二重积分的概念与性质教案资料.ppt

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1、二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质复习和总结复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？解决这一类问题采用了什么思想方法？定积分定积分答：答：求求非均匀分布非均匀分布在在区间上区间上的量的的量的求和问题求和问题 被积函数是被积函数是一元函数一元函数，积分范围是，积分范围是直线上的区间直线上的区间答：答：“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”（3）如何计算定积分？如何计算定积分？2现要求解现要求解非均匀非均匀分布在分布在平面平面、空间立体上空间立体上的量的的量的求和问题求和问题推广推广所计算的量与所计算的量与多

2、元函数多元函数及及平面平面或或空间区域空间区域有关有关被积函数被积函数积分范围积分范围二元函数二元函数平面区域平面区域二重积分二重积分三元函数三元函数空间区域空间区域三重积分三重积分一段曲线一段曲线曲线积分曲线积分一片曲面一片曲面曲面积分曲面积分问题问题:积分类型积分类型3柱体体积柱体体积=底面积底面积高高【特点】平顶【特点】平顶.柱体体积柱体体积=？【特点】曲顶【特点】曲顶.1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出引例引例4类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域D顶顶:连续曲面连续曲面侧面侧面：以以

3、D的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”解法解法5步骤如下步骤如下取近似、取近似、求和：求和：用若干用若干个小平顶柱体体积之和近似个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，表示曲顶柱体的体积，分割：分割：先分割曲顶柱体先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积得曲顶柱体的体积取极限：取极限：62求平面薄片的质量求平面薄片的质量分割：分割：将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，近似：近似：取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，求和：

4、求和：所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量分分析析 =常数常数时，质量时，质量=，其中其中 为面积为面积.取极限：取极限：得得薄片总质量薄片总质量若若 为为非常数非常数，仍可用，仍可用“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”解决解决.7两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:8二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性1.1.定义定义 将区域将区域 D 任意任意分成

5、分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可积可积,在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在是定义在有界有界闭区域闭区域 D上的上的有界有界函数函数,92.【对二重积分定义的说明】【对二重积分定义的说明】(3)f(x,y)在在D上上有界有界是二重积分是二重积分存在的存在的必要条件必要条件.代替代替？不能不能连续连续是二重积分存在的是二重积分存在的充分条件充分条件用用(1)积分存在时，其值与区域的分法和点积分存在时，其值与区域的分法和点 的取法无关的取法无关(证明略证明略)1

6、03.【二重积分的几何意义】【二重积分的几何意义】4.【物理意义】【物理意义】表表曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.1)若若表表曲顶柱体体积的负值曲顶柱体体积的负值.2)若若3)若若表表区域区域D的面积的面积.几个特殊结果几个特殊结果几个特殊结果几个特殊结果体体积积的的代代数数和和11 注注 1.重积分与定积分的重积分与定积分的区别区别：重积分中重积分中d 0 0,定积分中定积分中dx 可正可负可正可负.2.根据分割的任意性根据分割的任意性，当二重积分存在时当二重积分存在时，在直角坐标系，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D故二重积分可写为故二重积分可

7、写为D D则直角坐标系下面积元素为则直角坐标系下面积元素为即即引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:12性质性质1性质性质2（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质逐项积分逐项积分线性性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质线性性质13性质性质3对对区域区域具有具有可加性可加性性质性质4若若 为为D的面积的面积，性质性质5若在若在D上上特殊地特殊地则有则有比较性质比较性质14性质性质6性质性质7二重积分中值定理二重积分中值定理二重积分估值不等式二重积分估

8、值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义几何意义15证明证明以下仅证性质以下仅证性质7（中值定理）（中值定理）由由估值估值性质得性质得据有界闭域上的连续函数的介值定理据有界闭域上的连续函数的介值定理变形后变形后 【得证】【得证】16比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中积分域积分域D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与x 轴交于点轴交于点(1,0),而区域而区域D位位从而从而于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 作业题、课后习题作业题、课后习题见作业答案解法或有关习题解答见作业答案解法或有关习题解答例例1解解解解17例例2解解18解

9、解课后习题课后习题例例319机动机动被积函数被积函数相同相同,且非负且非负,由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:练练习习解解提示提示 被积函数相同，则比较区域被积函数相同，则比较区域D的大小的大小.202.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有提示提示区域区域D相同，则比较被积函数的大小相同，则比较被积函数的大小21D 位于位于x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 1,在在D上上1.设函数设函数在闭区域在闭区域D上连续上连续

10、,D关于关于x 轴对称轴对称,则则则则 补充补充 在分析问题和计算二重积分时常用的在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性对称奇偶性当区域关于当区域关于y轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量x有奇偶性时有类似结果有奇偶性时有类似结果.2.若若D关于原点对称关于原点对称,(1)(2)D2为为y轴右方的部分轴右方的部分22例如例如在第一象限部分在第一象限部分,则有则有利用对称性简化运算时要特别考虑两方面利用对称性简化运算时要特别考虑两方面被积函数的被积函数的奇偶性奇偶性积分区域的积分区域的对称性对称性说明说明23二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质（二重积分的性质（7条条）二重积分的几何

11、意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）（积分和式的极限）四、小结四、小结二重积分的物理意义二重积分的物理意义（平面薄片的质量）（平面薄片的质量）二重积分的比较大小二重积分的比较大小1.若区域若区域D相同，则比较被积函数的大小；相同，则比较被积函数的大小；2.若被积函数相同，则比较区域若被积函数相同，则比较区域D的大小的大小.2425一一 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分二二 小结小结 思考题思考题10.2 二重积分的计算法（一）二重积分的计算法（一）26复习与回顾复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为

12、已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素体积为体积为 在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为:(1)二重积分二重积分27其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域X型区域的特点型区域的特点 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.1.预备知识预备知识28(2)Y型域型域Y型区域的特点型区域的特点穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交

13、点.29(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域 在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域(或或Y型域型域)则必须分割则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得30(1)若积分区域为若积分区域为X型域：型域：2.【二重积分公式推导】【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平行截面面积平行截面面积为已知的立体的体积为已知的立体的体积”的方法来求的方法来求.方法方法31即得即得公式公式132几点小结几点小结定限口诀定限口诀后积先定限后积先定限(投影投影)限内划条线限内划条线(穿线穿线)先交下限写先交下限

14、写后交上限见后交上限见aboxyDx(后积变量上下限必为常数后积变量上下限必为常数)该线平行于坐该线平行于坐标轴且同向标轴且同向投影穿线法投影穿线法333.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式公式234(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域，公式公式2必须是必须是Y型域型域.(2)若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,为计算

15、方便为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序,必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序.(见后续补充例题见后续补充例题)(3)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域（或型域（或Y-型域）型域）说明说明354.【例题部分例题部分】例例1解解看作看作X型域型域12oxy y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解解看作看作Y型域型域36例例2解解D 既是既是X型域又是型域又是Y型域型域法法11 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y37法法2注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用的积分较繁，故应用法法1 1较方便较方便111yoy=xD1

16、xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！38例例3解解D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点39法法1法法2视为视为X型域型域计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！40小结小结以上三例说明，在化二重积分为二次积以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需分时，为简便见需恰当选择积分次序恰当选择积分次序；既要考虑积分区域既要考虑积分区域 D 的形状，又要考的形状，又要考虑被积函数的特性虑被积函数的特性(易积易积)415.【简单应用】【简单应用】例例4求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的

17、直交圆柱面所围成的立体的的直交圆柱面所围成的立体的体积体积V.解解 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为42例例5解解据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义）交点交点与定积分元素法相同与定积分元素法相同436.【补充】【补充】改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题补例补例1解解44随堂练随堂练习习1.计算计算其其中中 D 是由直线是由直线 y=x 及抛物线及抛物线 y2=x 所围成所围成.解解积不出的积分，无法计算。积不出的积分，无法计算。课本课本P1

18、54 第第5题题第第6题题练习练习45解解当被积函数中有绝对值时，要考虑当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析分析补例补例2作业作业:1 x 146计算计算其中其中D 由由所围成所围成.令令(如图所示如图所示)显然显然,利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性补例补例3分析分析解解课本课本P154 第第3 题题与积分变量无关与积分变量无关补例补例4与积分变量无关与积分变量无关与积分变量无关与积分变量无关47分部积分法分部积分法(略略).).(05/06学年第一学期考试题学年第一学期考试题A卷卷)化为二次积分化为二次积分,交换积分次序交换积

19、分次序原式原式=原式原式补例补例5解解解解48二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结Y型型X型型课本课本P153 习题习题10-2练习练习4950一一 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分二二 小结小结 思考题思考题10.2 二重积分的计算法（一）二重积分的计算法（一）51复习与回顾复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素体积为体积为 在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面

20、的面积为:(1)二重积分二重积分52其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域X型区域的特点型区域的特点 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.1.预备知识预备知识53(2)Y型域型域Y型区域的特点型区域的特点穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.54(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域 在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域(或或Y型域

21、型域)则必须分割则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得55(1)若积分区域为若积分区域为X型域：型域：2.【二重积分公式推导】【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平行截面面积平行截面面积为已知的立体的体积为已知的立体的体积”的方法来求的方法来求.方法方法56即得即得公式公式157几点小结几点小结定限口诀定限口诀后积先定限后积先定限(投影投影)限内划条线限内划条线(穿线穿线)先交下限写先交下限写后交上限见后交上限见aboxyDx(后积变量上下限必为常数后积变量上下限必为常数)该线平行于坐该线平行于坐标轴且同向标轴且同向投

22、影穿线法投影穿线法583.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式公式259(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域，公式公式2必须是必须是Y型域型域.(2)若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,为计算方便为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序,必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序.(见后续补充例题见后续补充例题)(3)

23、若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域（或型域（或Y-型域）型域）说明说明604.【例题部分例题部分】例例1解解看作看作X型域型域12oxy y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解解看作看作Y型域型域61例例2解解D 既是既是X型域又是型域又是Y型域型域法法11 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y62法法2注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用的积分较繁，故应用法法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！63例例3解解D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点6

24、4法法1法法2视为视为X型域型域计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！65小结小结以上三例说明，在化二重积分为二次积以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需分时，为简便见需恰当选择积分次序恰当选择积分次序；既要考虑积分区域既要考虑积分区域 D 的形状，又要考的形状，又要考虑被积函数的特性虑被积函数的特性(易积易积)665.【简单应用】【简单应用】例例4求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的的直交圆柱面所围成的立体的体积体积V.解解 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑

25、第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为67例例5解解据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义）交点交点与定积分元素法相同与定积分元素法相同686.【补充】【补充】改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题补例补例1解解69随堂练随堂练习习1.计算计算其其中中 D 是由直线是由直线 y=x 及抛物线及抛物线 y2=x 所围成所围成.解解积不出的积分，无法计算。积不出的积分，无法计算。课本课本P154 第第5题题第第6题题练习练习70解解当被积函数中有绝对值时，要考虑当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符

26、号。积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析分析补例补例2作业作业:1 x 171计算计算其中其中D 由由所围成所围成.令令(如图所示如图所示)显然显然,利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性补例补例3分析分析解解课本课本P154 第第3 题题与积分变量无关与积分变量无关补例补例4与积分变量无关与积分变量无关与积分变量无关与积分变量无关72分部积分法分部积分法(略略).).(05/06学年第一学期考试题学年第一学期考试题A卷卷)化为二次积分化为二次积分,交换积分次序交换积分次序原式原式=原式原式补例补例5解解解解73二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结Y型型X型型课本课本P153 习题习题10-2练习练习74结束结束