段数学教学的责任：义务教育阶段数学教学的责任：义务教育阶段数学教学的责任：感悟抽象、懂得推理感悟抽象、懂得推理感悟抽象、懂得推理感悟抽象、懂得推理 第七页，共38页。通过抽象：现实通过抽象：现实 数学数学 把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，

14、数学具有一般性通过推理：数学通过推理：数学 数学数学 从假设前提出发从假设前提出发(chf)(chf)，通过推理得到数学的结果，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性通过模型：数学通过模型：数学 现实现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性 得到数学的基本特征：得到数学的基本特征：一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）第八页，共38页。数学思想：不是知识，不是靠讲解让学

15、生理解数学思想：不是知识，不是靠讲解让学生理解数学思想：不是知识，不是靠讲解让学生理解数学思想：不是知识，不是靠讲解让学生理解 是创设情境让学生感悟是创设情境让学生感悟是创设情境让学生感悟是创设情境让学生感悟教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握）教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握）教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握）教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握）如何感悟？（情境创设、教师引导）如何感悟？（情境创设、教师引导）如何感悟？（情境创设、教师引导）如何感悟？（情境创设、教师引导）参见著作：基本概念与运算法则参见著作：基本概念与运算法则参见著作：基本概念与运算法则参见

16、著作：基本概念与运算法则-小学数学教学中的核心小学数学教学中的核心小学数学教学中的核心小学数学教学中的核心(hxn)(hxn)(hxn)(hxn)问题，问题，问题，问题，高教社，高教社，高教社，高教社，2013201320132013年年年年通过抽象得到概念定义有两种方法：对应的方法、内涵的方法。通过抽象得到概念定义有两种方法：对应的方法、内涵的方法。通过抽象得到概念定义有两种方法：对应的方法、内涵的方法。通过抽象得到概念定义有两种方法：对应的方法、内涵的方法。建议：开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）建议：开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）建议：开始用对应的方法（感

17、悟），以后用内涵方法（理解）建议：开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？数是对数量的抽象，本质是大小关系：从数量的多少到数的大小。数是对数量的抽象，本质是大小关系：从数量的多少到数的大小。数是对数量的抽象，本质是大小关系：从数量的多少到数的大小。数是对数量的抽象，本质是大小关系：从数量的多少到数的大小。二、义务教育数学二、义务教育数学(shxu)中的抽象中的抽象第九页，共38页。开始用对应的方法：开始用

18、对应的方法：开始用对应的方法：开始用对应的方法：三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡 3 3 3 3（去掉物理属性）（去掉物理属性）（去掉物理属性）（去掉物理属性）对应方法对应方法对应方法对应方法 负数与自然数：数量相等、意义相反。负数与自然数：数量相等、意义相反。负数与自然数：数量相等、意义相反。负数与自然数：数量相等、意义相反。以后用内涵的方法：以后用内涵的方法：以后用内涵的方法：以后用内涵的方法：自然数是一个一个多起来的（算数公理体系、后继数）自然数是一个一个多起来的（算数公理体系、后继数）自然数是一个一个多起来的（算数公理体系、后继数）自然数是一个一个多起来

19、的（算数公理体系、后继数）1=0+1 1=0+1 1=0+1 1=0+1，2=1+12=1+12=1+12=1+1，3=2+13=2+13=2+13=2+1，4=3+14=3+14=3+14=3+1，如何认识如何认识如何认识如何认识 10000?10000?10000?10000?10 10 10 10个个个个1000100010001000？10101010个千？个千？个千？个千？比比比比 9999 9999 9999 9999 多多多多 1 1 1 1（读法可以（读法可以（读法可以（读法可以(ky)(ky)(ky)(ky)不同，表达必须一致）不同，表达必须一致）不同，表达必须一致）不同，表

20、达必须一致）第十页，共38页。数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有(jyu)(jyu)(jyu)(jyu)一般性一般性一般性一般性读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号+数位数位数位数位如何读如何读如何读如何读 2002 2002 2002 2002：符号：符号：符号：符号 0 0 0 0 很重要很重要很重要很重要 1 1 1 1 10 1 10 1 10 1 10 1 9+0 9+0 9+0 9+0、10101010 数位与数不同数位与

21、数不同数位与数不同数位与数不同 数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大 个个个个(ones)(ones)(ones)(ones)、十、十、十、十(tens)(tens)(tens)(tens)，“十十十十”是十个是十个是十个是十个“个个个个”“万万万万”是十个是十个是十个是十个“千千千千”需要知道十进制、不需要知道计数单位需要知道十进制、不需要知道计数单位需要知道十进制、不需要知道计数单位需要知道十进制、不需要知道计数单位 数：数：数：数：10=9+110=9+110=9+110=9+1，10000=9999+1 10000=9999+

22、1 10000=9999+1 10000=9999+1 0 0 0 0 对于加法很重要：相反数；减法：自然数集合对于加法很重要：相反数；减法：自然数集合对于加法很重要：相反数；减法：自然数集合对于加法很重要：相反数；减法：自然数集合 整数集合整数集合整数集合整数集合1 1 1 1 对于乘法很重要：倒数；对于乘法很重要：倒数；对于乘法很重要：倒数；对于乘法很重要：倒数；除法：整数集合除法：整数集合除法：整数集合除法：整数集合 有理数集合有理数集合有理数集合有理数集合第十一页，共38页。数的运算数的运算 与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵

23、。内涵：内涵：3+1=4 3+1=4？4=3+1 4=3+1 3+1=4 3+1=4 对应：对应：哪边多哪边多 哪边多？哪边多？3+1=4 3+1=4 理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。方程方程(fngchng)(fngchng)的定义？方程的定义？方程(fngchng)(fngchng)与函数与函数的关系？的关系？第十二页，共38页。如何定义乘法？为什么负负得正？如何定义乘法？为什么负负得正？如何定义乘法？为什么负负得正？如何定义乘法？为什么负负得正？乘法是加法的简便运算：乘法是加法的简便运算：乘法是加法的简便运算：乘法是

24、加法的简便运算：2+2+2=2 3=62+2+2=2 3=62+2+2=2 3=62+2+2=2 3=6 (-2)3=(-2)+(-2)+(-(-2)3=(-2)+(-2)+(-(-2)3=(-2)+(-2)+(-(-2)3=(-2)+(-2)+(-2)=-62)=-62)=-62)=-6 2 (-3)=-6 2 (-3)=-6 2 (-3)=-6 2 (-3)=-6？在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。在整数在整数在整数在整数(zhngsh)(zhngsh)(zhngsh)(z

25、hngsh)集合上？集合上？集合上？集合上？乘法的本质。两个性质：乘法的本质。两个性质：乘法的本质。两个性质：乘法的本质。两个性质：0 a=00 a=00 a=00 a=0；1 a=a1 a=a1 a=a1 a=a 两个法则：两个法则：两个法则：两个法则：a b=b a;a b=b a;a b=b a;a b=b a;(a+b)c=a c+b c (a+b)c=a c+b c (a+b)c=a c+b c (a+b)c=a c+b c连同性质和法则，把乘法由自然数集合扩张到整数连同性质和法则，把乘法由自然数集合扩张到整数连同性质和法则，把乘法由自然数集合扩张到整数连同性质和法则，把乘法由自然数

26、集合扩张到整数(zhngsh)(zhngsh)(zhngsh)(zhngsh)集合。集合。集合。集合。1 1=1 1 1=1 1 1=1 1 1=1，(-1)1=-1 (-1)1=-1 (-1)1=-1 (-1)1=-1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1第十三页，共38页。点、线、面的抽象点、线、面的抽象点、线、面的抽象点、线、面的抽象(chuxing)(chuxing)(chuxing)(chuxing)0 0 0 0 维是点、维是点、维是点、维是点、1 1

27、1 1 维是线、维是线、维是线、维是线、2 2 2 2 维是面、维是面、维是面、维是面、3 3 3 3 维是体。维是体。维是体。维是体。日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象(chuxing)(chuxing)(chuxing)(chuxing)的结果。的结果。的结果。的结果。第十四页，共38页。角的抽象角的抽象角的抽象角的抽象 角是由有公共端点角是由有公共端点角是由有公共端点角是由有公共端点(dun din)(dun din)(dun din)(d

28、un din)的两条射线所组成的图形。的两条射线所组成的图形。的两条射线所组成的图形。的两条射线所组成的图形。称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点条线段的一个端点条线段的一个端点条线段的一个端点(dun din)(dun din)(dun din)(dun din)重合。称这两条线段为角的边，重合。称这两条线段为角的边，重合。称这两条线段为角的边，重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。（小学：画同样大小的角）（初中

29、：如角的大小与边长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如角的大小与边长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如角的大小与边长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如何判断直角）何判断直角）何判断直角）何判断直角）几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。第十五页，共38页。抽象小结抽象小结抽象小结抽象小结抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：

30、抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则：把外部世界数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部。把外部世界数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部。把外部世界数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部。把外部世界数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部。概念概念概念概念(ginin)(ginin)：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角 关系：数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面关系：数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面关系：数的大小关系；两点决定一条直线

31、、三点决定一个平面关系：数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面 运算：加法运算：加法运算：加法运算：加法 、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积小学数学主要研究三个关系：数量关系、图形关系、随机关系小学数学主要研究三个关系：数量关系、图形关系、随机关系小学数学主要研究三个关系：数量关系、图形关系、随机关系小学数学主要研究三个关系：数量关系、图形关系、随机关系抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有 2 2，只

32、有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在 郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。第十六页，共38页。三、义务教育数学三、义务教育数学(shxu)中的推理中的推理推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理数

33、学的结论都是命题数学的结论都是命题数学的结论都是命题数学的结论都是命题 数学命题：可供正确或者错误判断的陈述数学命题：可供正确或者错误判断的陈述数学命题：可供正确或者错误判断的陈述数学命题：可供正确或者错误判断的陈述 可以判断。下面陈述不是数学命题可以判断。下面陈述不是数学命题可以判断。下面陈述不是数学命题可以判断。下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的这个三角形是美的这个三角形是美的这个三角形是美的 仅供判断。下面两个陈述都是数学命题仅供判断。下面两个陈述都是数学命题仅供判断。下面两个陈述都是数学命题仅供判断。下面两个陈述都是数学命题 三角形内角和三角形内角和三角形内角和三角形内角和1801

34、80度度度度 三角形内角和三角形内角和三角形内角和三角形内角和120120度度度度直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断一般一般一般一般(ybn)(ybn)推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程第十七页，共38页。数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式 性质命题：性质命题：性质命题：性质命题：A A A A 是是是是 B B B B。充分条件：。充分条

35、件：。充分条件：。充分条件：A B A B A B A B 必要条件：必要条件：必要条件：必要条件：B A B A B A B A 充分不必要：两个偶数的和是偶数。充分不必要：两个偶数的和是偶数。充分不必要：两个偶数的和是偶数。充分不必要：两个偶数的和是偶数。必要不充分：数可以比较大小。必要不充分：数可以比较大小。必要不充分：数可以比较大小。必要不充分：数可以比较大小。充分且必要：直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边充分且必要：直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边充分且必要：直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边充分且必要：直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边 长平方之和的三角形

36、。长平方之和的三角形。长平方之和的三角形。长平方之和的三角形。数学定义必须充分必要：称含有未知数的等式为方程。？数学定义必须充分必要：称含有未知数的等式为方程。？数学定义必须充分必要：称含有未知数的等式为方程。？数学定义必须充分必要：称含有未知数的等式为方程。？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？苹果是酸的，酸的是一种味道苹果是酸的，酸的是一种味道苹果是酸的，酸的是一种味道苹果是酸的，酸的是一种味道(wi dao)(wi dao)(wi dao)(wi dao)，所以苹果是一种味

37、道，所以苹果是一种味道，所以苹果是一种味道，所以苹果是一种味道(wi(wi(wi(wi dao)dao)dao)dao)。？。？。？。？三角形内角和是三角形内角和是三角形内角和是三角形内角和是180180180180度，度，度，度，180180180180度是平角，所以三角形是平角。？度是平角，所以三角形是平角。？度是平角，所以三角形是平角。？度是平角，所以三角形是平角。？第十八页，共38页。逻辑推理：具有传递性的推理。逻辑推理：具有传递性的推理。逻辑推理：具有传递性的推理。逻辑推理：具有传递性的推理。在数学上有两种形式在数学上有两种形式在数学上有两种形式在数学上有两种形式演绎推理：从大范围内

38、成立演绎推理：从大范围内成立演绎推理：从大范围内成立演绎推理：从大范围内成立(chngl)(chngl)的命题推断小范围内命题也成立的命题推断小范围内命题也成立的命题推断小范围内命题也成立的命题推断小范围内命题也成立(chngl)(chngl)。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。结果是必然成立结果是必然成立结果是必然成立结果是必然成立(chngl)(chngl)的，用于验证知识。是数学教学中推理的重点。的，用于验证知识。是数学教学中推理的重点。的，用于验

39、证知识。是数学教学中推理的重点。的，用于验证知识。是数学教学中推理的重点。归纳类比：从小范围内成立归纳类比：从小范围内成立归纳类比：从小范围内成立归纳类比：从小范围内成立(chngl)(chngl)的命题推断更大范围类似命题成立的命题推断更大范围类似命题成立的命题推断更大范围类似命题成立的命题推断更大范围类似命题成立(chngl)(chngl)。苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图 有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。

40、有死，所以凡人都有死。结果是或然成立结果是或然成立结果是或然成立结果是或然成立(chngl)(chngl)的，用于发现知识。是数学教学中推理的弱点。的，用于发现知识。是数学教学中推理的弱点。的，用于发现知识。是数学教学中推理的弱点。的，用于发现知识。是数学教学中推理的弱点。苏格拉底不到苏格拉底不到苏格拉底不到苏格拉底不到8080岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到8080岁死去，所以岁死去，所以岁死去，所以岁死去，所以 凡人不到凡人不到凡人不到凡人不到8080岁死去。岁死去。岁死去。岁死去。第十九页，共38页。演绎推理演绎推理(yn y tu l)演绎推理需

41、要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提 同一律：同一律：同一律：同一律：a=aa=a，（，（，（，（a a 属于属于属于属于 A A 或者或者或者或者 a a不属于不属于不属于不属于 A A）。）。）。）。矛盾律：矛盾律：矛盾律：矛盾律：a P a P 和和和和 a Pc a Pc 不能同时成立。不能同时成立。不能同时成立。不能同时成立。排中律：排中律：排中律：排中律：a P a P 和和和和 a Pc a Pc 必有一个必有一个必有一个必有一个(y(y )成立。成立。成立。成立。命

42、题命题命题命题 素数有无数多个。（反证法）素数有无数多个。（反证法）素数有无数多个。（反证法）素数有无数多个。（反证法）证明证明证明证明 假设素数有限个（归谬假设）。假设素数有限个（归谬假设）。假设素数有限个（归谬假设）。假设素数有限个（归谬假设）。比如只有比如只有比如只有比如只有n n个素数，表示为：个素数，表示为：个素数，表示为：个素数，表示为：p1,pnp1,pn。令令令令 p=p1.pn+1 p=p1.pn+1。因为因为因为因为p p不能被不能被不能被不能被 p1,pn p1,pn中任何一个中任何一个中任何一个中任何一个(y(y )素数整除，所以素数整除，所以素数整除，所以素数整除，所

43、以 p p 是与是与是与是与 上述上述上述上述n n个素数不同的素数，与只有个素数不同的素数，与只有个素数不同的素数，与只有个素数不同的素数，与只有n n个素数不符（矛盾律）。个素数不符（矛盾律）。个素数不符（矛盾律）。个素数不符（矛盾律）。假设错误。因此，有无数多个素数（排中律）。假设错误。因此，有无数多个素数（排中律）。假设错误。因此，有无数多个素数（排中律）。假设错误。因此，有无数多个素数（排中律）。第二十页，共38页。“数与代数数与代数数与代数数与代数”演绎推理的前提（基本事实演绎推理的前提（基本事实演绎推理的前提（基本事实演绎推理的前提（基本事实(shsh)(shsh)）命题命题命题

44、命题1 1 等式（不等式）关系具有传递性。等式（不等式）关系具有传递性。等式（不等式）关系具有传递性。等式（不等式）关系具有传递性。a=b(a a=b(a b b），），），），b=c(b b=c(b c c）a=c(a a=c(a c c）命题命题命题命题2 2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。a=b(a a=b(a b b）a+c=b+c(a+c a+c=b+c(a+c b+c b+c）a-c=b-c(a-c a-c=b-c

45、(a-c b-c b-c）第二十一页，共38页。演绎推理演绎推理(yn y tu l)有理数加法有理数加法有理数加法有理数加法(jif(jif)的定义？的定义？的定义？的定义？加上一个正数比原来的数大。加上一个正数比原来的数大。加上一个正数比原来的数大。加上一个正数比原来的数大。符号表示：对于任意的数符号表示：对于任意的数符号表示：对于任意的数符号表示：对于任意的数 a a 和正数和正数和正数和正数 b b，有，有，有，有 a+b a+b a a。因为因为因为因为 b b 为正数，所以为正数，所以为正数，所以为正数，所以 b b 0 0 在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上在上面不

46、等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上 a a，由命题，由命题，由命题，由命题 2 2 得到得到得到得到 a+b a+b a a 结论成立。结论成立。结论成立。结论成立。类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。第二十二页，共38页。演绎推理演绎推理(yn y tu l)减去一个正数等于加上这个减去一个正数等于加上这个减去一个正数等于加上这个减去一个正数等于加上这个(zh ge)(zh ge)(zh ge)(zh ge)正数的相

47、反数正数的相反数正数的相反数正数的相反数 减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小用数学符号表示这个用数学符号表示这个用数学符号表示这个用数学符号表示这个(zh ge)(zh ge)(zh ge)(zh ge)命题：命题：命题：命题：b b b b 0 0 0 0，则，则，则，则 a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)证明：因为证明：因为证明：因为证明：因为“减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算”：a-b=x a=b+x a-b=x a=b+x a-b=x a=b+x

48、a-b=x a=b+x 由命题由命题由命题由命题2 2 2 2，等式的两边分别加上（，等式的两边分别加上（，等式的两边分别加上（，等式的两边分别加上（-b-b-b-b）等式不变：）等式不变：）等式不变：）等式不变：a+(-b)=b+(-b)+x a+(-b)=b+(-b)+x a+(-b)=b+(-b)+x a+(-b)=b+(-b)+x。根据相反数的定义：根据相反数的定义：根据相反数的定义：根据相反数的定义：a+(-b)=xa+(-b)=xa+(-b)=xa+(-b)=x。由命题。由命题。由命题。由命题 1 1 1 1：a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)

49、a-b=x=a+(-b)第二十三页，共38页。演绎推理演绎推理(yn y tu l)减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大用数学符号表示这个命题用数学符号表示这个命题用数学符号表示这个命题用数学符号表示这个命题 a-(-b)=a+b a-(-b)=a+b a-(-b)=a+b a-(-

50、b)=a+b证明：令证明：令证明：令证明：令 x=a+b x=a+b x=a+b x=a+b。等式两边加。等式两边加。等式两边加。等式两边加 b b b b 的相反数（的相反数（的相反数（的相反数（-b-b-b-b），由命题），由命题），由命题），由命题2 2 2 2 x+(-b)=a+b+(-b)=a x+(-b)=a+b+(-b)=a x+(-b)=a+b+(-b)=a x+(-b)=a+b+(-b)=a 上面上面上面上面(shng min)(shng min)(shng min)(shng min)等式的两边同时减去等式的两边同时减去等式的两边同时减去等式的两边同时减去(-b)(-b)(