四川大学线性代数课件第一章第一节_向量与矩阵的定义及运算知识分享.ppt

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1、第一页，共44页。第二页，共44页。第三页，共44页。一、一、n维向量维向量(xingling)的概念的概念定义定义1 既有大小，又有方向的量称为既有大小，又有方向的量称为(chn wi)向量向量(vector），又称矢量。），又称矢量。.n维向量可以用维向量可以用n个数构成的有序数组来个数构成的有序数组来表示。表示。第四页，共44页。定义定义2 向量向量(xingling)相等：相等：向量向量(xingling)加法：（向量加法：（向量(xingling)的和），记为的和），记为 +.+OAB 向量向量(xingling)数乘：（伸缩变数乘：（伸缩变换）换）2 2 第五页，共44页。零向量零

2、向量(xingling)：负向量负向量(xingling)：二、向量二、向量(xingling)线性运算的运算线性运算的运算法则法则1)+=+;(加法交换律加法交换律)2)(+)+=+(+);(加法结合律加法结合律)3)0+=;4)+()=0;5)1 =;6)1(2 )=(1 2);(数乘结合律数乘结合律)7)(1+2)=1 +2 ;(第一分配第一分配律律)8)(+)=+;(第二分配第二分配律律)第六页，共44页。性质性质(xngzh)：9)0 =0，(-1)=-，k0=0性质性质(xngzh)：10)k =0，=0，or k=0.三、向量三、向量(xingling)的的线性组合线性组合 n

3、维向量组维向量组 1,2,n，实数实数 k1,k2,kn,=k1 1+k2 2+kn n 称称 为为 1,2,n 的的线性组合线性组合线性组合线性组合，或可，或可以由向量组以由向量组 1,2,n线性表出线性表出线性表出线性表出。第七页，共44页。四、矩阵四、矩阵四、矩阵四、矩阵(j zhn)(j zhn)定义定义3。数域（数域（number field）：）：P是复数集是复数集C的一个子集，的一个子集，含有含有(hn yu)0和和1（零元和单位元）。如果（零元和单位元）。如果P中的任意两个中的任意两个数的和、差、积、商仍然在数的和、差、积、商仍然在P中（即关于四则运算封闭），中（即关于四则运算

4、封闭），则称则称P为数域。为数域。常用的数域有有理数域、实数域、复数域等。常用的数域有有理数域、实数域、复数域等。数域的例子数域的例子(l zi)：第八页，共44页。引例引例(yn(yn l)1 l)1 A A、B B、C C、D D四地有直航班四地有直航班(hn(hn bn)bn)如图如图CDB两地有航班两地有航班(hn bn)(hn bn)用用1 1表示，表示，无航班无航班(hn bn)(hn bn)用用0 0表表示，则得到下面的列表：示，则得到下面的列表：A第九页，共44页。引例引例(yn l)2.(yn l)2.某商场某商场9 9月份电视机销售统月份电视机销售统计表计表21寸29寸34

5、寸48寸长虹康佳创维1540377213040107251810与数表与数表(sh(sh bio)bio)对应对应第十页，共44页。引例引例(yn l)3.(yn l)3.线线性方程组性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3与数表与数表(sh(sh bio)bio)对对应应第十一页，共44页。上述问题必须引进一些新的概念，如矩阵.矩阵是一个非常重要的概念，不仅应用于线性代数(xin xn di sh)，而且深入数学、物理、计算机等学科领域中.第十二页，共44页。矩阵(j zhn)（Matrix）的定义定义定

6、义(dngy)4 m n个数个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的长方形数表排成的长方形数表第十三页，共44页。称为m行n列矩阵，简称 矩阵，称为矩阵A的第i行的第j列元素(yun s)，元素(yun s)是实数的矩阵称为实矩阵，元素(yun s)是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.矩阵A记为 或 ，在不引起混淆(hnxio)时简记为第十四页，共44页。mn矩阵矩阵(j zhn)有有m行，行，n列列行下标(xi bio)列下标(xi bio)矩阵第矩阵第 i 行第行第 j 列的元素表为列的元素表为：第十五页，共44页。一些(yxi)特殊的矩阵：1、n

7、阶矩阵：行数与列数相同(xin tn)，且都是为n的矩阵 称为n阶矩阵或n阶方阵(Square Matrix)即2、零矩阵(j zhn)：所有元素都为零的矩阵(j zhn)称为零矩阵(j zhn)，记为O 注意：不同阶的零矩阵(j zhn)不同.第十六页，共44页。3、行矩阵(j zhn)、列矩阵(j zhn)称为(chn wi)行矩阵A1n(Row Matrix)只有(zhyu)一列的矩阵称为列矩阵An1(Column Matrix)只有一行的矩阵第十七页，共44页。4、对角(du jio)矩阵：称为对角(du jio)矩阵(Diagonal Matrix)记为=除主对角线上元素(yun s

8、)外，其它元素都为零的n阶方阵第十八页，共44页。5、单位矩阵：若对角线元素为1，其它元素为零的矩阵，称为(chn wi)n阶单位矩阵(Identity Matrix)，记为En（或In），简记为E.即第十九页，共44页。6、数量矩阵：若对角线元素为k（k为常数），其余(qy)元素都为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵(Scalar Matrix):，记为kE即第二十页，共44页。7、同型矩阵：若两个(lin)矩阵A、B的行列数相同，则称A、B为同型矩阵.矩阵相等：若两个同型矩阵 的对应元素(yun s)分别相等.即则称这两个矩阵(j zhn)相等，记为A=B第二十一页，共44页。五、矩阵五、矩阵

9、(j zhn)(j zhn)运算运算1、矩阵(j zhn)的和（1）加法(jif)定义 设 、为两个同型矩阵，将它们的对应元素分别相加，得到一个新的矩阵称为矩阵A、B的和，记为A+B.第二十二页，共44页。即A+B=（2）负矩阵(j zhn)将矩阵 的各元素取相反(xingfn)符号，得到的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为-A第二十三页，共44页。减法减法(jinf):矩阵矩阵(j zhn)加法满足的运算规律加法满足的运算规律:第二十四页，共44页。(3).数与矩阵数与矩阵(j zhn)相乘相乘数乘数乘:第二十五页，共44页。数乘矩阵满足数乘矩阵满足(mnz)(mnz)的运算规律：的运算规律：矩阵

10、的加法与数乘运算结合起来矩阵的加法与数乘运算结合起来(q(q li),li),统称为矩阵的线性运算统称为矩阵的线性运算.（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）第二十六页，共44页。例1 设A=，B=，求2A+B。解 2A+B=2+第二十七页，共44页。(4)(4)、矩阵、矩阵(j zhn)(j zhn)乘法乘法（1）定义(dngy)设 是一个（i=1,2,m;j=1,2,n）构成(guchng)的 矩阵是一个 矩阵，则由元素矩阵，第二十八页，共44页。称为矩阵(j zhn)A与矩阵(j zhn)B的乘积,记为注意 只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，矩阵A与B才能相乘，乘积矩阵C的第i行第

11、j列元素(yun s)等于A的第i行与B的第j列的对应元素(yun s)乘积之和.例如要计算 ,就是用A的第2行各元素(yun s)分别乘以B的第3列相应的各元素(yun s)，然后相加.用图表示即为：简记(jin j)为：C=AB第二十九页，共44页。第i行j列矩阵(j zhn)乘积的演示第三十页，共44页。矩阵(j zhn)A，B乘积的行数、列数间的关系是（m,s）（s,n）=（m，n）用图示表示(biosh)就是=mssnmn例2 设A=，B=，求AB.第三十一页，共44页。解 AB=其中(qzhng)c11=11+11=2 c12=1(-1)+11=0 c13=11+10=1 c21=

12、01+11=1 c22=0(-1)+11=1 c23=01+10=0所以(suy)AB=第三十二页，共44页。例3 求矩阵A与矩阵B的乘积(chngj)AB及BA，其中A=（0 1 -1）B=解 A B=（0 1 -1）B A=-2(0 1 -1)=第三十三页，共44页。例4 求矩阵(j zhn)A与B的乘积AB及BA，其中解第三十四页，共44页。例例5 5 设解解：因因为为A A的的列列数数等等于于B B的的行行数数，所所以以A A与与B B可可以以(ky)(ky)相相乘乘，其其乘乘积积是是一个一个3434的矩阵的矩阵第三十五页，共44页。21+322(2)+3(1)2(3)+3020+31

13、11+(2)21(2)+(2)(1)1(3)+(2)010+(2)131+123(2)+1(1)3(3)+1030+11=BA=？第三十六页，共44页。从例子可以看出，矩阵的乘法交换律不成立，即在一般情况下，ABBA.满足交换律的两个矩阵称为(chn wi)可以交换的。从例4还可看出，A O，B O时，可以有AB=O.因此由AB=O，不能推出A=O或B=O.即消去律不成立。矩阵(j zhn)乘法的运算律结合律（AB）C=A(BC）左分配律 A(B+C）=AB+AC 右分配律(B+C)A=BA+CA(AB)=(A)B=A(B)第三十七页，共44页。（Amn nBns s）Csp p=A mn(B

14、nsCsp）结合律的证明结合律的证明(zhngmng)：证明证明(zhngmng)：A的的i行行B B的的1 1列列第三十八页，共44页。A的的i行行BCBC的的t t列列第三十九页，共44页。矩阵(j zhn)的乘幂（1）定义(dngy)设A为n阶方阵，k为正整数，则k个A的乘积称为A的k次幂，记为Ak即k个（2）运算(yn sun)规律（其中k、l为正整数)成立的条件是？A，B可交换第四十页，共44页。例6 设A=解归纳(gun)可得，求A3.第四十一页，共44页。例例7 设矩阵设矩阵求与求与A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。分析：根据分析：根据(gnj)乘法定义及矩阵相等定义求乘法定

15、义及矩阵相等定义求解：设所求矩阵为解：设所求矩阵为由由得得其中其中(qzhng)a，b为实数为实数第四十二页，共44页。课堂练习：下列等式(dngsh)成立否？（1）（）（A+B)2=A2+2AB+B2（2）（）（A+B)(A-B)=A2-B2（3）（）（A+E)(A-E)=A2-E2（4）A2=E 则则A=E 或或A=-E矩阵矩阵(j zhn)多项式：多项式：（5)A与与f(A)可交换可交换(jiohun)吗吗?如果如果A与与B可交换可交换(jiohun),f(A)与与B呢呢?(f(x)是任意的是任意的多项式多项式.)第四十三页，共44页。例8 设n阶方阵(fn zhn)A满足:证明(zhngmng):第四十四页，共44页。