1.2.1排列(两课时).ppt

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1、第一章 计数原理上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙甲丙甲丙甲乙甲乙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？探究：探究：分析：题目转化为顺序排列问题分析：题目转化为顺序排列问题，把上面问题中被取的对象叫做元素把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为：从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中

2、任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？叙述为叙述为:从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda

3、,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.由此可写出所有的三位数：由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项活动名参加某天的一项活动,其中其中1名参加上午的活动名参加上午的活动,1名参加名参加下午的活动下午的活动,有哪些不同的排有哪些不同的排法法?实质是：实质是：从从3个不同的元素

4、个不同的元素中中,任取任取2 2个个,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列,有哪些不同的排有哪些不同的排法？法？问题问题2 从从1，2，3，4这这4个数个数中，每次取出中，每次取出3个排成一个排成一个三位数，共可得到多少个三位数，共可得到多少个不同的三位数？个不同的三位数？实质是：实质是：从从4个不同的元素个不同的元素中中,任取任取3个个,按照一定的顺按照一定的顺序排成一列序排成一列,写出所有不同写出所有不同的排法的排法.定义：一般地说定义：一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元个元 素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元

5、素个不同的元素 中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列.基本概念基本概念1、排列：、排列：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定的个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个排列。个排列。说明：说明：1 1、元素不能重复。、元素不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。问题是否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完元素完全相同全相同，而且元素

6、的，而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫时的排列叫选排列选排列，m mn n时的排列叫时的排列叫全排列全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用可以采用“树形图树形图”。（有序性）（有序性）（互异性）（互异性）练习练习1 下列问题是排列问题吗？下列问题是排列问题吗？（1）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，四个数字中，任选两个做加法，其其不同不同结果有多少种？结果有多少种？（2）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，四个数字中，任选两个做除法，其其不同不同结果有多

7、少种？结果有多少种？（3）从）从1到到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？个学生排队照相，则不同的站法有多少种？是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列练习练习3.写出从写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取2个元素的个元素的所有排列所有排列 解决办

8、法是先画解决办法是先画“树形图树形图”，再由此写出所有的排列，再由此写出所有的排列，共共20个个 若把这题改为：写出从若把这题改为：写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中中任取任取3个元素的所有排列，结果如何呢？个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦啰嗦”练习练习2.在在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果ABACADBABCBDCACBCDDADBDC 研究一个排列问题，往往只需知道所有排

9、列的个数而研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接所有的排列而直接“得得”出所有排列的个数呢？接下出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式排列数及其公式 2、排列数：、排列数：从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。“排列排列”和和“排列数

10、排列数”有什么区别和联系？有什么区别和联系？排列数，而不表示具体的排列。排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；所有排列的个数，是一个数；“排列数排列数”是指从是指从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取个元素的个元素的所以符号所以符号只表示只表示“一个排列一个排列”是指：从是指：从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素个元素问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个

11、元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？呢呢？呢呢？第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）：当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：(2)(2)排列数公式（排列数公式（2 2）：）：说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二

12、个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。件。小结：小结：【排列排列】从从n个不同元素中选出个不同元素中选出m(mn)个元素个元素,并按一定的并按一定的顺序排成一列顺序排成一列.【关键点关键点】1、互异互异性性(被选、所选被选、所选元素互不相同元素互不相同)2、有序有序性性(所选元素有所选元素有先后位置等顺序先后位置等顺序之分之分)【排列数排列数】所有排列总数所有排列总数【概念复习概念复习】：1排列的定义排

13、列的定义从从n个个不不同同元元素素中中，任任取取m(mn)个个元元素素（这这里里的的被被取取元元素素各各不不相相同同）按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一列列，叫叫做做从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素的的一个排列一个排列.2排列数的定义，排列数的计算公式排列数的定义，排列数的计算公式 排列数公式：排列数公式：常用于计算含有数字的常用于计算含有数字的排列数的值排列数的值常用于对含有字母的排列数常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证的式子进行变形和论证例例1 1 计算：计算：=6！=654321=720例题与练习例题与练习变式练习：变式练习：1714n(n-1)=90

14、103.由乘积式写出排列数的符号由乘积式写出排列数的符号 (m-2)(m-3).(m-k+3)例例2.2.解方程解方程:（1）n=3 (2)m=6例例3 3 求证下列各式求证下列各式：变式练习：变式练习：求证：求证：1!22!+33!+nn!=(n+1)!-1分析：分析：nn!=(n+1)!-n!证明：证明：nn!=(n+1)!-n!左左边=注意阶乘的几种变形注意阶乘的几种变形小结小结:1.排列的定义排列的定义;(不同元素不同元素)2.排列数公式排列数公式;3.几种阶乘变形几种阶乘变形.排列应用题排列应用题例例1.1.某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，共需要准个车站，共需要准备多少种普通

15、客票？备多少种普通客票？一、无限制条件的排列问题一、无限制条件的排列问题例例2 2、某年全国足球甲级某年全国足球甲级(A(A组组)联赛共有联赛共有1414队参加队参加,每队都要与其余各队在主客场分别每队都要与其余各队在主客场分别比赛比赛1 1次次,共进行多少场比赛共进行多少场比赛?1.1.从从5 5种不同的蔬菜种子中选种不同的蔬菜种子中选3 3种分别种在种分别种在3 3块不同土质的土地上，共有多少种不同的块不同土质的土地上，共有多少种不同的种法？种法？分析：分析：把把5 5个种子分别标上个种子分别标上1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,用用123123表示种子表示种子1 1种在第种在第1

16、1块土地上，种子块土地上，种子2 2种在第种在第2 2块土地上，种子块土地上，种子3 3种在第种在第3 3块土地上，因此块土地上，因此3 3个数的一个排列就是一种种植方法，从个数的一个排列就是一种种植方法，从5 5个个不同数中取出不同数中取出3 3个数的一个排列就是一种种个数的一个排列就是一种种植方法，多少个排列就有多少种种法。植方法，多少个排列就有多少种种法。变式练习变式练习2.2.公共汽车上有公共汽车上有4 4位乘客，其中任何两个人都不位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠在同一车站下车，汽车沿途停靠6 6个站，那么个站，那么这这4 4位乘客不同的下车方法有多少种？位乘客不

17、同的下车方法有多少种？分析：分析：个车站分别标上个车站分别标上1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,如如12461246表示第一位乘客在表示第一位乘客在1 1号站下，第二位乘客在号站下，第二位乘客在2 2号号站下，第三位乘客在站下，第三位乘客在4 4号站下，第四位乘客在号站下，第四位乘客在6 6号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有A A4 46 6=6=65 54 43=3603=3603 3、有有5 5名男生，名男生，4 4名女生排队。名女生排队。（1 1）从

18、中选出）从中选出3 3人排成一排，有多少种人排成一排，有多少种排法？排法？（2 2）全部排成一排，有有多少种排法？）全部排成一排，有有多少种排法？（3 3）排成两排，前排）排成两排，前排4 4人，后排人，后排5 5人，有人，有多少种排法？多少种排法？例例3 3 某信号共用红、黄、蓝某信号共用红、黄、蓝3 3面旗面旗从上到下挂在从上到下挂在竖直的旗杆上表示，每次可以任挂竖直的旗杆上表示，每次可以任挂1 1面、面、2 2面或面或3 3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？表示多少种不同的信号？课堂练习：课堂练习：1、20位同学互通

19、一封信，那么通信次数是多位同学互通一封信，那么通信次数是多少？少？2、由数字、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个可以组成多少个没有重复数字的正整数？没有重复数字的正整数？3、5个班，有个班，有5名语文老师、名语文老师、5名数学老师、名数学老师、5名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名数学老师和一名英语老师，问有多少种不同的数学老师和一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？搭配方法？例例4 4、用用0到到9这十个数字，可以组成多少个没有这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？重复数字的三位数？分析分析1：由于百位上的数字不能为：由于百位上

20、的数字不能为0，只能从，只能从1到到9这这9个数字中任选个数字中任选一个，有一个，有 种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选个数字中任选2个，有个，有 种选法，根据分步计数原理，所求三位种选法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是：数的个数是：分析分析2：所求的三位数可分为：不含数字：所求的三位数可分为：不含数字0的，有的，有 个；含有数字个；含有数字0的，有的，有 个，根据分类计数原理，所求三位数的个数是：个，根据分类计数原理，所求三位数的个数是：分析分析3：从：从0到到9这十个数字中取这十个数字中取3个的排列数为个的排列数为

21、，其中以，其中以0为百为百位数字的排列数为位数字的排列数为 ，故所求三位数的个数是：，故所求三位数的个数是：(特殊位置优先法特殊位置优先法)(特殊元素优先法特殊元素优先法)(排除法排除法)二、有限制条件的排列问题二、有限制条件的排列问题小小 结结一一：对于“在在”与“不不在在”等有特特殊殊元元素素或或特特殊殊位位置置的排列问题，通常是先先排排特特殊殊元元素素或或特特殊殊位置位置，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法）。变：变：1、用用0到到9这十个数字，可以组成多少这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被个没有重复数字的且能被5整除的三位数？整除的三位数

22、？例例5 5 5个人站成一排个人站成一排共有多少种排法？共有多少种排法？其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？法？其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？同的排法？小小结结二二：对对于于相相邻邻问问题题，常常用用“捆捆绑绑法法”（先先捆捆后后松松）

23、小小结结三三：对于不不相相邻邻问题，常用“插插空空法法”（特殊元素特殊元素后后考虑考虑）例例5 5 5个人站成一排个人站成一排其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？不同的排法？解：解：甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余从其余3人中选人中选2人来站，有人来站，有 种排法，剩下的人有种排法，剩下的人有 种排法，共有种排法，共有 种排法种排法.(特殊位置优先法特殊位置优先法)(特殊元素优先法特殊元素优先法)例例5 5 5个人站成一排个人站成一排其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不其中甲不站排头，乙

24、不站排尾，有多少种不同的排法？同的排法？解：解：甲站排头有甲站排头有 种排法，乙站排尾有种排法，乙站排尾有 种排法，但两种情况都包含了种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙甲站排头，乙站排尾站排尾”的情况，有的情况，有 种排法，种排法，所以共有所以共有 种排法种排法.用直接法，如何分类？用直接法，如何分类？一类：甲站排尾一类：甲站排尾二类：甲站中间二类：甲站中间所以共有所以共有 种排法种排法.(7)(7)、甲与乙中间必须排甲与乙中间必须排2名，有几种排法？名，有几种排法？例例5 5个人站成一排个人站成一排例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将

25、将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？所以共有所以共有 种。种。本题也可以这样考虑：本题也可以这样考虑：对应于先将没有限制对应于先将没有限制条件的其他元素进行排列，有条件的其他元素进行排列，有 种方法；种方法；再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排列，只有一种方法；列，只有一种方法；故，总的排列方法数为：故，总的排列方法数为：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。是女孩，现将这七

26、个小孩站成一排照相留念。（1）若其中的）若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有小孩的左边，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？解1：A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法，所以在全排列中，A在B左边与A在B右边的排法数相等，因此有：排法。（种）变式练习变式练习252057=A解法解法2 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。念。2)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作

27、一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有：（种）。变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（3）若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（4）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排种排法

28、，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有空档中有 种方法，所以共有：种方法，所以共有：（种）（种）排法。排法。变式、变式、七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（5）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？邻，有多少种不同的排法？不同的排法共有：（种）相相间间问问题题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七个家庭一起外出旅游，若其中四家是

29、男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成是女孩，现将这七个小孩站成两排两排照相留念。照相留念。（6）若前排站三人，后排站四人，其中的）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？解：解：A，B两小孩的站法有：两小孩的站法有：（种），其余人的站法（种），其余人的站法有有 （种），所以共有（种），所以共有 （种）（种）排法。排法。解：解：连续命中的连续命中的3 3枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的4 4枪所隔开枪所隔开 ，如图，如图表示没有命中，表示没有命中，_ _ _ _ _ _命中的三枪看作一个元素

30、和另外命中的一枪共命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有两个元素插到五个空档中有A A2 25 5=5=54=204=20种排法种排法2.2.某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好3 3枪连枪连在一起的不同种数有多少？在一起的不同种数有多少？拓展性练习：拓展性练习：1、把、把15个人分成前后三排，每排个人分成前后三排，每排5人，不同的排法数为（人，不同的排法数为（）2、计划展出、计划展出10幅不同的画，其中幅不同的画，其中1幅水彩画，幅水彩画，4幅油画，幅油画，5幅国幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不画，

31、排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有（同的陈列方式有（）3、由、由1、2、3、4、5这这5个数字组成无重复数字的五位数，其中个数字组成无重复数字的五位数，其中奇数有奇数有 个个.CB课堂练习：课堂练习：1、4个学生和个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端，个老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须排在一起的不同排法种数是（且老师必须排在一起的不同排法种数是（）A.B.C.D.2、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车要停放，、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有若要使三个空位连在一起，则停放的方法有 种种.3

32、、用、用0、1、2、3、4、5六个数字，可组成多少个无重六个数字，可组成多少个无重复数字且不能被复数字且不能被5整除的五位数？整除的五位数？4、在、在7名运动员中选出名运动员中选出4名组成接力队，参加名组成接力队，参加4100米接米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？少种？D法一：法一：法二：法二：小结小结从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素,按照一定按照一定的顺序排成一列的顺序排成一列,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素的元素的一个排列一个排列从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有排列的个元素的所有排列的个数个数,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的个元素的排列数排列数 当两个排列的元素完全相同当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺且元素的排列顺序相同称两个序相同称两个排列相同排列相同An=n(n-1)(n-2)(n-m+1)mmn 规定规定0！=1