常微分方程复习复习进程.ppt

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1、复习复习(fx)迎考迎考一、基本概念一、基本概念1.1.微分方程微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)及其分类及其分类 微分方程按未知函数为一元函数或多元微分方程按未知函数为一元函数或多元(du yun)函数分为函数分为常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程.微分方程按阶分为一阶微分方程和高阶微分方程微分方程按阶分为一阶微分方程和高阶微分方程.微分方程按一次和高次分为线性微分方程和非线性微分方程按一次和高次分为线性微分方程和非线性微分方程微分方程.本书主要研究常微分方程，通常也将常微分方程简称为本书主要研究常微分方程，通常也将常微分方程简称为微分方程微分方程.2.

2、微分方程的解、通解，定解条件（初始条件和边界条件），微分方程的解、通解，定解条件（初始条件和边界条件），定解问题（初值问题和边值问题）特解，积分曲线（族）及方定解问题（初值问题和边值问题）特解，积分曲线（族）及方向场向场.第一页，共18页。3.3.一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的可积类型（见图的可积类型（见图p.71p.71图图2.72.7）（1 1）变量分离方程）变量分离方程（2）齐次方程）齐次方程(3)线性方线性方程程（4 4）伯努利）伯努利(Bernouli)方程方程（5 5）黎卡提（）黎卡提（Riccati)Riccati)方程方程(6

3、)(6)对称形式的一阶微分方程对称形式的一阶微分方程第二页，共18页。第三页，共18页。第四页，共18页。第五页，共18页。5.5.包络与奇解包络与奇解.奇解通常为通解曲线族的包络，通解奇解通常为通解曲线族的包络，通解曲线族的包络必定曲线族的包络必定(bdng)(bdng)为奇解为奇解.包络的检验：沿着包络的检验：沿着C-C-判别曲线有判别曲线有第六页，共18页。第七页，共18页。第八页，共18页。其中其中(qzhng)第九页，共18页。第十页，共18页。9.9.线性微分方程线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)组的向量形式，化高阶线性微分方程组的向量形式，化高阶

4、线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)为为一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)组，向量函数与矩阵函数的连续性、组，向量函数与矩阵函数的连续性、可微性与可积性，向量与矩阵的范数及性质，向量与可微性与可积性，向量与矩阵的范数及性质，向量与矩阵序列、向量与矩阵函数序列、向量与矩阵函数级数矩阵序列、向量与矩阵函数序列、向量与矩阵函数级数的收敛性和一致收敛性的收敛性和一致收敛性.10.10.齐次线性微分方程组的解的叠加原理齐次线性微分方程组的解的叠加原理(yunl)(yunl)，向量函数组，向量函数组的线性相关、线性无关及

5、朗斯基行列式，通解结构，基的线性相关、线性无关及朗斯基行列式，通解结构，基本解组，解矩阵，基解矩阵，非齐次线性微分方程组，本解组，解矩阵，基解矩阵，非齐次线性微分方程组，叠加原理叠加原理(yunl).(yunl).常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组,矩阵指数矩阵指数expA,expAt,expA,expAt,标准基解矩阵，特征值，特征向量，空间分解等标准基解矩阵，特征值，特征向量，空间分解等.第十一页，共18页。二、基本二、基本(jbn)理论理论1.1.一阶微分方程、高阶线性微分方程以及一阶微分方程、高阶线性微分方程以及(yj)(yj)一阶线一阶线性微分方程组的初值问题的解的存在唯一性定

6、理性微分方程组的初值问题的解的存在唯一性定理.2.2.齐次线性微分方程（组）的解的性质和通解结构齐次线性微分方程（组）的解的性质和通解结构(jigu)(jigu)定理，非齐次线性微分方程（组）的解的性质和定理，非齐次线性微分方程（组）的解的性质和通解结构通解结构(jigu)(jigu)定理定理.三、基本计算三、基本计算第十二页，共18页。3.3.常数变易法常数变易法(实际上也是一种变量实际上也是一种变量(binling)(binling)变换法变换法)，适用于，适用于第十三页，共18页。4.4.分项组合分项组合(zh)(zh)凑微分法凑微分法5.5.积分积分(jfn)(jfn)因子法因子法第十

7、四页，共18页。6.6.参数表示法参数表示法 适用于四种适用于四种(s zhn)(s zhn)特殊类型的一阶隐方程中的两种，特殊类型的一阶隐方程中的两种，如如7.7.微分法微分法适用于四种适用于四种(s zhn)(s zhn)特殊类型的一阶隐方程中的特殊类型的一阶隐方程中的两种，如两种，如8.8.欧拉待定指数函数法（特征欧拉待定指数函数法（特征(tzhng)(tzhng)根法）根法）适用于常系数齐线性方程，如适用于常系数齐线性方程，如9.9.待定系数法，适用于待定系数法，适用于（1 1）具有特殊右端函数的常系数非齐线性微分方程）具有特殊右端函数的常系数非齐线性微分方程第十五页，共18页。10.10.降阶法，适用降阶法，适用(shyng)(shyng)于于第十六页，共18页。第十七页，共18页。11.11.矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)指数法，适用于常系数齐次线性微分方程组指数法，适用于常系数齐次线性微分方程组第十八页，共18页。