二项式定理题型全面总结3(习题课)教学提纲.ppt

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1、二项式定理题型全面总结二项式定理题型全面总结3(3(习题课习题课)2014)2014例例2 2 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项解:令令原式的有理项为原式的有理项为:分析分析:取通项来分析取通项来分析,常数项即常数项即 项项.解：根据二项式定理，取解：根据二项式定理，取a3 3x2 2，b的通项公式是的通项公式是的展开式中第的展开式中第9 9项为常数项。项为常数项。由题意可知，由题意可知，故存在常数项且为第故存在常数项且为第9项，项，常数项常数项常数项即常数项即 项项.求二项展开式的某一项求二项展开式的某一项,或者求满足某种条或者求满足某种条件的项件的项,或者求某种性质的项或者求某种性质

2、的项,如含有如含有x 项项的系数的系数,有理项有理项,常数项等常数项等,通常要用到二项通常要用到二项式的通项求解式的通项求解.注意注意(1)(1)二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别.(2)(2)表示第表示第 项项.3题型方法总结题型方法总结题型2 二项式定理的逆用（赋值法）例例4 4 计算并求值计算并求值解解(1):(1):将原式变形将原式变形解解:(2):(2)原式原式练习：练习：题型方法总结题型方法总结逆向应用公式和变形应用公式要求对公式逆向应用公式和变形应用公式要求对公式结构特征要熟练，特别结构特征要熟练，特别遇到计算的题目可先观察系数的特点，看遇到计算的题目可先观察系数的特点

3、，看是否符合二项式展开式的结构特征，从而是否符合二项式展开式的结构特征，从而考虑是否要构造考虑是否要构造题型题型3 3 求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项(系数系数)例例5 5的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是解法解法2 2运用等比数列求和公式得在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为所以所以 的系数为的系数为-20例例6 6求求 展开式中展开式中 的系数。的系数。解解:可逐项求得可逐项求得 的系数的系数的展开式通项为的展开式通项为当当 时时系数为系数为的展开式通

4、项为的展开式通项为当当 时时系数为系数为所以所以 展开式中展开式中的系数为的系数为的展开式通项为的展开式通项为当当 时时系数为系数为-4-4求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数某项的系数),),可以逐项分析求解可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简常常对所给代数式进行化简,可以可以减小计算量减小计算量题型方法总结题型方法总结题型题型4 4 求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项(特特 定项的系数定项的系数)例题例题7:7:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数.解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以所以

5、 的系数为的系数为:题型方法总结题型方法总结对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算题型题型5 5 三项式转化为二项式三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107=1107例例9、:(x2+3x+2)5展开式中展开式中x的系数为的系数为_.方法方法1 (x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5 方法方法2 (x2+3x+2)5=x(x+3)+25 方法方法3 (x2+3x+2)5=x

6、2+(3x+2)5 方法方法4 (x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，.240240方法方法5、原式化为其通项公式为其通项公式为题型方法总结括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘也可因式分解化为乘积二项式积二项式.题型题型6 6 求展开式中各项系数和求展开式中各项系数和解：设解：设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1例题点评例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1 1上式是恒等式，所以当且仅当上式

7、是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时，(2-1)(2-1)n n=（2-12-1）n n=1例例10.10.的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_题型题型7 7：求奇数：求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和(1)(1)(2)(2)所以（3）题型方法总结题型方法总结求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值练习：已知练习：已知(1-2(1-2x)7 7=a0 0+a1 1x+a2 2x2 2+a7 7x7 7，则，则a1

8、 1+a2 2+a7 7的值是的值是 .题型题型7 7 求展开式中系数最大求展开式中系数最大(小小)的项的项解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是例例13 13 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为例例1414求求 的展开式中的展开式中数值数值最大的项最大的项解：设第解：设第 项是是数值最大的项项是是数值最大的项展开式中展开式中数值数值最大的项是最大的项是解决系数最

9、大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值题型方法总结题型方法总结题型题型8 8 整除或余数问题整除或余数问题例例1515解解:前面各项均能被前面各项均能被100100整除整除.只有只有 不能被不能被100100整除整除余数为余数为正整数正整数注意(1)证明证明:9910-1能被能被1000整除整除(2)证明证明:32n+2-8n-9(nN*)能被能被64整除整除(4)今天是星期日今天是星期日,再过再过290天是星期几天是星期几?(一一)(5)11100-1末尾连续零的个数是末尾连续零的个数是 个个 (3个个)整除

10、性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数例题点评例题点评题型题型9 9 近似计算问题近似计算问题例例:计算计算(1)(0.997)3的近似值的近似值(精确到精确到0.001)(2)(1.009)5的近似值的近似值(精确到精确到0.001)例例.某公司的股票今天的指数为某公司的股票今天的指数为2,2,以后每

11、天的指以后每天的指 数都比上一天的指数增加数都比上一天的指数增加0.2%,0.2%,则则100100天后这天后这 公司的股票股票指数为公司的股票股票指数为_(_(精确到精确到0.001)0.001)解解:依题意有依题意有2(1+0.2%)2(1+0.2%)100所以所以100100天后这家公司的股票指数约为天后这家公司的股票指数约为2.442.44总结：近似计算常常利用二项式定理估算前几项总结：近似计算常常利用二项式定理估算前几项题型题型10 10 证明恒等式证明恒等式析析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加

12、题型方法总结题型方法总结利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法最常见的方法,证明等式常用下面的等式证明等式常用下面的等式例例1717证明证明：证明证明通项通项所以所以题型题型11 11 证明不等式证明不等式例题点评例题点评利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式,将展开式将展开式进行合理放缩进行合理放缩巩固练习巩固练习一选择题一选择题1(041(04福建福建)已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120,其中实数其中实数 是常数是常数,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和 是是()()C2 2 若若 展开式中含展

13、开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于()()A 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（）A0 B1 C2 D3A展开式中展开式中 的系数是的系数是_2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的和为P P；二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且，且P+S=272P+

14、S=272，则展开式，则展开式 的常数项为的常数项为_108 1 1 求求 展开式中含展开式中含 一次幂的项。一次幂的项。45x45x3 在在 的展开式中，求的展开式中，求：（1 1）二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；（2 2）系数绝对值最大的项；系数绝对值最大的项；（3 3）系数最大的项系数最大的项三计算题三计算题性质复习性质复习性质性质1:1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等意两项的二项式系数相等.性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式

15、系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；数最大；性质性质3 3：性质性质4 4：(a+b)(a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和.2.求求(1+x+x2)(1x)10展开式中含展开式中含 x 项的系数项的系数3.3.求求(1+(1+x)+(1+)+(1+x)2 2+(1+(1+x)1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数4.9192除以除以100的余数是的余数是.5.若若(x+1)n=x n+ax3+bx2+1(nN*)，且且 a:b=3

16、:1，那么，那么 n=_（95上海高考）上海高考）6.6.试判断在试判断在 的展开式中有无常数项？的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.4.9192除以除以100的余数是的余数是由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除所以所以 9192除以除以100的余数是的余数是815.若若(x+1)n=x n+ax3+bx2+1（nN*），），且且 a:b=3:1，那么，那么 n=_练习：练习：1 1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项 解解:求求(x 2)10（x 21）展开式中含）展开式中含 x 10 项的系数项的系数为为.179能力训练能力训练4:在在(x2+3x+2)5 的展开式中的展开式中,x的系数为多少？的系数为多少？240例题例题2 2 若若,则则 的值的值()A A 一定为奇数一定为奇数C C 一定为偶数一定为偶数B B 与与n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 与与n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:所以所以 为奇数为奇数 故选故选(A)(A)思考思考 能用特殊值法吗能用特殊值法吗?偶偶奇A结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！43